1、第14章 图的基本概念,离 散 数 学,本章内容,1 图 2 通路与回路 3 图的连通性 4 图的矩阵表示 5 图的运算,14.1 图的基本概念,图的定义 图的一些概念和规定 简单图和多重图 顶点的度数与握手定理 图的同构 完全图与正则图 子图与补图,无序积与多重集合,设A，B为任意的两个集合，称a,b|aAbB为A与B的无序积，记作A&B。可将无序积中的无序对a,b记为(a,b)，并且允许ab。无论a,b是否相等，均有(a,b)(b,a)，因而A&BB&A。 元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元素重复出现的次数称为该元素的重复度。例如 在多重集合a,a,b,b,b,c,d中，a
2、,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。,定义14.1 一个无向图是一个有序的二元组,记作G，其中（1）V称为顶点集，其元素称为顶点或结点。（2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。 定义14.2 一个有向图是一个有序的二元组，记作D，其中（1）V称为顶点集，其元素称为顶点或结点。（2）E为边集，它是笛卡儿积VV的多重子集，其元素称为有向边，简称边。,无向图和有向图,说明,可以用图形表示图，即用小圆圈（或实心点）表示顶点，用顶点之间的连线表示无向边，用有方向的连线表示有向边。,例14.1,例14.1 (1) 给定无向图G，其中 Vv1,v2,v3,v4,v5，
3、E=(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5). (2) 给定有向图D=，其中 Va,b,c,d， E,。 画出G与D的图形。,图的一些概念和规定,G表示无向图，但有时用G泛指图(无向的或有向的)。 D只能表示有向图。 V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 若|V(G)|n，则称G为n阶图。 若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，则称G为有限图。 若边集E(G)，则称G为零图，此时，又若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡图。 在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产生顶点集为空
4、集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记为。,标定图与非标定图、基图,将图的集合定义转化成图形表示之后，常用ek表示无向边(vi,vj)（或有向边），并称顶点或边用字母标定的图为标定图，否则称为非标定图。 将有向图各有向边均改成无向边后的无向图称为原来图的基图。 易知标定图与非标定图是可以相互转化的，任何无向图G的各边均加上箭头就可以得到以G为基图的有向图。,关联与关联次数、环、孤立点,设G为无向图，ek(vi,vj)E，称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。若vivj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。若vivj，则称ek与vi的关联次数为2
5、，并称ek为环。任意的vlV，若vlvi且vlvj，则称ek与vl的关联次数为0。 设D为有向图，ekE，称vi,vj为ek的端点。若vivj，则称ek为D中的环。 无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均称为孤立点。,相邻与邻接,设无向图G，vi，vjV，ek，elE。若etE，使得et(vi，vj)，则称vi与vj是相邻的。若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的。 设有向图D，vi，vjV，ek，elE。若etE，使得et，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻。,邻域,设无向图G，vV
6、，称u|uV(u,v)Euv为v的邻域，记做NG(v)。称NG(v)v为v的闭邻域，记做NG(v)。称e|eEe与v相关联为v的关联集，记做IG(v)。 设有向图D，vV，称u|uVEuv为v的后继元集，记做+D(v)。称u|uVEuv为v的先驱元集，记做-D(v)。称+D(v)-D(v)为v的邻域，记做ND(v)。称ND(v)v为v的闭邻域，记做ND(v)。,举例,NG(v1) ,+D(d ) ,v2，v5,NG(v1) ,v1，v2，v5,IG(v1) ,e1，e2，e3,c,-D(d ) ,a，c,ND(d ) ,a，c,ND(d ) ,a，c，d,简单图与多重图,定义14.3 在无向图
