导数函数训练题-051.doc

1、导数函数训练题一、单选题1为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据村委会组织法 ，某乡镇准备在各村推选村民代表。规定各村每 户推选 人，当全村户数除以 所得的余数大于 时再增加 人。那么，各村可推选的人数 与该村户数 之间的函数关系用取整函数 （ 表示不大于 的最大整数）可以表示为（ ）BA. B. C. D. 【解析】分析：由题意利用特殊值结合所给的选项排除错误选项即可求得最终结果.详解：由题意可知，当全村户数为 户时，应该选 1 人，利用排除法：，A 选项错误； ，C 选项错误；，D 选项错误；2如图，可导函数 在点 P（ ， ）处的切线为 ： ，设，则下列说法正确的是

2、（ ） BA. ， 是 的极大值点 B. ， 是 的极小值点C. ， 不是 的极值点 D. ， 是 的极值点详解：由题意可得函数 在点 处的切线方程为 ， ， ， 又当 时， ，故 单调递减，当 时， ，故 单调递增 是是 的极小值点3对 ， ，则 的最小值为（ ）CA. B. C. D. 详解：设 则 设则 在 上恒成立，函数 在上单调递增， 在 上恒成立，即函数在 上单调递增， 则 的最小值为 .4设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是（ ）DA. B. C. D. 详解：不等式 .试卷第 2 页，总 12 页设 ，则 ,于是 f(x)在 上是增函数.因为 ， ，所以 ，即

3、 对任意的 恒成立，因此只需 .设 ， ，所以 在 上为增函数，所以 ，所以 ，即 m 的最大值是 e.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.5已知 为正常数， ,若存在 ，满足 ，

4、则实数 的取值范围是 DA. B. C. D. 详解：设 则其关于直线 x=a 对称的曲线为 所以函数 f(x)的图像关于直线 对称，且在上为增函数所以 因为 ， 所以 6已知函数 和 ， （）设 ，求函数 的单调区间；（）当 时， 为函数 图象与函数 图象的公共点，且在点 处有公共切线，求点 的坐标及实数 的值详解：（） , （1）当 时，在 时， ，函数 在 上单调递增，在 时， ，函数 在 单调递减；在 时， ，函数 在 上单调递增（2）当 时，在 时， ，函数 在 上单调递增（3）当 时，在 时， ，函数 在 上单调递增，在 时， ,函数 在 单调递减；在 时， ，函数 在 上单调递增

5、综上：当 时，函数 的单调递增区间是 和 ；单调递减区间是当 时，函数 的单调增区间是 ，当 时，函数 的单调递增区间是 和 ；单调递减区间是（）设点 ，在点 处有公切线，设切线斜率为 ,因 ，所以 ，即 ,由 是函数 与函数 图象的公共点，所以，化简可得 ,将 代入，得设函数 , 因为 ， ，函数 在 单调递减，因为 ， 所以在 时 只有一个零点.由知方程 在 只有一个实数根 代入： ，所以 ，此时： .点睛：可导函数 y=f(x)在 处的导数就是曲线 y=f(x)在 处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已

6、知 y=f(x)在处的切线是 ,若求曲线 y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点 ,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。7己知函数 .（）求函数 的单调区间；（）若函数 的最小值为-1， ，数列 满足 ， ，记， 表示不超过 的最大整数证明： 详解：（）函数 的定义域为 .1、当 时， ，即 在 上为增函数；2、当 时，令 得 ，即 在 上为增函数；同理可得 在 上为减函数.（） 有最小值为-1， 由（）知函数 的最小值点为 ，即 ，则 ，令 ， 当 时， ，故 在 上是减函数所以当 时 ， .（未证明，直接

7、得出不扣分）则 .由 得 ，从而 . ， .猜想当 时， .下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当 时，猜想正确.2、假设 时，猜想正确.即 时， .当 时，有 ，由（）知 是 上的增函数，则 ，即 ，由 得 .综合 1、2 得：对一切 ，猜想正确.即 时， .于是， ，则 .试卷第 4 页，总 12 页故 点睛：本题主要考查了函数的单调性和最值，数学归纳猜想的思想，以及数列的裂项相消法，综合性较强，属于难题.8已知函数 ， ， ， 为自然对数的底数 .（）若函数 在 上存在零点，求实数 的取值范围；（）若函数 在 处的切线方程为 .求证：对任意的 ，总有 .详解：（）易得 . 若 ，有 ，不合

8、题意；若 ，有 ， ，满足题设； 若 ，令 ，得 在 上单调递减；在 单调递增，则 ， . 又 满足题设， 综上所述，所求实数 . （）证明：易得， ，则由题意，得 ，解得 . ，从而 ，即切点为 . 将切点坐标代入 中，解得 . . 要证 ，即证 （ ，只需证 ）.令 ， . 则由 ，得 ， 在 上单调递减；在 上单调递增， . 又由 ，得 在 上单调递增；在 上单调递减， . ，显然，上式的等号不能同时取到.故对任意的 ，总有 .点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归、分类讨论的思数学想。这也是这类题在高考中经常出现、着重考查的内容，应当引起重视。在第一问中关键在于利用

