1、鸡兔同笼问题一意义：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只。解题关键：采用假设法，假设全是一种动物（如全是鸡或全是兔） ，然后根据腿的差数可以推断出一种动物的头数。解题规律：假设全是鸡，兔子头数=（总腿数鸡腿数）2；即兔子头数=（总腿数2总头数）2。假设全是兔子，鸡的只数=（兔子腿数总腿数）2，即鸡的只数=（4总头数总腿数）2二常见题型：1、已知总头数和鸡兔脚数的差数，求鸡兔各多少只（1）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，（每只鸡脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每
2、只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（2）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时。 （每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。 或（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；2、鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题） ，（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差） 2=鸡数； （两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差） 2=兔数。 3、得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公
3、式：（1 只合格品得分数产品总数- 实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数 总产品数+实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）= 不合格品数。例题例 1. 有鸡兔共 30 只，兔脚比鸡脚多 60 只，问鸡兔各多少只？解：兔数：（230+60）（2+4）=20 （只） ； 鸡数：30-20=10（只）解析：首先假设都是鸡，那么有 60 只脚，然后再加上鸡兔脚数之差，那么剩下的和兔数相同的鸡和兔，也就是相当也是一种六条腿的小怪物，所以再除以 6，就自然得出兔子的数了。例 2. 小朋友们去划船，大船可以坐 10 人，小船坐
4、6 人，小朋友们共租了 15 只船，已知乘大船的人比乘小船的人多 22 人，问大船几只，小船几只？解：大船：（615+22）（6+10）=7 （只） ； 小船：15-7=8（只）或者小船：（1015-22）（6+10 ）=8（只） 大船：15-8=7（只）例 3. 有一些鸡和兔，共有脚 44 只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚 52 只。鸡兔各是多少只？ 解：鸡数：（52+44）（4+2）+ （52-44）（4-2） 2 =202=10（只）兔数：（52+44）（4+2）- （52-44）（4-2） 2 =122=6（只）解析：首先用鸡兔互换的数相加，大家想想，那出来的结果是什么，是不是鸡兔的数
5、都变成了鸡兔的总数，已经是变成了鸡兔总数只的六条腿的小怪物，所以（52+44）（4+2） ，得出的是鸡兔的和，这时其实就变成了一道普通的鸡兔同笼问题了，但如果我们再看看用鸡兔互换的数相减得到的是什么数，为什么交换了会有差捏，因为兔子 4 条腿，鸡 2 条腿，所以每把一只鸡换成一只兔子就会多出两条腿，所以（52-44）（4-2 ） ，得出的是鸡兔的差。那么这是不是就变成和差问题了，下面大家就能很容易的解答了。例 4. 小朋友们去划船，大船可以坐 10 人，小船坐 6 人，能坐 130 人，如果把大船和小船的只数互换则少坐 20 人，问大船几只，小船几只？解：小船：（130-20+130）（10+
6、6）+20（10-6） 2=202=10（只）大船：（130-20+130）（10+6）-20 （10-6） 2=102=5（只）例 5. 有鸡兔共 30 只，鸡脚比兔脚多 30 只，问鸡兔各多少只？解：兔数：（230-30） （2+4 ）=5（只） ； 鸡数：30-5=25（只）解析：首先假设都是鸡，那么有 60 只脚，然后再减去鸡兔脚数之差，那么剩下的和兔数相同的鸡和兔，也就是相当也是一种六条腿的小怪物，所以再除以 6，就自然得出兔子的数了。例 6. 小朋友们去划船，大船可以坐 10 人，小船坐 6 人，小朋友们共租了 15 只船，已知乘小船的人比乘大船的人多 42 人，问大船几只，小船几
7、只？解：大船：（615-42） （6+10 ）=3（只） ； 小船：15-3=12（只）或者小船：（1015+42）（6+10）=12 （只）大船：15-12=3（只）总头数-鸡数=兔数。例 7. “灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记 4 分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分。某工人生产了 1000 只灯泡，共得 3525 分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 （41000-3525）（4+15）=47519=25（个）解二 1000-（151000+3525）（4+15）1000-1852519=1000-975=25（个） （答略）（“得失问题”也
8、称“ 运玻璃器皿问题 ”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。 ）课堂练习1. 小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？解：有兔（44-216）（4-2）=6 （只），有鸡 16-610（只）。答：有 6 只兔，10 只鸡。2. 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各有多少人？假设 100 人全是大和尚，那么共需馍 300 个，比实际多 300140 160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 3-12