7、中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边。含平行边的图称为多重图。既不含平行边也不含环的图称为简单图。 例如：在图14.1中，(a)中e5与e6是平行边，(b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。(a)和(b)两个图都不是简单图。,顶点的度数,定义14.4 设G为一无向图，vV，称v作为边的端点次数之和为v的度数，简称为度，记做 dG(v)。在不发生混淆时，简记为d(v)。设D为有向图，vV，称v作为边的始点次数之和为v的出度，记
8、做d+D(v)，简记作d+(v)。称v作为边的终点次数之和为v的入度，记做d -D(v)，简记作d-(v)。称d+(v)+d-(v)为v的度数，记做d(v)。,图的度数的相关概念,在无向图G中，最大度 (G)maxd(v)|vV(G)最小度 (G)mind(v)|vV(G) 在有向图D中，最大出度 +(D)maxd+(v)|vV(D)最小出度 +(D)mind+(v)|vV(D)最大入度 -(D)maxd-(v)|vV(D)最小入度 -(D)mind-(v)|vV(D) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。,图的度数举例,d(v1)4
9、(注意，环提供2度)， 4，1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。,d+(a)4，d-(a)1 (环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)4+15。5，3， +4 (在a点达到) +0(在b点达到) -3(在b点达到) -1(在a和c点达到),握手定理,定理14.1 设G为任意无向图，Vv1,v2,vn，|E|m，则,说明 任何无向图中，各顶点度数之和等于边数的两倍。 证明 G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边，共提供2m度。,定理14.2 设D为任意有向图，Vv1,v2,vn，|E|m，则,握手定理的推论,推论 任何图(无向的或有向
10、的)中，奇度顶点的个数是偶数。 证明 设G为任意一图，令V1v|vVd(v)为奇数V2v|vVd(v)为偶数则V1V2V，V1V2 ，由握手定理可知,由于2m和,，所以,为偶数，,但因V1中顶点度数为奇数，,所以|V1|必为偶数。,问题研究,问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？ 解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。 说明：(1)很多离散问题可以用图模型求解。(2)为了建立一个图模型，需要决定顶点和边分别代表什么。(3)在一个图模型中，边经常代表
11、两个顶点之间的关系。,度数列,设G为一个n阶无向图，Vv1,v2,vn，称d(v1)，d(v2)，d(vn)为G的度数列。 对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。 反之，对于给定的非负整数列dd1,d2,dn，若存在Vv1,v2,vn为顶点集的n阶无向图G，使得d(vi)di，则称d是可图化的。 特别地，若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。 类似地，设D为一个n阶有向图，Vv1,v2,vn，称d(v1)，d(v2)，d(vn)为D的度数列，另外称d+(v1)，d+(v2)，d+(vn)与d-(v1)，d-(v2)，d-(vn)分别为D的出度列和入度列。,度数列举例,按顶点的标定顺序，度
12、数列为4,4,2,1,3。,按字母顺序，度数列，出度列，入度列分别为5,3,3,34,0,2,11,3,1,2,可图化的充要条件,定理14.3 设非负整数列d(d1，d2，dn)，则d是可图化的当且仅当,证明 必要性。由握手定理显然得证。充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数度点。奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。,可图化举例,由定理14.3立即可知，(3,3,2,1)，(3,2,2,1,1)等是不可图化的，(3,3,2,2)，(3,2,2,2,1)等是可图化的。,定理14.4,定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则(G)n-1。 证明 因为G既无平行边也无环，所以G中任何顶点v
