1、1一 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下思考 1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 第一辆自行车倒下；任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下思考 2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数 n 有关的问题梳理 数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某
2、正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：证明当 n n0时命题成立；假设当 n k(kN ，且 k n0)时命题成立，证明 n k1 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明(3)数学归纳法的基本过程2类型一 用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明 1 (nN )12 122 123 12n 1 12n 12n证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边1 ，等式成立12 12 12(2)假设当 n k(k1)时，等式成立，即 1
3、 .12 122 12k 12k当 n k1 时， 1 1 ，12 122 12k 12k 1 12k 12k 1 12k 1即当 n k1 时，等式也成立由(1)(2)可知，原等式对 nN 均成立反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n n0时命题的形式，二是要准确把握由 n k 到 n k1 时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明 n k1 成立时，必须使用归纳假设跟踪训练 1 用数学归纳法证明 12 23 2 n2 n(n1)(2 n1)( nN )16证明 (1)当 n1 时，左边1 21，右边 1，等式成立1236(2)假设当 n k(k1， k
4、N )时，等式成立，即 122 23 2 k2 .kk 12k 16当 n k1 时，1 22 23 2 k2( k1) 2 ( k1) 2kk 12k 16kk 12k 1 6k 126k 12k2 7k 66 .k 1k 1 12k 1 16所以当 n k1 时等式也成立3由(1)(2)可知，等式对任何 nN 都成立类型二 证明与整除有关的问题例 2 求证： x2n y2n(nN )能被 x y 整除证明 (1)当 n1 时， x2 y2( x y)(x y)能被 x y 整除(2)假设 n k(k1， kN )时， x2k y2k能被 x y 整除，那么当 n k1 时， x2k2 y2
5、k2 x2x2k y2y2k x2y2k x2y2k x2(x2k y2k) y2k(x2 y2) x2k y2k与 x2 y2都能被 x y 整除， x2(x2k y2k) y2k(x2 y2)能被 x y 整除即当 n k1 时， x2k2 y2k2 能被 x y 整除由(1)(2)可知，对任意正整数 n，命题均成立反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这往往要利用“添项”与“减项” “因式分解”等变形技巧来凑出 n k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证跟踪训练 2 用数学归纳法证明： n3( n1) 3( n2) 3能被 9 整除( nN )
6、证明 (1)当 n1 时，1 32 33 336 能被 9 整除，所以结论成立(2)假设当 n k(kN ， k1)时结论成立，即 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除则当 n k1 时，( k1) 3( k2) 3( k3) 3 k3( k1) 3( k2) 3( k3) 3 k3 k3( k1) 3( k2) 39 k227 k27 k3( k1) 3( k2) 39( k23 k3)因为 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除，9(k23 k3)也能被 9 整除，所以( k1) 3( k2) 3( k3) 3也能被 9 整除，即当 n k1 时结论也成立由(1)(2)知
7、，命题对一切 nN 成立类型三 用数学归纳法证明几何命题例 3 有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n) n2 n2 个部分( nN )证明 (1)当 n1 时，一个圆将平面分成两个部分，且 f(1)1122，4所以 n1 时命题成立(2)假设 n k(k1)时命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k) k2 k2 个部分则当 n k1 时，在 k1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O 与 k 个圆有2k 个交点，这 2k 个点将圆 O 分成 k 段弧，每段弧将原平面一分为二，故得 f(k1)
8、f(k)2 k k2 k22 k( k1) 2( k1)2.所以当 n k1 时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切 nN ，命题成立反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚 n k 与 n k1 时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起 f(k)与 f(k1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将 n k1 和 n k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明跟踪训练 3 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不
