1、专题：导数研究函数的零点问题（2018榆林二模）已知函数 f（x）=x （lnx ax） ， （ aR） （2）若函数 f（x）既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围当 a0 时，令 h（x）=0 ，可得 ，列表：xh（x） + 0 h（x） 极大值 若 ，即 ， ，即 f（ x）0，故函数 f（x）在（0，+）上单调递减，函数 f（x）在（0，+）上不存在极值，与题意不符，若 ，即 时，由于 ，且 = ，故存在 ，使得 h（x）=0，即 f（x）=0，且当 x（0， x1）时，f （ x）0，函数 f（x）在（ 0，x 1）上单调递减；当 时，f（ x）0，函数 f（x）在（0，x 1
2、）上单调递增，函数f（x）在 x=x1 处取极小值由于 ，且 = （事实上，令， = ，故 （a ）在（0，1）上单调递增，所以 （a ）（1）=10） 故存在 ，使得 h（x）=0，即 f（x）=0，且当 时，f（x）0，函数 f（x）在 上单调递增；当 x（ x2，+ ）时，f （ x）0，函数 f（x）在（ x2，+）上单调递减，函数 f（x ）在 x=x2 处取极大值综上所述，当 时，函数 f（x）在（0，+）上既有极大值又有极小值（2018河南一模）已知：f（x）= （2 x）e x+a（x1） 2（a R）（2）若对任意的 xR，都有 f（x）2e x，求 a 的取值范围【解答】解
3、：（1）f（x）=（1x）e x+2a（x 1）=（x1） （2ae x） ，当 a0 时，函数在（ ，1）上递增，在（1，+）上递减；当 时，函数在（，ln2a） ， （1，+）上递减，在（ln2a ，1）上递增；当 时，函数在（， 1） ， （ln2a，+）上递减，在（1，ln2a ）上递增；当 时，函数在 R 上递减；（2）由对任意的 xR，f（x）2e x，即（2 x）e x+a（x1） 22e x，当 x=1 时，e x+a（x1） 2 2ex，恒成立，当 x1 时，整理得：a ，对任意 xR 恒成立，设 g（x）= ，求导 g（x）= =，令 g（x）=0，解得：x=1 ，当 x=
4、1+ 附近时，当 x1+ ，g（x）0，当 1x1+ ，f（x）0，当 x=1+ 时取极小值，极小值为 ，当 x=1 附近时，当 x1 ，g（x）0，当 x1 ，g（x）0，当 x=1 时取极小值，极小值为 ，由 ，g（x）的最小值为 ，由题意对任意的 xR，都有 f（x）2e x，即 af（x） 最小值 ，a 的取值范围（ ， 本资料分享自千人 QQ 群 323031380 高中数学资源大全（2018乌鲁木齐模拟）已知函数 f（x）=ae xx2（2）若关于 x 的方程 f（x）+x 2x=0 有两个不相等的实根，求 a 的取值范围【解答】（2）设 g（x）=f（x）+x 2x=aexx，即
5、 g（x）有 2 个零点，g（x）=ae x1，若 a0，g（ x）0，故 g（x）递减，g（x）至多有 1 个零点，若 a0，g（ x）0，得 xln ，g（x）0，得 xln ，故 g（x）在（，ln ）递减，在（ln ，+）递增，故 g（x） min=g（ln ）=1+lna0，即 a ，故 0a ，此时 e ，即 ln 1，当 x0 时，g（x）0，g（x）在（，ln ）上必有 1 个零点，由（1）知当 x 时，e xx 2，即 g（x）=x （ax 1）0，而 exx 2x ，得 xlnx ， ln ，故 g（x）在（ln ，+）上必有 1 个零点，综上，0a 时，关于 x 的方程
6、f（x）+x 2x=0 有两个不相等的实根【点评】本题考查了不等式的证明，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题（2018烟台模拟）已知 有两个零点（1）求 a 的取值范围；【解答】解：（1） ，（1 分）当 a0 时， f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递增， f（x）至多有一个零点（2 分）当 a0 时，令 f（x）=0，解得 ，当 时，f（x） 0，f（x）单调递减，当 ，f （x）0，f（x）单调递增，故当 时函数取最小值 （4 分）当 0ae 时，1lna 0，即 ，所以 f（ x）至多有一个零点（5 分）当 ae 时，1lna 0，即 因为 ，所以 f（x