13、至多与其余的n-1个顶点均相邻，于是d(v)n-1，由于v的任意性，所以(G)n-1。 例14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？(1) (5,5,4,4,2,1)不可图化。(2) (5,4,3,2,2)可图化，不可简单图化。若它可简单图化，设所得图为G，则(G)max5,4,3,2,25，这与定理14.4矛盾。,例14.2,(3) (3,3,3,1)可图化，不可简单图化。假设该序列可以简单图化，设G以该序列为度数列。不妨设Vv1,v2,v3,v4且 d(v1)d(v2)d(v3)3,d(v4)1，由于d(v4)1，因而v4只能与v1，v2，v3之一相邻，于是v1，v
14、2，v3不可能都是3度顶点，这是矛盾的，因而(3)中序列也不可简单图化。,(4) (d1,d2,dn)，d1d2dn1 且 为偶数。,可图化，不可简单图化。,例14.2,(5) (4,4,3,3,2,2) 可简单图化。下图中两个6阶无向简单图都以(5)中序列为度数列。,图的同构,定义14.5 设G1，G2为两个无向图，若存在双射函数f：V1V2，对于vi,vjV1，(vi,vj)E1当且仅当 (f(vi),f(vj)E2， 并且 (vi,vj)与(f(vi),f(vj)的重数相同，则称G1与G2是同构的，记做G1G2。 说明 (1) 类似地，可以定义两个有向图的同构。(2) 图的同构关系看成全
15、体图集合上的二元关系。(3) 图的同构关系是等价关系。(4) 在图同构的意义下，图的数学定义与图形表示 是一一对应的。,图的同构举例,彼得森(Petersen)图,图同构的必要条件：,节点数目相等 边数相等 度数相同的节点数目相等,完全图,定义14.6 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记做Kn(n1)。 设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到其余的n-1个顶点，又邻接于其余的n-1个顶点，则称D是n阶有向完全图。设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图Kn，则称D是n阶竞赛图。,完全图举例,n阶无向完全图的边
16、数为： n(n-1)/2 n阶有向完全图的边数为： n(n-1) n阶竞赛图的边数为： n(n-1)/2,K5,3阶有向完全图,4阶竞赛图,正则图,定义14.7 设G为n阶无向简单图，若vV(G)，均有d(v)k，则称G为k-正则图。 举例 n阶零图是0-正则图n阶无向完全图是(n-1)-正则图彼得森图是3-正则图 说明 n阶k-正则图中，边数mkn/2。当k为奇数时，n必为偶数。,子图,定义14.8 设G，G为两个图(同为无向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G是G的子图，G为G 的母图，记作G G。若V V或E E，则称G 为G的真子图。若V V，则称G 为G的生成子图。 设G为一图
17、，V1V且V1，称以V1为顶点集，以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出的子图，记作GV1。设E1E且E1，称以E1为边集，以E1中边关联的顶点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图，记作GE1。,导出子图举例,在上图中，设G为(1)中图所表示， 取V1a,b,c，则V1的导出子图GV1为(2)中图所示。 取E1e1,e3，则E1的导出子图GE1为(3)中图所示。,定义14.9,定义14.9 设G为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G。若图GG，则称为G是自补图。,(1)为自补图 (2)和(3)互为补图,定义