9、共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 (n2 n2)个区域( nN )12证明 (1)当 n1 时，一条直线把平面分成两个区域，又 (1212)2， n1 时命题成立12(2)假设当 n k(k1， kN )时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把平面分割成了(k2 k2)个区域12那么当 n k1 时， k1 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k2 k2)个区域，第 k112条直线被这 k 条直线分成 k1 段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了 k1 个区域， k1 条直线把平面分成了 (k2 k2) k1 (k1) 2( k1)2个区域12 12当 n k1 时命题也成立由
10、(1)(2)知，对一切的 nN ，此命题均成立51用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于( n2)”时，归纳奠基中 n0的取值应为( )A1B2C3D4答案 C解析 边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n03.2用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (nN ， a1)，在验证 n1 成立1 an 21 a时，左边所得的项为( )A1 B1 a a2C1 a D1 a a2 a3答案 B解析 当 n1 时， n12，故左边所得的项为 1 a a2.3用数学归纳法证明 34n1 5 2n1 (nN)能被 8 整除，当 n k1 时，3 4(k1)1 5 2(k1)1 应变形为_答案 81(3
11、 4k1 5 2k1 )565 2k1 (或 25(34k1 5 2k1 )563 4k1 )解析 3 4(k1)1 5 2(k1)1 3 4k5 5 2k3 813 4k1 255 2k1 813 4k1 815 2k1 565 2k1 81(3 4k15 2k1 )565 2k1 .4用数学归纳法证明 13(2 n1) n2(nN )证明 (1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当 n k(k1)时，等式成立，即 13(2 k1) k2，那么，当 n k1 时，13(2 k1)2( k1)1 k22( k1)1 k22 k1( k1) 2.所以当 n k1 时等式成立由(1)
12、和(2)可知等式对任意正整数 n 都成立1应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n1，有时需验证 n2， n3.(2)对 n k1 时式子的项数以及 n k 与 n k1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障(3)“假设 n k 时命题成立，利用这一假设证明 n k1 时命题成立” ，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范2判断利用数学归纳法证明问题是否正确6(1)是要看有无归纳基础(2)是证明当 n k1 时是否应用了归纳假设3与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明其中关键问
13、题是从当 n k1 时的表达式中分解出 n k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立一、选择题1已知命题 122 22 n1 2 n1 及其证明：(1)当 n1 时，左边1，右边2 111，所以等式成立(2)假设当 n k(k1， kN )时等式成立，即 122 22 k1 2 k1 成立，则当n k1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1，所以 n k1 时等式也成1 2k 11 2立由(1)(2)知，对任意的正整数 n 等式都成立判断以上评述( )A命题、推理都正确B命题正确、推理不正确C命题不正确、推理正确D命题、推理都不正确答案 B解析 推理不正
14、确，错在证明当 n k1 时，没有用到假设当 n k 时的结论，命题由等比数列求和公式知正确2在数列 an中， a1 1，前 n 项和 Sn 1 先算出数列的前 4 项的值，再根据2 n 1这些值归纳猜想数列的通项公式是( )A an 1 B an n 1n 1 n 1C an D an 2n n n 1 n答案 D解析 a1 1， S2 1，2 3 a2 S2 S1 ，3 2a3 S3 S2 ，4 3a4 S4 S3 ，5 4猜想： an .n 1 n73用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除” ，第二步归纳假设应写成( )A假设 n2 k1( kN )时正确，
15、再推 n2 k3 时正确B假设 n2 k1( kN )时正确，再推 n2 k1 时正确C假设 n k(kN )时正确，再推 n k1 时正确D假设 n k(kN )时正确，再推 n k2 时正确答案 B解析 n 为正奇数，在证明时，归纳假设应写成：假设当 n2 k1( kN )时正确，再推出当 n2 k1 时正确，故选 B.4设 f(n) (nN )，那么 f(n1) f(n)等于( )1n 1 1n 2 1n 3 12nA. B.12n 1 12n 2C. D. 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2答案 D解析 因为 f(n) ，1n 1 1n 2 12n所以 f(n1) ，1n