7、）在 有一个零点； （6 分）因为 lnaa1，所以 ln2a2a 1，f（2a）=2a 2aln2a2a 2a（2a1）=a0，由于 ，所以 f（x）在 有一个零点综上，a 的取值范围是（e ，+） （7 分）本资料分享自千人 QQ 群 323031380 高中数学资源大全（2018济宁一模）已知函数 （2）当 a0 时，证明函数 g（x）=f（x） （a +1）x 恰有一个零点解（2）证明： （a+1）x，x0， ，当 0a1 时，由 g（ x）0 得 0xa 或 x1，g （x）0 得 ax1，g（x）在（0，a ）上递增，在（ a，1）上递减，在（ 1，+）上递增又 0，g（2a+2）
8、=aln（2a+2）0，当 0a1 时函数 g（ x）恰有一个零点；当 a=1 时，g （x）0 恒成立，g（x）在（0， +）上递增又 ，g（4）=ln40，所以当 a=1 时函数 g（x）恰有一个零点；当 a1 时，由 g（ x）0 得 0x1 或 xa，g （x）0 得 1xa ，g（x）在（0，1）上递增，在（1，a）上递减，在（a ，+）上递增又 ，g（2a+2）=aln（2a+2）0，当 a1 时函数 g（x）恰有一个零点综上，当 a 0 时，函数 g（x）=f（x） （a +1）x 恰有一个零点【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的零点个数的判断，注意运用函
9、数零点存在定理，以及分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题本资料分享自千人 QQ 群 323031380 高中数学资源大全（2018淄博一模）设函数 （其中 kR） （2）当 k0 时，讨论函数 f（x）的零点个数【解答】解：（2）f（0）=1，当 k0 时， ，又 f（x）在0，+）上单调递增，所以函数f（x）在 0，+）上只有一个零点，在区间（，0）中，因为 ，取 ，于是 ，又 f（x ）在（，0）上单调递减，故 f（x）在（ ，0）上也只有一个零点，所以，函数 f（x）在定义域（，+）上有两个零点；当 k=0 时， f（x）=（x 1）e x 在单调递增区间0，+）内，只有
10、 f（1）=0 而在区间（，0）内 f（ x）0，即 f（x）在此区间内无零点所以，函数 f（x）在定义域（，+）上只有唯一的零点【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，导函数的符号，以及函数的最值，考查转化思想以及分类讨论思想的应用（2018内江一模）已知函数 f（x）=e x2，其中 e 2.71828是自然对数的底数（）设 m 为整数，函数 g（x）=f （x）lnxm 有两个零点，求 m 的最小值【解答】解：（）函数 g（x）的定义域为（0，+）当 m0 时，由（）知，g（x）=e xlnx2mm0，故 g（x）无零点（6分）当 m=1 时， g（x）=e xlnx3，g （ 1）=
11、e 10， ，且 g（x）为（0，+）上的增函数g （ x）有唯一的零点当 x（ 0，x 0）时，g（x）0，g（x）单调递减当 x（ x0，+ ）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）的最小值为 （8 分）由 x0 为 g（x）的零点知， ，于是g（x）的最小值由 知， ，即 g（x 0）0（10 分）又 g（2）=e 2+ln230，g（x）在 上有一个零点，在（x 0，2）上有一个零点g（x）有两个零点（11 分）综上所述，m 的最小值为 1（12 分）【点评】本题考查了不等式的证明，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题（2018四川模拟）已知函数 （2）若函数
