1、第十二讲 抽屉原理的一般表述我们知道，把 3 个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果.如果把 5 个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把 5 个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉都放 2 个还剩 1 个苹果，这个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有 3 个苹果.同样，如果苹果个数变为 7 个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有 4 个苹果了。这里有什么规律呢？先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余 1 个苹果，那么多余的苹果无论再放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉里有（商+1）个（或更多的）苹果。这样，可得到下述加强
2、的抽屉原理：把多于 mn 个苹果随意放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1 ）个或（ m1）个以上的苹果。例 1 求证：任意 25 个人中，至少有 3 个人的属相相同.要想保证至少有 5 个人的属相相同，但不能保证有 6 个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？分析与解答 把 12 种属相看作 12 个抽屉。因为 2512=21，所以，根据抽屉原理，至少有 3 个人的属相相同。要保证有 5 个人的属相相同，总人数最少为：412+1=49（人）。不能保证有 6 个人属相相同的最多人数为：512=60（人）。所以，总人数应在 49 人到 60 人的范围内。例 2 放体育用品的仓库里有
3、许多足球、排球和篮球.有 66 名同学来仓库拿球，要求每人至少拿 1 个球，至多拿 2 个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？分析与解答 拿球的配组方式有以下 9 种：足，排，篮，足，足，排，排，篮，篮，足，排，足，篮，排，篮。把这 9 种配组方式看作 9 个抽屉。因为 669=73，所以至少有 718（名）同学所拿的球的种类是完全一样的。例 3 一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证至少有 5 张牌的花色相同；四种花色的牌都有；至少有 3 张牌是红桃。分析与解答 一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另外还有两张王牌。为了“保证”5 张牌花色相同，我们
4、应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌.把四种花色看作 4 个抽屉，要想有 5 张牌属于同一抽屉，只需再摸出 44+117（张），也就是共摸出 19 张牌.即至少摸出 19 张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相同。因为每种花色有 13 张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计 1332=41（张），这时，只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出 42 张牌才能保证四种花色的牌都有。最坏的情形是先摸出了 2 张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计 41 张，只剩红桃牌.这时只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了.即至少摸
5、出 44 张牌，才能保证其中至少有 3 张红桃牌。例 4 平面上给定 17 个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于 1，证明：在这 17 个点中必有 9 个点可以落在同一半径为 1 的圆内。分析与解答 如果 17 个点中，任意两点之间的距离都小于 1，那么，以这 17 个点中任意一点为圆心，以 1 为半径作一个圆，这 17 个点必然全落在这个圆内.如果这 17 个点中，有两点之间距离不小于 1（即大于 1 或等于1），设这两点为 O1、O 2，分别以 O1、O 2为圆心，1 为半径作两个圆（如图）.把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于 1，因此其他 15 个点
6、中的每一点，到 O1、O 2的距离必有一个小于 1.也就是说这些点必落在某一个圆中.根据抽屉原理必有一个圆至少包含这 15 个点中的 8 个点.由于圆心是 17 个点中的一点，因此这个圆至少包含 17 个点中的 9 个点.例 5 把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于 17。分析与解答 把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为a1、a 2、a 3、a 10（见图）.相邻的三个数为一组，有a1a2a3、a 2a3a4、a 3a4a5、 a9a10d1、a 10a1a2共 10 组。这十组数的和的总和为（a 1a 2+a3）（a 2+a3+
7、a4）+（a 10+a1a 2）3（a 1+a2+a3+a 10）355=165 16105。根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于 17。这道题还可以用下面的方法证明：在 10 个数中一定有一个数是 1，设 a101，除去 a10之外，把a1、a 2、a 9这 9 个数按顺序分为三组 a1a2a3、a 4a5a6、a 7a8a9.下面证明这三组中至少有一组数之和不小于 17。因为这三组数之和的总和为（a 1+a2+a3）（a 4+a5+a6）+（a 7+a8a 9）a 1+a2+a92+3+1054316+6。根据抽屉原理这三组数中至少有一组数之和不小于 17。第二种证法中去掉了最小数
8、 1，其实若去掉 2、3、4 也可以的，因为 54=317 3，所以用第二种证法还可以得出至少有一组数的和不小于 18 的结论，而第一种证法却不能得出这个结论。此外，由于 54=318，因此即使第二种证法也不能由抽屉原理得出三组数中至少有一组数的和不小于 19 的结论.事实上，如右图中所示，划了线的三组数的和都是 18（并且其他任何三个相邻数之和都小于 18）。例 6 在边长为 3 米的正方形内，任意放入 28 个点，求证：必有 4 个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米。分析与解答根据题目的结论，考虑把这个大正方形分割成面积为 1 平方米的 9 个小正方形（如右图）。因为 283
9、9+1，所以根据抽屉原理，至少有 4 个点落在同一个边长为 1 米的小正方形内（或边上）（图），这 4 个点所连成的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积，即以这 4 个点为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米。例 7 在边长为 1 米的正方形内，任意放入 9 个点.求证：至少有 3 个点，以这三个点为顶点的三角形分析与解答 把边长为 1 米的正方形取各边的中点，把对边中点相连个抽屉，把 9 个点随意放入 4 个抽屉.根据抽屉原理，有一个抽屉中至少有 3点为顶点的三角形的面积不大于小正方形面积的一半.设 A、B 、C三点在同一个小正方形内.如果ABC 中的某一条边 BC 与小正方形的边平行（如图），则与小正方形的边不平行（如图）.则可过其中一点 B 作 BD 与小正方形边平行，它将ABC 分成两个三角形： ABD 与BCD. 则平方米。