18、14.10,定义14.10 设G为无向图。 (1)设eE，用G-e表示从G中去掉边e，称为删除e。设E E，用G-E 表示从G中删除E 中所有的边，称为删除E 。 (2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的一切边，称为删除顶点v。设V V，用G-V 表示从G中删除V 中所有顶点，称为删除V 。 (3)设边e(u,v)E，用Ge表示从G中删除e后，将e的两个端点u,v用一个新的顶点w(或用u或v充当w)代替，使w关联除e外u,v关联的所有边，称为边e的收缩。 (4)设u,vV(u,v可能相邻，也可能不相邻)，用G(u,v)(或G+(u,v)表示在u,v之间加一条边(u,v)，称为加新边。
19、说明 在收缩边和加新边过程中可能产生环和平行边。,举例,G,Ge5,Ge1, e4,Gv5,Gv4, v5,Ge5,14.2 通路与回路,定义14.11 设G为无向标定图，G中顶点与边的交替序列vi0ej1vi1ej2vi2ejivil称为vi0到vil的通路，其中，vir-1,vir为ejr的端点，r 1，2，l，vi0，vil分别称为的始点与终点，中边的条数称为它的长度。若vi0vil，则称通路为回路。若的所有边各异，则称为简单通路，又若vi0vil，则称为简单回路。若的所有顶点(除vi0与vij可能相同外)各异，所有边也各异，则称为初级通路或路径，又若vi0vil，则称为初级回路或圈。将
20、长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。,关于通路与回路的说明,在初级通路与初级回路的定义中，仍将初级回路看成初级通路(路径)的特殊情况，只是在应用中初级通路(路径)都是始点与终点不相同的，长为1的圈只能由环生成，长为2的圈只能由平行边生成，因而在简单无向图中，圈的长度至少为?。 若中有边重复出现，则称为复杂通路，又若vi0vil，则称为复杂回路。 在有向图中，通路、回路及分类的定义与无向图中非常相似，只是要注意有向边方向的一致性。 在以上的定义中，将回路定义成通路的特殊情况，即回路也是通路，又初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之不真。,通路和回路的简单表示法,只用边的序列表示通
21、路(回路)。定义14.11中的可以表示成ej1 ,ej2 , ,ejl。 在简单图中也可以只用顶点序列表示通路(回路)。定义中的也可以表示成vi0 ,vi2 , ,vil。 为了写出非标定图中的通路(回路)，可以先将非标定图标成标定图，再写出通路与回路。 在非简单标定图中，当只用顶点序列表示不出某些通路(回路)时，可在顶点序列中加入一些边(这些边是平行边或环)，可称这种表示法为混合表示法。,定理14.5,定理14.5 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从vi到vj存在长度小于或等于n-1的通路。 证明 设v0e1v1e2elvl(v0vi ,vlvj)为G中一条长度为l的
22、通路，若ln-1，则满足要求，否则必有l+1n，即上的顶点数大于G中的顶点数，于是必存在k,s,0ksl，使得 vsvk,即在上存在vs到自身的回路Csk,在上删除Csk上的一切边及除vs外的一切顶点，得v0e1v1e2vkes+1 elvl ,仍为vi到vj的通路，且长度至少比减少1。若还不满足要求，则重复上述过程，由于G是有限图，经过有限步后，必得到vi到vj长度小于或等于n-1的通路。,定理14.6,推论 在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）。 定理14.6 在一个n阶图G中，若存在vi 到自身的回路，则一定存在
23、vi 到自身长度小于或等于n的回路。 推论 在一个n阶图G中，若存在vi 到自身的简单回路，则一定存在vi 到自身长度小于或等于n的初级回路。,例14.4,例14.4 无向完全图Kn(n3)中有几种非同构的圈？ 解答 长度相同的圈都是同构的，因而只有长度不同的圈才是非同构的，易知Kn(n3)中含长度为3，4，n的圈，所以Kn(n3)中有n-2种非同构的圈。,例14.5,例14.5 无向完全图K3的顶点依次标定为a,b,c。在定义意义下K3中有多少个不同的圈？ 解答 在同构意义下，K3中只有一个长度为3的圈。但在定义意义下，不同起点(终点)的圈是不同的，顶点间排列顺序不同的圈也看成是不同的，因而
24、K3中有6个不同的长为3的圈： abca ，acba ，bacb ，bcab ，cabc ，cbac如果只考虑起点(终点)的差异，而不考虑顺时针逆时针的差异，应有3种不同的圈，当然它们都是同构的，画出图来只有一个。,14.3 图的连通性,无向图的连通性 无向图中顶点之间的短程线及距离 无向图的连通程度：点割集、割点、边割集、割边、连通度 有向图的连通性及判别方法 扩大路径法与极大路径 二部图及其判别方法,无向图的连通性,定义14.12 设无向图G， u,vV，若u,v之间存在通路，则称u,v是连通的，记作uv。 vV，规定vv。 无向图中顶点之间的连通关系 （u,v）| u,vV且u与v之间有