9、分类讨论的思想得出函数的最小值；在第二问中关键是确定函数解析式后，在原来形式的基础上构造性的函数， ，通过研究新函数的最值来得 的大小关系。9已知： ，其中 为自然对数的底数， .（）试猜想 与 的大小关系；（）请对你得出的结论写出证明过程.详解：（）依题意，取 ， ，得 ，即有 ；取 ， 时，有 ， ；取 ， 时， ， .又 ， ， ，此时有 .由此猜测 对一切 成立. （）证明：要证 对一切 成立，只需证 ， 即证 . 设函数 ， . ，当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，又 ， ，即 ，故有 .点睛：比较大小的常用方法：（1）作差法：作差法的关键是变形，变形时经常用到的方法有通分、配

10、方、因式分解等方法把差式变成几个代数式乘积的形式。(2)作商法：其中关键是判断商与 1 的大小(3)特值法：选择、填空题可以用特值比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断10已知函数 ，其中 是自然对数的底数（1）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；（2）已知正数 满足：存在 ，使得 成立试比较 与 的大小，并证明你的结论详解：（1）由条件知 在 上恒成立，令 （ ） ，则 ，所以 对于任意 成立因为 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立因此实数 的取值范围是 （2）令函数 ，则 ，当 时， ， ，又 ，故 ，所以 是 上的单调递增函数，因此 在 上的最小值是

11、 由于存在 ，使 成立，当且仅当最小值 ，故 ，即 与 均为正数，同取自然底数的对数，即比较 与 的大小，试比较 与 的大小构造函数 （ ） ，则 ，再设 ， ，从而 在 上单调递减，试卷第 6 页，总 12 页此时 ，故 在 上恒成立，则 在 上单调递减综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时， 点睛：在不等式恒成立和能成立两个问题中要注意转化的等价性：对任意 ，不等式 恒成立 ，对任意 ，不等式 恒成立 ，存在 ，使不等式 成立 ，存在 ，使不等式 成立 .11已知函数 ， （1）讨论函数 的单调性；（2）是否存在 ，使得 对任意 恒成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由详解：

12、（1）由已知得 ， 的定义域为 ，则 ，当 时， ， ， ，所以 ，所以函数 在 上单调递减；当 时，令 ，得 或 ，（i）当 （ ） ，即 时，所以 （ ） ，所以函数 在 上单调递增；（ii）当 ，即 时，在 和 上函数 ，在 上函数 ，所以函数 在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；（iii）当 ，即 时，在 和 上函数 ，在 上函数 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增（2）若 对任意 恒成立，则 ，记 ，只需 又 ，记 ，则 ，所以 在 上单调递减又 ， ，所以存在唯一 ，使得 ，即 ，当 时， ， ， 的变化情况如下：极大值所以 ，又因为 ，所以 ，所

13、以 ，因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，即 ，且 ，故 的最小整数值为 3，所以存在最小整数 ，使得 对任意 恒成立点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，在解题的过程中，需要明确导数与单调性的关系，如何应用导数研究函数的图像的走向，从而确定出函数的单调区间，对于是否存在类问题，在解题的过程中，都是假设其存在，将其向最值靠拢，最后应用导数完成任务.12已知函数 2ln1fxax（）当 时，求函数 的单调区间；14f（）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围0,a（）求证： （ ， 是自然对124821+1+359ne *nNe数的底数）.【答案】 （）单调递增区间为 ，单调递减区

14、间为 ;（） ; （）见解析.,0【解析】分析：（）求出函数的导数，分别解不等式 、 ，可求得 的增区间fxfxfx和减区间.（）构建新函数 ， 不等式 在 上恒成立等价于2ln1,0gxax,在 恒成立，而 ，分 三种情形讨论可得实0gx,21a0,a数 的取值范围为 .a,0（）由（）得不等式 ， ，故有ln1x 0,x，利用累加及其裂项相消法可以得到： 112ln2nnn，化简后可得到要证明182llll 1359n 的不等式.详解：（）当 时， ，14a21ln4fxx（ ）.()22fxx由 解得 ，由 解得 ，010fx1故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为f 1,（）因当