9、（个），因为160280 ，故小和尚有 80 人，大和尚有 1008020（人）。3. 彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套？假设买了 16 套彩色文化用品，则共需 1916304（元），比实际多 30428024（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用 19118（元），所以买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。4. 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔
10、的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200-20=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 426（只），而 180630，因此有兔子 30 只，鸡 1003070（只）。解：有兔（210020）（24）30（只），有鸡 10030=70（只）。答：有鸡 70 只，兔 30 只。5. 现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个？解：小瓶有（450-20）（42）30（个），
11、大瓶有 50-3020（个）。答：有大瓶 20 个，小瓶 30 个。6. 一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4 吨，所以要剩下 436=144（吨）。根据条件，要装完这 144 吨钢材还需要 45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装 144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：436（45-36 ）45720 （吨）。答：这批钢材有 720
12、吨。7. 乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24 元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 0.24500=120（元）。实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶 4.51.53（只）。解：（0.24500115.5）（0.241.26 ）3（只）。答：共打破 3 只花瓶。8. 小乐与小喜一起跳绳
13、，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳（78060）（233 ）90（下），小乐一共跳了 903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240 （下）。课后作业1. 某校有 100 名学生参加数学竞赛,平均分是 63 分，其中男生平均分是 60 分,女生平均分是 70 分,男同学比女同学多_人。女生: (63 100-60 100) (70-60)=30(人)男生:
14、 100-30=70(人)70-30=40(人)2. 有黑白棋子一堆,其中黑子的个数是白子个数的 2 倍,如果从这堆棋子中每次同时取出黑子 4 个,白子 3 个,那么取出_次后,白子余 1 个,而黑子余 18个。由黑子的个数是白子个数的 2 倍,假如每次取出白子 2 个(黑子的一半)的话,那么最后余下黑子 18 个，白子应余下 18 2=9（个）现在只余下一个白子,这是因为实际每次取 3 个比假设每次多取一个,故共取(9-1) (3-2)=8(次)3. 学生买回 4 个篮球 5 个排球一共用 185 元,一个篮球比一个排球贵 8 元,篮球的单价是_元。(185-4 8) (5+4)+8=25(
15、元)4. 小强爱好集邮,他用 1 元钱买了 4 分和 8 分的两种邮票,共 20 张.那么他买了4 分邮票_张.(20 8-100) (8-4)=15(张)5. 松鼠妈妈采松子,晴天每天采 20 个,雨天每天可采 12 个,它一连采了 112 个,平均每天采 14 个,这几天中有_天是雨天.(112 14 20-112) (20-12)=6(天)6. 一些 2 分与 5 分的硬币共 299 分,其中 2 分的个数是 5 分个数的 4 倍,5 分的有_个.299 (2 4+5)=23(个)7. 某人领得工资 240 元,有 2 元,5 元,10 元三种人民币共 50 张,其中 2 元和 5元的张
16、数一样多,那么 10 元的有_张.(10 50-240) 10-(2+5) 2=40(张) 240-(2+5) (40 2) 10=10(张)8. 一件工程甲独做 12 天完成,乙独做 18 天完成,现在由甲先做若干天后,再由乙单独完成余下的任务,这样前后共用了 16 天,甲先做了_4_天.解析：把这项工程设为 36 份,甲每天做 3 份,乙每天做 2 份,甲先做 4 天,乙再做12 天才完成.9. 买一些 4 分、8 分、1 角的邮票共 15 张，用币 100 分最多可买角的_6_张。解析：假如都买 4 分邮票,共用 4 15=60(分),就多余 100-60=40(分).买一张 1角邮票,
17、可以认为 40 分换 1 角,要多 6 分,40 6=64,就多买 6 张.最后多余4 分,加上一张 4 分邮票,恰好买一张 8 分邮票.10. 买一些 4 分与 8 分的邮票共花 6 元 8 角,已知 8 分的邮票比 4 分的多 40 张,那么 8 分的邮票有_张.4 分:(680-8 40) (8+4)=30(张)8 分:30+40=70(张)11.鸡兔共 200 只,鸡的脚比兔的脚少 56 只,则鸡有几只,兔有几只?兔:(200+56 2) (2+1)=76(只)鸡:200-76=124(只)12.有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子数目计算，每只 2 角,如有破损,
18、破损 1 个瓶子还要倒赔 1 元,结果得到运费 379.6 元,问这次搬运中玻璃损坏了几只?(0.2 2000-379.6) (1+0.2)=17(只)13.某次数学测验共 20 题,做对一题得 5 分,做错一题倒扣 1 分,不做得 0 分.小华得了 76 分,问他做对几题？解析： 76 分比满分少 24 分.做错一题少 6 分,不做少 5 分,24 分只能做错 4 题,那么没有没做,16 题做对. 14.甲乙两人射击,若命中,甲得 4 分,乙得 5 分;若不中,甲失 2 分,乙失 3 分,每人各射 10 发,共命中 14 发,结算分数时,甲比乙多 10 分,问甲、乙各中几发?解析：假设甲中 10 发,乙就中 14-10=4(发).甲得 4 10=40(分),乙得 5 4-3 6=2(分).此题条件“甲比乙多 10 分”相差(40-2)-10=28(分),甲少中 1 发,少4+2=6(分),乙可增加 5+3=8(分). 28 (8+6)=2. 10-2=8(发)甲. 14-8=6(发)乙.