12、 f（x）有两个零点 x1，x 2，求 a 的取值范围，并证明 x1+x22解（2）当 a 0 时，由（ 1）知 f（x）在 x=1 处取得极大值 ，且当 x 趋向于 0 时，f（x）趋向于负无穷大，又 f（2 ）=ln220，f（x）有两个零点，则 ，解得 a2当1a0 时，若 0x1，f（x）0；若 ；若，则 f（x ）在 x=1 处取得极大值，在 处取得极小值，由于 ，则 f（x ）仅有一个零点当 a=1 时， ，则 f（x）仅有一个零点当 a1 时，若 ；若 ；若 x1，f（ x）0，则 f（x）在 x=1 处取得极小值，在 处取得极大值，由于 ，则 f（x）仅有一个零点综上，f（x）
13、有两个零点时，a 的取值范围是（2， +） （2018荆州一模）已知函数 f（x）=e xmxlnx（m 1）x，m R，f（x）为函数f（x）的导函数（1）若 m=1，求证：对任意 x（0，+） ，f（x）0；（2）若 f（x）有两个极值点，求实数 m 的取值范围【解答】（2）f（x）有两个极值点，即 f（x）=e xmlnxm 有两个变号零点当 m1 时，f（x）=e xmlnxme x1lnx1，由（1）知 f（x）0，则 f（x ）在（0，+）上是增函数，无极值点； （6 分）当 m1 时，令 g（x）=f （x） ，则 ，g（1）=e 1m10 0，且 g（x）在（ 0，+）上单增，
14、x 0（1， m） ，使 g（x 0）=0 当 x（ 0，x 0）时，g（x ）0；当 x（x 0，+）时， g（x）0所以，g（x）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增则 g（x）在 x=x0 处取得极小值，也即最小值 g（x 0）= （8 分）由 g（x 0）=0 得 m=x0+lnx0，则 g（x 0）= （9 分）令 h（x）= （1xm）则 ，h（x）在（1，m）上单调递减，所以 h（x）h（1）=0即 g（x 0）0， （10 分）又 x0 时，g（x）+，x+时，g（x）+，故 g（x）在（0，+）上有两个变号零点，从而 f（x）有两个极值点所以，m 1 满足题
15、意 （11 分）综上所述，f（x）有两个极值点时，m 的取值范围是（ 1，+） （12 分） （其他解法酌情给分）【点评】题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键 ，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大（2018张家界三模）已知关于 x 的方程（1x）e xax2=a 有两个不同的实数根x1，x 2（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：x 1+x20【解答】解：（1）因为（1x）e xax2=a，所以 ，令 ，则 ，令 f（x）0 ，解得 x0 ，令 f（x）0，解得 x0，则函数 f（x）在（，0 ）上单调递增，在（0，+）上单调递减，所以 f
16、（ x） max=f（0）=1，又当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，画出函数 f（x）的图象，要使函数 f（x）的图象与 y=a 有两个不同的交点，则 0a1，即实数的取值范围为（0，1） （2）由（1）知，x 1x 2，不妨设 x1x 2，则 x1（，0） ，x 2（0，+） ，要证 x1+x20，只需证 x2x 1，因为 x2x1（0，+） ，且函数 f（x）在（0，+）上单调递减，所以只需证 f（x 2）f （x 1） ，由 f（x 2）=f （x 1） ，所以只需 f（x 1）f （x 1） ，即证 ，即证（1x）e x（1+x）e x0 对 x（，0）恒成立，令 g（x）=（ 1x）e x（1+ x）e x，x （ ，0） ，则 g（ x）=x（e xe）因为 x（，0） ，所以 exe0，所以 g（x）0 恒成立，则函数 g（x）在 x（，0）的单调递减，所以 g（x）g（0）=0，综上所述 x1+x20【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
