1、1第 32 练 矩阵与变换、坐标系与参数方程明晰考情 1.命题角度：常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用.2.题目难度：中档难度.考点一 线性变换、二阶矩阵及其求法方法技巧 线性变换问题一般是设变换 T： ，求出原曲线在 T 的变换下得到的曲xy xy 线，再根据条件求相应的系数值.1.已知变换矩阵 A：平面上的点 P(2，1)， Q(1,2)分别变换成点 P1(3，4)， Q1(0,5)，求变换矩阵 A.解 设所求的变换矩阵 A ，依题意，可得a bc d ， ，a bc d2 1 3 4 a bc d 12
2、05即Error! 解得Error!所以所求的变换矩阵 A .2 1 1 22.已知 M ， N ，求二阶矩阵 X，使得 MX N.2 1 4 3 4 1 3 1解 设 X ，x yz w由题意有 ，2 1 4 3x yz w 4 1 3 1根据矩阵乘法法则有Error!解得Error! X .92 15 13.已知曲线 C1： x2 y21，对它先作矩阵 A 对应的变换，再作矩阵 B 对应1 00 2 0 m1 0的变换，得到曲线 C2： y21，求实数 m 的值.x24解 BA ，设 P(x0， y0)是曲线 C1上的任一点，它在矩阵 BA 变换作0 m1 01 00 2 0 2m1 02
3、用下变成点 P( x， y)则 ，则Error! 即Error!又点 P 在曲线xy 0 2m1 0x0y0 2my0x0C1上，则 y 2 1，所以 m21，所以 m1.x 24m24.(2017江苏)已知矩阵 A ， B .0 11 0 1 00 2(1)求 AB；(2)若曲线 C1： 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2的方程.x28 y22解 (1)因为 A ， B ，0 11 0 1 00 2所以 AB .0 11 01 00 2 0 21 0(2)设 Q(x0， y0)为曲线 C1上任意一点，它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为点 P(x， y)，则 ，0
4、 21 0x0y0 xy即Error! 所以Error!因为点 Q(x0， y0)在曲线上 C1上，所以 1，x208 y202从而 1，即 x2 y28.y28 x28因此曲线 C1在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线C2： x2 y28.考点二 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量方法技巧 1.由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.2.求矩阵 M 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待a bc d定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.5.已知矩阵 A .2 31 2(1)求 A 的逆矩阵 A1 ；(2)若点
5、P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P(3,1)，求点 P 的坐标.解 (1)因为 A ，又 221310，2 31 2所以 A 可逆，从而 A1 .2 3 1 2(2)设 P(x， y)，则 ，2 31 2xy 31所以 A1 ，xy 31 3 13因此，点 P 的坐标为(3，1).6.求矩阵 A 的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.3 6 5 2解 矩阵 A 的特征多项式为 f( ) ，| 3 6 5 2|令 f( )0，得 25 240，所以 18， 23 为矩阵 A 的两个特征值.当 18 时，解相应线性方程组Error!可任取一解 ，得 8 的一个特征向量 1 .65 65当
6、 23 时，解相应线性方程组Error!可任取一解 ，得 3 的一个特征向量1 1 2 .1 17.(2018无锡调研)已知二阶矩阵 A 对应的变换将点 M(1,1)变换成 M(3,3)，将点N(1,2)变换成 N(3,0).(1)求矩阵 A 的逆矩阵 A1 ；(2)若向量 ，计算 A3 .15解 (1)设 A ，则a bc d Error!a bc d11 a bc d 33 Error!a bc d 12 a 2b c 2d 30解得 a1， b2， c2， d1，所以 A ，1 22 1所以 A1 . 13 2323 13(2)矩阵 A 的特征多项式为 f( ) ( 1) 24 22 3
7、，| 1 2 2 1|令 f( )0，解得 13， 21，从而求得对应的一个特征向量分别为 1 ， 2 .11 1 1令 m 1 n 2，求得 m3， n2，所以 A3 A3(3 12 2)3( A3 1)2( A3 2)3( 1)2( 2)33 3 2(1) 3 .31 32 11 1 1 837948.(2018如皋调研)已知矩阵 A 属于特征值 的一个特征向量为 .2 b1 3 1 1(1)求实数 b， 的值；(2)若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C： x22 y22，求曲线 C 的方程.解 (1)由题意得 A ，即 ，2 b1 31 1 1 1解得 b0， 2.