25、通路是自反的、对称的、传递的，因而是V上的等价关系。,连通图与连通分支,定义14.13 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图，否则称G是非连通图或分离图。 说明：完全图Kn(n1)都是连通图零图Nn(n2)都是分离图。 定义14.14 设无向图G，V关于顶点之间的连通关系的商集V/V1,V2,Vk，Vi为等价类，称导出子图GVi(i1,2,k)为G的连通分支，连通分支数k常记为p(G)。 说明 若G为连通图，则p(G)1。若G为非连通图，则p(G)2。在所有的n阶无向图中，n阶零图是连通分支最多的， p(Nn)n。,无向图中顶点之间的短程线及距离,定义14.15 设u
26、,v为无向图G中任意两个顶点，若uv，称u,v之间长度最短的通路为u,v之间的短程线，短程线的长度称为u,v之间的距离，记作d(u,v)。当u,v不连通时，规定d(u,v)。 距离有以下性质：(1)d(u,v)0，uv时，等号成立。(2)具有对称性，d(u,v)d(v,u)。(3)满足三角不等式： u,v,wV(G)，则d(u,v)+d(v,w)d(u,w) 说明：在完全图Kn(n2)中，任何两个顶点之间的距离都是1。在n阶零图Nn(n2)中，任何两个顶点之间的距离都为。,如何定义连通度,问题：如何定量地比较无向图的连通性的强与弱？ 点连通度：为了破坏连通性，至少需要删除多少个顶点？ 边连通度
27、：为了破坏连通性，至少需要删除多少条边？ “破坏连通性”是指“变得更加不连通” 。,无向图的点割集,定义14.16 设无向图G，若存在V V，且V ，使得p(G-V )p(G)，而对于任意的V V ，均有p(G-V )p(G)，则称V 是G的点割集。若V 是单元集，即V v，则称v为割点。,v2,v4,v3,v5都是点割集 v3,v5都是割点 v1与v6不在任何割集中。,实际上，点割集是若删去它们就会使图不连通的顶点的集合，而割点是若删去此一顶点就会使图不连通的顶点。,无向图的边割集,定义14.17 设无向图G，若存在E E，且E ，使得p(G-E )p(G)，而对于任意的E E，均有p(G-
28、E )p(G)，则称E是G的边割集，或简称为割集。若E 是单元集，即E e，则称e为割边或桥。,e6,e5,e2,e3,e1,e2,e3,e4,e1,e4,e1,e3,e2,e4都是割集， e6,e5是桥。,实际上，边割集是若删去它们就会使图不连通的边的集合，而割边是若删去此一边就会使图不连通的边。,点连通度,定义14.18 设G为无向连通图且为非完全图，则称 (G)min|V |V 为G的点割集为G的点连通度，简称连通度。 说明 连通度是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目。规定完全图Kn(n1)的点连通度为n-1，规定非连通图的点连通度为0，若 (G)k，则称G是k-连通图，k为非负
29、整数。 说明 (G)有时简记为。上例中图的点连通度为1，此图为1-连通图。K5的点连通度K4，所以K5是1-连通图，2-连通图，3-连通图，4-连通图。若G是k-连通图（k1）则在G中删除任何k-1个顶点后，所得图一定还是连通的。,边连通度,定义14.19 设G是无向连通图，称 (G )min|E | E 是G的边割集为G的边连通度。规定非连通图的边连通度为0。若(G)r，则称G是r 边-连通图。 说明 (G)也可以简记为。若G是 r 边-连通图，则在G中任意删除r-1条边后，所得图依然是连通的。完全图Kn的边连通度为n-1，因而Kn是r边-连通图，0rn-1。平凡图G 由于E 则0图14.8
30、中图的边连通度1，它只能是1边-连通图。,例14.6,求所示各图的点连通度，边连通度，并指出它们各是几连通图及几边连通图。最后将它们按点连通程度及边连通程度排序。,K4,K3,K2,K1,K=1 =2,K2,K0,K0,例14.6的解答,设第i个图的点连通度为Ki，边连通度为i，I1,2,8。 容易看出，K114，K223，K332，K441，K5=1 5=2，K662，K770，K880。(1)是k-连通图，k边-连通图，k1,2,3,4。(2)是k-连通图，k边-连通图，k1,2,3。(3)是k-连通图，k边-连通图，k1,2。(4)是1-连通图，1边-连通图。(5)是1-连通图，k边-连
