1、1超市收银台设置问题摘要超市中存在着这样一个问题，收银台的设置与成本成正比，但是在实际过程中，顾客的数量是变化的，如何设置收银台的数量以达到最小的成本。调查后我们发现，超市顾客的数量，在一周内变化有规律性，在一天内变化也后周期性，所以我们要研究这个特性以安排出最佳方案。建立 K 个 M/M/k 的排队系统的数学模型，通过拟合手段，计算出最佳方案。最后由本文中数据得到在周一至周五时开设 3 个收银台；而周六和周日开设 5 个收银台。1.问题重述在许多大型超市中，存在着这样一个问题：开的收银台少时，人多会排长队，顾客满意度下降；开的收银台多时，人少会导致收银员空闲，人力资源浪费。这就关系到一个如何
2、合理安排收银台数量的问题。现在收集到某家大型超市人流量数据：时间 8-9点9-10点10-11点11-12点12-13点13-14点14-15点15-16点人数 19 49 60 47 20 35 61 59表 2 全部工作日到达总人数周内分布日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日人数 247 216 193 264 231 467 4182.问题的分析基于在超市收银系统中涉及到的顾客满意率、超市成本等直接联系到整个服务系统良好的运营。因此通过采集、查阅超市收银系统中的有关数据进行分2析研究，拟合出数据呈现的规律或概率；也可以拟合出在超市服务系统中的顾客等待时间、顾客队列长等随机事件的
3、规律或概率，而这些拟合出来的规律或概率对在考虑超市成本情况下，应该采用何种服务系统来提高顾客满意率，服务效率提供了可行的参考。2.1 有用数据1的收集（1）对超市的顾客到达情况进行统计，统计了某大型超市一个工作日个时段顾客到达总人数和周内各天到达总人数分布；（2）对当地超市进行观察，并采样数据，可得出该收银台的平均服务率，实际平均到达率的得出以便后面模型的实际检验。2.2 数据规律的研究及排队理论（1） 运用数学软件 MATLAB 编程对收集到的数据进行分析，得出数据布规律（如：在排队系统中顾客的人流量一般服从泊松分布；顾客服务时间一般服从定长分布或负指数分布等） ；（2）查阅相关文献，学习并
4、掌握排队理论1知识。2.3 模型实际运用根据实际数据代入数学模型计算得出相应数值，这些数值则反映出服务系统的服务效率；2.4 模型的进一步分析（1）根据已建立的模型和检验数据，并结合实际情况，假设更多的实际因素代入到模型中去，实现模型的进一步优化。3.模型假设1、顾客中没有插队现象的发生。2、顾客一旦进入队伍中就不会中途离开。3、收银台进行服务时，排除因为意外情况的发生而影响到的服务时间。4、各收银台服务时间基本一致，不考虑各窗口工作人员自身原因引起的服的改变。5、收银台数量为考虑超市成本的主要因素。6、本模型只考虑工作日超市的人流数量，排除特别节假日时期的情况。8、周一至周五每日的人流量可以
5、看同等分布。9、收银台服务时间服从均匀分布。4.符号说明: 表示排成一大队列时的平均等待时间；1T: 表示排成一大队列时的平均队列长；L: 表示排成k个小队时的平均等待时间；2: 表示排成k个小队时的平均队列长；: 表示顾客的平均到达率(称为顾客到达速率)；3: 表示系统的平均服务率(即服务台的平均服务速率)；k: 窗口数量 ；：平均每日顾客到达人数；0n：周一至周五平均每日各时段顾客到达人数；1：周六周日平均每日各时段顾客到达人数；2：窗口完全空闲的概率；0P：系统中有n个客户的概率；: 表示服务强度，其值为有效的平均到达率 与平均服务率 之比，即 = / 。其中主要性指标是 ， 。1TL主
6、要性指标其值越小，说明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它们是顾客与服务部门都很关注的，顾客希望等待时间和队列长越短越好，当然对服务员来说，服务强度越小越好。5.模型建立5.1 排队理论系统说明所谓M/M/k的排队系统是指这样的一种服务：顾客的到达服从参数为 的泊松分布；顾客的服务时间服从参数为 的指数分布；有k个服务台（窗口） ，顾客按到达的先后次序接受服务。泊松分布：( 为常数，k=0,1,2,)!/1keKXP即在时间T内有k位客服的到达的概率为： !/Tk其中 是在时间 内顾客到达的平均顾客数， 平均到达率。负指数分布：tetF10其中 为大于0的常数，代表单位时间内
7、的平均服务率。服务强度： = / ；4平均对长： ；11nPLs平均队列长： ； ；1)(n Lssq )1(5.2 模型的求解与分析5.2.1 模型建立假定顾客到达均匀分布于 k 个小队，该问题可归结为 k 个独立的 M/M/1/ 排队系统，当服务强度 1；k(2) 当开设窗口数k=2时: =1.64171,(3) 当开设窗口数 k=3时: =1.09451k所以当k=1,2,3 时，服务强度大于1，即系统内顾客的到达率大于系统的平均服务率，可见系统不存在平衡状态，且排队的人会越来越多，排队等候的时间也会越来越长，因此此超市开设2个窗口无法满足顾客需要，需要增开窗口才能满足顾客需求。(4)
8、当开设窗口数 k=4 时: =0.8208a(i)b(i)=a(i-1)+servetime+b(i-1)-a(i);elseb(i)=0;endendendmeantime=mean(b)end;附件 3：=0.7851， 0.2391编程求 P 及 P 的程序010a=0.7851; %输入变量 b=0.2391; %输入变量 uc=3; %输入变量 kn=30; %输入变量 模拟次数p0=0;for i=1:1:c;x=factorial(i);y=1/x*(a/b)i ;p0=p0+y;end;p0=p0;p0=p0+1/factorial(c)*(a/b)c*b*c/(b*c-a);
9、p0=(1/p0)z=a/b;if(n=c)p=zn*p0/factorial(n)elsep=zn*p0/factorial(c)/c(n-c)end;附件 4：求排一个大队时顾客平均等待时间，平均等待队长(1)a=0.7851; %输入变量 b=0.2391; %输入变量 uc=3; %输入变量 kT=0;for i=0:1:(c-1);x=factorial(i);y=1/x*(a/b)i ;T=T+y;end;T=T;T=T+1/factorial(c)*(a/b)c*b*c/(b*c-a);T=(1/T)*b*(a/b)c/(factorial(c-1)*(c*b-a)2)(2)a=0.7851; %输入变量 b=0.2391; %输入变量 uc=3; %输入变量 kL=0;for i=0:1:(c-1);x=factorial(i);y=1/x*(a/b)i ;11L=L+y;end;L=L;L=L+1/factorial(c)*(a/b)c*b*c/(b*c-a);L=(1/L)*b*a*(a/b)c/(factorial(c-1)*(c*b-a)2)