8、(2)由(1)知，矩阵 A .设曲线 C 上的一点 P ，在矩阵 A 的作用下得到点2 01 3 (x， y)P( x， y). ，xy 2 01 3xy 2xx 3y所以Error!将上式代入方程 x 22 y 22，得(2 x)22( x3 y)22，整理得 3x29 y26 xy10.所以曲线 C 的方程为 3x29 y26 xy10.考点三 曲线的极坐标方程方法技巧 曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.9.在极坐标系中，设直线 与曲线 210 cos 40 相交
9、于 A， B 两点，求线段 3AB 中点的极坐标.解 方法一 将直线 化为直角坐标方程，得 y x， 3 3将曲线 210 cos 40 化为直角坐标方程，得 x2 y210 x40，联立Error! 并消去 y，得 2x25 x20，解得 x1 ， x22，12所以 AB 中点的横坐标为 ，纵坐标为 ，x1 x22 54 543化为极坐标为 .(52， 3)方法二 联立直线 l 与曲线 C 的极坐标方程，得Error!5消去 ，得 25 40，解得 11， 24，所以线段 AB 中点的极坐标为 ，即 .( 1 22 ， 3) (52， 3)10.(2018宿迁质检)已知极坐标系的极点与直角坐
10、标系的原点 O 重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，若直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 22 sin 30.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)求直线 l 被曲线 C 截得线段的长.解 (1)直线 l 的普通方程为 y x1，曲线 C 的直角坐标方程为 x2( y1) 24.3(2)曲线 C 表示以 为圆心，2 为半径的圆，(0， 1)圆心到直线 l 的距离 d1，故直线 l 被曲线 C 截得的线段长为 2 2 .22 12 311.在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极
11、坐标方程为 22 cos 2 sin 10.2(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)求曲线 C 上的点到直线 cos 0 距离最大的点 P 的直角坐标.( 3) 62解 (1)因为 2 x2 y2， cos x， sin y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y10， 0,2).2(2)直线方程为 x y 0，圆 C 的标准方程为( x1) 2( y )24，3 6 2所以设圆上点 P 的坐标为(12cos ， 2sin )， 0,2)，2则 d| 1 2cos 32 2sin 6|2 ，|4cos( 3) 1|2所以当 cos 1，即 时距离最大，此时点 P 的坐标为(2
12、， ).( 3) 23 2 312.在极坐标系中，直线 C1的极坐标方程为 sin 2， M 是 C1上任意一点，点 P 在射线OM 上( O 为极点)，且满足 OPOM4，记点 P 的轨迹为 C2，求曲线 C2上的点到直线C3：Error! (t 为参数)的距离的最大值.解 设点 P( ， )， M( 1， )，依题意得 1sin 2， 14，消去 1，得 2sin ，故曲线 C2的极坐标方程为 2sin ( 0).化为直角坐标方程，得 C2： x2( y1) 21，是以点(0,1)为圆心，1 为半径的圆.又直线 C3的普通方程为 x y2，6故圆心到直线 C3的距离 d ，322故曲线 C
13、2上的点到直线 C3的距离的最大值为 1 .322考点四 参数方程方法技巧 过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为Error!( t 为参数)，t 的几何意义是有向线段 P0P 的数量，即| t|表示 P0到 P 的距离， t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点 P1， P2对应的参数分别为 t1， t2，则 P1P2| t1 t2|， P1P2的中点对应的参数为 (t1 t2).1213.(2018苏州调研)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(其中 t 为参数).在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程
14、为 4cos .(1)分别写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与圆 C 相切，求实数 a 的值.解 (1)直线 l 的普通方程是 2x y a20，圆 C 的直角坐标方程是( x2) 2 y24.(2)由(1)知圆心为 C(2,0)，半径 r2，设圆心到直线的距离为 d，因为直线与圆相切，所以 d 2，|4 a 2|5 |2 a|5解得 a22 .514.(2018江苏省南京外国语学校质检)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数， m 为常数).以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