31、通图，k1,2。(6)是k-连通图，k边-连通图，k1,2。(7)是0-连通图，0边-连通图。(8)是0-连通图，0边-连通图。 点连通程度为(1)(2)(3)(6)(4)(5)(7)(8)。 边连通程度为(1)(2)(3)(5)(6)(4)(7)(8)。,定理14.7（惠特尼）,定理14.7 对于任何无向图G，有 (G)(G)(G)(证明) 证明：如果图G是不连通图或者是平凡图，则有 (G)=(G)=0 (G)；任给一个连通图G，若(G)=k，则存在边割E，| E| = k。现取E中每一条边的一个端点构成顶点集V，即V=u | (u, v)E且vV。显然|V| k 。而GV是不连通的，即V是
32、G的一个顶点割。所以(G) |V| (G)。若G是非平凡图，则因为每一个顶点所关联的边构成一个边割，故有 (G) (G)。综上所述，有(G) (G) (G)。,例14.7 (1)给出一些无向简单图，使得 。 (2)给出一些无向简单图，使得 。 解答 (1) n阶无向完全图Kn和n阶零图Nn都满足要求。 (2)在两个Kn(n4)之间放置一个顶点v，使v与两个Kn中的每一个的任意两个不同的顶点相邻，所得简单图满足要求。因为这样的图中有一个割点，所以点连通度为1，又因为无桥，而有两条边组成的边割集，所以边连通度为2，当n4时，3，当n5时，4。,有向图的连通性,定义14.20 设D为一个有向图。vi
33、,vjV，若从vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vivj，规定vi总是可达自身的，即vivi。若vivj且vjvi，则称vi与vj是相互可达的，记作vi vj。规定vivi。 说明 与都是V上的二元关系，并且不难看出是V上的等价关系。 定义14.21 设D为有向图，vi,vjV，若vivj，称vi到vj长度最短的通路为vi到vj的短程线，短程线的长度为vi到vj的距离，记作d 。 说明 与无向图中顶点vi与vj之间的距离d(vi,vj)相比，d除无对称性外，具有d(vi,vj)所具有的一切性质。,连通图,定义14.22 设D为一个有向图。若D的基图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通
34、图。若vi,vjV，vivj与vjvi至少成立其一，则称D是单向连通图。若均有vi vj，则称D是强连通图。 说明 强连通图一定是单向连通图，单向连通图一定是弱连通图。,强连通图,单向连通图,弱连通图,强连通图与单向连通图的判定定理,定理14.8 设有向图D，Vv1,v2,vn。D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路。 证明 充分性显然。下面证明必要性。由D的强连通性可知，vivi+1，i1,2,n-1。设i为vi到vi+1的通路。又因为vnv1，设n为vn到v1的通路，则1,2,n-1,n所围成的回路经过D中每个顶点至少一次。 定理14.9 设D是n阶有向图，D是单向连通图当
35、且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路。,扩大路径法,设G为n阶无向图，E，设l为G中一条路径，若此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到通路中来。继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端点不与通路外的顶点相邻为止。设最后得到的路径为l+k(长度为l的路径扩大成了长度为l+k的路径)，称l+k为“极大路径”，称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路径法”。 有向图中可以类似地讨论，只须注意，在每步扩大中保持有向边方向的一致性。,关于极大路径的说明,由某条路经扩大出的极大路径不唯一。 极大路径不一定是图中最长的路径。,例14.8,例14.8 设G为n（n4）阶无向简单图，(G)3。证明
36、G中存在长度大于或等于4的圈。 证明 不妨设G是连通图，否则，因为G的各连通分支的最小度也都大于或等于3，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设u,v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之间存在通路，由定理14.5的推论可知，u,v之间存在路径，用“扩大路径法”扩大这条路径，设最后得到的“极大路径”为lv0v1vl，易知l3。若v0与vl相邻，则l(v0,vl)为长度大于或等于4的圈。否则，由于d(v0)(G)3，因而v0除与l上的v1相邻外，还存在l上的顶点vk(k1)和vt(kt l )与v0相邻，则v0v1vkvtv0为一个圈且长度大于或等于4,二部图,定义14.23 设G为一个无