15、时，不等式 恒成立，即 恒成立. ,xf2ln10axx设 ，只需 即可.2lngaxmg由 ,211a试卷第 8 页，总 12 页（）当 时， ，0a1xg当 时， ，函数 在 上单调递减，xx0,故 成立；g（）当 时，由 ，因 ，所以 ，0a21xag0,x12xa若 ，即 时，在区间 上， ，则函数 在 上单调递增， 1210,gg0,在 上无最大值；gx,若 ，即 时，函数 在 上单调递减，在区间 上单调递0a2agx1,2a1,2a增，同样 在 上无最大值，不满足条件；,（）当 时，由 ， ， ，1gx0,x10x ，故函数 在 上单调递减，故 成立.0gx 0,g综上所述，实数

16、的取值范围是 .a（）据（）知当 时， 在 上恒成立，又ln1x0,，1122nnn 1482l359n 122ln1ln1ln1l52n1483592nn，11 12 215nnn .148+1+392nne点睛：复杂函数的性质的讨论，可以通过导数先刻画函数的单调性（与导数的正负有关） ，再刻画函数的极值，从而讨论与函数相关的不等式恒成立问题.而数列不等式的证明往往需要利用题设条件构建新的函数不等式，通过赋予自变量特殊的值求得数列不等式，最后利用新的数列不等式去证明题设中的不等式.13已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为(1) 求 的值；(2) 证明: .详解：（1）解： ，由题意有 ，解

17、得（2）证明：（方法一）由（1）知， .设 则只需证明，设则 ， 在 上单调递增 ，使得 且当 时， ，当 时，当 时， ， 单调递减当 时， ， 单调递增，由 ，得 ，设 ， ， 当 时， ， 在 单调递减，因此（方法二）先证当 时， ，即证设 ， 则 ，且， 在 单调递增，在 单调递增，则当 时，（也可直接分析 显然成立）再证设 ，则 ，令 ，得 且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. ，即又 ，点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可

18、以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.14已知函数 .（1）若 在定义域上不单调，求 的取值范围；（2）设 ， ， 分别是 的极大值和极小值，且 ，求 的取值范围.详解：由已知 ，（1）若 在定义域上单调递增，则 ，即 在 上恒成立，而 ，所以 ；若 在定义域上单调递减，则 ，即 在 上恒成立，试卷第 10 页，总 12 页而 ，所以 .因为 在定义域上不单调，所以 ，即 .（2）由（1）知，欲使 在 有极大值和极小值，必须 .又 ，所以 .令 的两根分别为 ， ，即 的两根分别为 ， ，于是 .不妨设 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， ，所以.令 ，于是 ，

19、，由 ，得 ，又 ，所以 .因为 ，所以 在 上为减函数，所以 .点睛：导数问题一直是高考数学的重点内容也是难点内容，要注意研究函数的单调性，有时需要构造相关函数，将问题转化为求函数的值域问题，本题中的第一问，采用了 “正难则反”的策略，简化了解题，在解决第二问换元时，要注意表明新元 的取值范围.15已知函数 .（1）求函数 的单调增区间；（2）若函数 有两个极值点 ，且 ，证明： .详解：（）由 ，得：设函数 当 时，即 时， ， ，所以函数 在 上单调递增.当 时，即 时，令 得 ， ，当 时，即 时，在 上， ， ;在 上， ， .所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.当 时，即

20、 时，在 上， ， ;在 上， ， .所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.综上，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. （）证明：函数 有两个极值点 ，且 ， 有两个不同的正根 ， . 欲证明 ，即证明 ， ，证明 成立，等价于证明 成立. ， . 设函数 ，求导可得 . 易知 在 上恒成立，即 在 上单调递增， ，即 在 上恒成立，函数 有两个极值点 ，且 时， . 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用及不等关系的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(

21、最值) 最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.16已知函数 在点 处的切线方程是 .（1）求 ， 的值及函数 的最大值；（2）若实数 ， 满足 （ ）1）证明： ；2）若 ，证明： .详解：（） ，由题意有 ，解得 故 ， ， 所以 在 为增函数，在 为减函数 故有当 时， （）证明：（） ，由（）知 ，所以 ，即 .又因为 ，所以 ，故 .（）法一：由（1）知在

22、 上单调递增即： 法二： ，构造函数 ， ，因为 ，所以 ，即当 时， ，所以 在 为增函数，所以 ，即 ，故试卷第 12 页，总 12 页点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率研究利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解.17已知函数 （1）若曲线 在 处切线的斜率为 ，求此切线方程；（2）若 有两个极值点 ，求 的取值范围，并证明： 详解：（1） ， ，解得 ， ，故切点为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 （2） ，令 ，得 令 ，则 ，且当 时， ；当 时， ； 时， 令 ，得 ，且当 时， ；当 时， 故 在 递增，在 递减，所以 所以当 时， 有一个极值点； 时， 有两个极值点；当 时， 没有极值点综上， 的取值范围是 因为 是 的两个极值点，所以 即 不妨设 ，则 ， ，因为 在 递减，且 ，所以 ，即 由可得 ，即 ，由，得 ，所以