15、cos .若直线 l 与圆 C 有两个公共点，求实数 m 的取值范( 4) 2围.解 圆 C 的普通方程为( x m)2 y24.直线 l 的极坐标方程化为 ，(22cos 22sin ) 2即 x y ，化简得 x y20.22 22 2因为圆 C 的圆心为 C(m,0)，半径为 2，圆心 C 到直线 l 的距离 d ，|m 2|2所以 d 2，|m 2|27解得 22 m22 .2 215.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)， 0，)，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos .(1)若直线 l 与圆 C
16、 相切，求 的值；(2)已知直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，记点 A， B 相应的参数分别为 t1， t2，当 t12 t2时，求 AB 的长.解 (1)圆 C 的直角坐标方程为( x2) 2 y24，将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得( tcos 4) 2( tsin )24，即 t28 tcos 120，因为直线 l 与圆 C 相切，所以 (8cos )24120，所以 cos 或 cos ， 0，)，32 32所以 或 . 6 56(2)将Error! 代入圆 C 的直角坐标方程( x2) 2 y24，得 t28 tcos 120，因为 t1,2 ，8cos 6
17、4cos2 482所以Error!又 t12 t2，所以Error!64cos 2 54，所以 AB .|t1 t2| 64cos2 48 616.(2018如皋调研)已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M 的参数方程为Error!( 为参数)，以 Ox 轴为极轴， O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆 N 是以点 为圆心，且(3， 3)过点 的圆.(2， 2)(1)求圆 M 的普通方程及圆 N 的直角坐标方程；(2)求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点之间距离的最小值.解 (1)将方程Error!消去参数 ，可得 2 24，(x532) (y 72)所以圆 M 的方程为 2 2
18、4.(x532) (y 72)点 和点 的直角坐标分别为 ， ，(3， 3) (2， 2) (32， 32)(0， 2)所以圆 N 的圆心为 ，(32， 32)8半径为 r 1，(32 0)2 (32 2)2故圆 N 的直角坐标方程为 2 21.(x32) (y 32)(2)由(1)得圆 M， N 的圆心距为MN 4，(32 532)2 (32 72)2所以圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点之间距离的最小值为 dmin MN3431.1.已知矩阵 M ，其中 aR，若点 P(1，2)在矩阵 M 的变换下得到点 P(4,0).2 a2 1(1)求实数 a 的值；(2)求矩阵 M 的特征值及
19、其对应的特征向量.解 (1)由 ，2 a2 11 2 40得 22 a4 a3.(2)由(1)知 M ，则矩阵 M 的特征多项式为 f( ) ( 2)( 1)2 32 1 | 2 3 2 1|6 23 4.令 f( )0，得矩阵 M 的特征值为1 与 4.当 1 时，Error! x y0，矩阵 M 的属于特征值1 的一个特征向量为 ；当 4 时，Error!2 x3 y0.1 1矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 .322.已知矩阵 A (a 为实数).a 11 a(1)若矩阵 A 存在逆矩阵，求实数 a 的取值范围；(2)若直线 l： x y40 在矩阵 A 对应的变换作用下变为
20、直线 l： x y2 a0，求实数a 的值；(3)在(2)的条件下，求 A5.解 (1) a210，|a 11 a| a1.(2)设 l 上任一点 在 A 的变换作用下变为点 ，(x， y) (x ， y )则 ，a 11 axy ax yx ay xy 9所以Error!所以 x y2 a ax y x ay2 a x y2 a0，所以 a2.(a 1) (1 a)(3)A2 ，2 11 22 11 2 5 44 5A4 ，5 44 55 44 5 41 4040 41A5 .41 4040 412 11 2 122 121121 1223.平面直角坐标系 xOy 中，已知直线Error!(
21、 l 为参数)与曲线Error!( t 为参数)相交于 A， B两点，求线段 AB 的长.解 直线的普通方程为 2x2 y30，曲线的普通方程为 y28 x.解方程组Error!得Error! 或Error!取 A ， B ，得 AB4 .(12， 2) (92， 6) 24.(2018江苏邗江中学调研)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出圆 C 的极坐标方程及圆心 C 的极坐标；(2)直线 l 的极坐标方程为 ( R)与圆 C 交于 M， N 两点，求 CMN 的面积. 3解 (1)极坐标( ， )与直角坐标( x， y)的对应关系为Error!所以Error!根据 sin2 cos 2 1，消元得( cos )2( sin 1) 24，3故得圆 C 的极坐标方程为 4sin .( 3)因为圆心 C 的直角坐标为( ，1)，所以极坐标为 .3 (2， 6)(2)联立Error!得交点极坐标 M(0,0)， N ，(23， 3)所以 MN2 ， MC2，3所以 CMN 的面积 S 2 2sin .12 3 6 3