16、2 1n 3 12n 12n 1 12n 2所以 f(n1) f(n) 12n 1 12n 2 1n 1 .12n 1 12n 25如果 123234345 n(n1)( n2) n(n1)( n a)(n b)对一14切正整数 n 都成立，则 a， b 的值可以等于( )A a1， b3 B a1， b1C a1， b2 D a2， b3答案 D解析 令 n1,2 得到关于 a， b 的方程组，解得即可6某个命题与正整数 n 有关，若当 n k(kN )时该命题成立，那么可推得当 n k1 时该命题也成立，现已知当 n5 时该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立B当 n6
17、时该命题成立C当 n4 时该命题不成立8D当 n4 时该命题成立答案 C解析 由已知得当 n k 时成立 n k1 时成立当 n k1 时不成立当 n k 时不成立由当 n5 时不成立知，当 n4 时不成立二、填空题7设 f(n)1 (nN )，则 f(n1) f(n)_.12 13 13n 1答案 13n 13n 1 13n 2解析 因为 f(n)1 ，12 13 13n 1所以 f(n1)1 ，12 13 13n 1 13n 13n 1 13n 2所以 f(n1) f(n) .13n 13n 1 13n 28观察式子 11,14(12)，149123，猜想第 n 个式子应为_答案 1491
18、6(1) n1 n2(1) n1 nn 129已知平面上有 n(nN ， n3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有 f(n)条，则 f(3)_， f(4)_， f(5)_， f(n1) f(n)_.答案 3 6 10 n解析 当 n k 时，有 f(k)条直线当 n k1 时，增加的第 k1 个点与原 k 个点共连成k 条直线，即增加 k 条直线，所以 f(k1) f(k) k.所以 f(3)3， f(4)6， f(5)10， f(n1) f(n) n.10观察下列等式：(11)21，(21)(22)2 213，(31)(32)(33)2 3135，照此规律
19、，第 n 个等式可为_答案 ( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)解析 由已知，得第 n 个等式左边为( n1)( n2)( n n)，右边为2n13(2n1)9所以第 n 个等式为( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)三、解答题11用数学归纳法证明：当 n 为正整数时， f(n)3 2n2 8 n9 能被 64 整除证明 (1)当 n1 时， f(1)3 48964，命题显然成立(2)假设当 n k(k1， kN )时，命题成立，即 f(k)3 2k2 8 k9 能被 64 整除当 n k1 时，f(k1)3 2(k1)2 8( k1)99(3 2k2 8 k9)
20、98 k998( k1)99(3 2k2 8 k9)64( k1)，即 f(k1)9 f(k)64( k1) n k1 时命题也成立综合(1)(2)可知，对任意的 nN ，命题都成立12用数学归纳法证明：1 (nN )12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n证明 (1)当 n1 时，左边1 右边，12 12 11 1所以等式成立(2)假设当 n k(k1， kN )时等式成立，即1 ，12 13 14 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时，1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 ( 1k 1 1k 2 12k) 12
21、k 1 12k 2 ( 1k 2 12k 12k 1) ( 1k 1 12k 2) 1k 2 12k 12k 1 12k 2 ，所以当 n k1 时等式也成立1k 1 1 1k 1 2 12k 1由(1)(2)知，对任意 nN 等式都成立13请观察以下三个式子：(1)13 ；1296(2)1324 ；23116(3)132435 ，34136归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论解 结论：132435 n(n2) .nn 12n 7610证明：当 n1 时，左边3，右边3，所以命题成立假设当 n k(k1， kN )时，命题成立，即 132435 k(k2) ，kk 12k 76当 n k
22、1 时，1324 k(k2)( k1)( k3) ( k1)( k3)kk 12k 76 (2k27 k6 k18)k 16 (2k213 k18)k 16k 1k 22k 96 ，k 1k 1 12k 1 76所以当 n k1 时，命题成立由知，命题成立四、探究与拓展14用数学归纳法证明 122 2( n1) 2 n2( n1) 22 21 2 时，由n2n2 13n k(kN ， k1)的假设到证明 n k1 时，等式左边应添加的式子是_答案 ( k1) 2 k2解析 当 n k 时，左边1 22 2( k1) 2 k2( k1) 22 21 2.当 n k1 时，左边1 22 2 k2(
23、 k1) 2 k2( k1) 22 21 2，所以左边添加的式子为( k1) 2 k2.15已知数列 ， ， ， ， ，计算数列和114 147 1710 11013 13n 23n 1S1， S2， S3， S4，根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解 S1 ， S2 ，114 14 14 147 27S3 ， S4 .27 1710 310 310 11013 413上面四个结果中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3n1，于是可以猜想 Sn.其证明如下：n3n 111(1)当 n1 时，左边 S1 ，右边 ，猜想成立14 131 1 14(2)假设当 n k(kN ， k1)时猜想成立，即 成立，114 147 13k 23k 1 k3k 1则当 n k1 时， 114 147 13k 23k 113k 1 23k 1 1 k3k 1 13k 13k 43k2 4k 13k 13k 4 ，3k 1k 13k 13k 4 k 13k 1 1所以当 n k1 时，猜想成立由(1)(2)知，猜想对任意 nN ， Sn 都成立n3n 1