37、向图，若能将V分成V1和V2(V1V2V,V1V2)，使得G中的每条边的两个端点都是一个属于V1，另一个属于V2，则称G为二部图（或称二分图，偶图等），称V1和V2为互补顶点子集。常将二部图G记为。若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有顶点相邻，则称G为完全二部图，记为Kr,s，其中r|V1|，s|V2|。 说明 n阶零图为二部图。,二部图举例,K6的子图,K6的子图,K3,3,K2,3,K3,3,K2,3,二部图的判定定理,定理14.10 一个无向图G是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。 证明 必要性。 设图G是二部图,令Cv0,v1,v2,vk,v0是G的一条回路，其长度为k+1
38、。 不失一般性，假设v0V1，由二部图的定义知，v1V2，v2V1。由此可知，v2iV1且v2i+1V2。 又因为v0V1，所以vkV2，因而k为奇数，故C的长度为偶数。,二部图的判定定理,充分性。不妨设G为连通图，否则可对每个连通分支进行讨论。设v0为G中任意一个顶点，令V1v|vV(G)d(v0,v)为偶数V2v|vV(G)d(v0,v)为奇数易知，V1,V2,V1V2，V1V2V(G)。下面只要证明V1中任意两顶点不相邻,V2中任意两点也不相邻。若存在vi,vjV1相邻，令(vi,vj)e，设v0到vi,vj的短程线分别为i,j，则它们的长度d(v0,vi),d(v0,vj)都是偶数，于
39、是ije中一定含奇圈，这与已知条件矛盾。类似可证，V2中也不存在相邻的顶点，于是G为二部图。,14.4 图的矩阵表示,定义14.24 设无向图G，Vv1,v2,vn，Ee1,e2,em，令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nm为G的关联矩阵，记作M(G)。,有向图的关联矩阵,定义14.25 设有向图D中无环，Vv1,v2,vn，Ee1,e2,em，令,则称(mij)nm为D的关联矩阵，记作M(D)。,有向图的邻接矩阵,定义14.26 设有向图D，Vv1,v2,vn，Ee1,e2,，em，令aij(1)为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称(aij(1)nn为D的邻接矩阵，记作A(
40、D)，或简记为A。,有向图的可达矩阵,定义14.27 设D为有向图。Vv1,v2,vn，令,pij,1 vi 可达 vj,0 否则,称(pij)nn为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为P。,14.5 图的运算,定义14.28 设G1，G2为两个图。若V1V2，则称G1与G2是不交的。若E1E2，则称G1与G2是边不交的或边不重的。 说明：不交的图，必然是边不交的，但反之不真。,图的运算,定义14.29 设G1，G2为不含孤立点的两个图（它们同为无向图或同为有向图）。 (1)称以E1E2为边集，以E1E2中边关联的顶点组成的集合为顶点集的图为G1与G2的并图，记作G1G2。 (2)称以E1-E2
41、为边集，以E1-E2中边关联的顶点组成的集合为顶点集的图为G1与G2的差图，记作G1-G2。 (3)称以E1E2为边集，以E1E2中边关联的顶点组成的集合为顶点集的图为G1与G2的交图，记作G1G2。 (4)称以E1E2为边集（为集合之间的对称差运算），以E1E2中边关联的顶点组成的集合为顶点集的图为G1与G2的环和，记作G1G2。,定义14.29的说明,(1)若G1G2，则G1G2G1G2G1(G2)G1-G2G2-G1G1G2这就是在图的定义中给出空图概念的原因。 (2)当G1与G2边不重时，G1G2 G1-G2G1G2-G1G2 G1G2G1G2 (3)图之间环和的定义也可以用并、交、差给出，即G1G2(G1G2)-(G1G2),基本要求,理解与图的定义有关的诸多概念，以及它们之间的相互关系。 深刻理解握手定理及其推论的内容，并能熟练地应用它们。 深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图等概念及其它们的性质和相互关系，并能熟练地应用这些性质和关系。 深刻理解通路与回路的定义、相互关系及其分类，掌握通路与回路的各种不同的表示方法。 理解无向图的点连通度、边连通度等概念及其之间的关系，并能熟练地求出给定的较为简单的图的点连通度与边连通度。 理解有向图连通性的概念及其分类，掌握判断有向连通图类型的方法。,
