1、1三 反证法与放缩法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式知识点一 反证法思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾梳理 反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成
2、立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立知识点二 放缩法思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案 不等式的传递性；等量加(减)不等量为不等量梳理 放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法(2)放缩法的理论依据不等式的传递性等量加(减)不等量为不等量同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较2类型一 反证法证明不等式命 题 角 度 1 证 明 “否 定 性 ”结 论例 1 设 a0， b0，且 a
3、b ，证明：1a 1b(1)a b2；(2) a2 a2 与 b2 b2 不可能同时成立证明 由 a b ， a0， b0，得 ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1 可知， a b2 2，ab即 a b2，当且仅当 a b1 时等号成立(2)假设 a2 a2 与 b2 b2 同时成立，则由 a2 a2 及 a0，得 0 a1；同理，0 b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2 a2 与 b2 b2 不可能同时成立反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾跟踪训练 1
4、 设 0 a2,0 b2,0 c2，求证：(2 a)c，(2 b)a，(2 c)b 不可能都大于 1.证明 假设(2 a)c，(2 b)a，(2 c)b 都大于 1，即(2 a)c1，(2 b)a1，(2 c)b1，则(2 a)c(2 b)a(2 c)b1，(2 a)(2 b)(2 c)abc1. 0 a2,0 b2,0 c2，(2 a)a 21，(2 a a2 )同理(2 b)b1，(2 c)c1，(2 a)a(2 b)b(2 c)c1，(2 a)(2 b)(2 c)abc1，这与式矛盾(2 a)c，(2 b)a，(2 c)b 不可能都大于 1.命 题 角 度 2 证 明 “至 少 ”“至
5、多 ”型 问 题例 2 已知 f(x) x2 px q，求证：(1) f(1) f(3)2 f(2)2；(2)|f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12证明 (1) f(1) f(3)2 f(2)(1 p q)(93 p q)2(42 p q)2.3(2)假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 ，12则| f(1)|2| f(2)| f(3)|2，而| f(1)|2| f(2)| f(3)| f(1) f(3)2 f(2)2，矛盾，| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”
6、 “至少” “最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾跟踪训练 2 若 a， b， c 均为实数，且 a x22 y ， 2b y22 z ， c z22 x ，求证： a， b， c 中至少有一个大于零 3 6证明 假设 a， b， c 都不大于 0，即 a0， b0， c0，则 a b c0，而 a b c x22 y y22 z z22 x ( x1) 2( y1) 2 3 62( z1) 23，30，且( x1) 2( y
7、1) 2( z1) 20， a b c0，这与 a b c0 矛盾，因此假设不成立 a， b， c 中至少有一个大于 0.类型二 放缩法证明不等式例 3 已知实数 x， y， z 不全为零，求证： (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232证明 x .x2 xy y2 (x y2)2 34y2 (x y2)2 |x y2| y2同理可得 y ，y2 yz z2z2 z .z2 zx x2x2由于 x， y， z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得 (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 (xy2) (y z2)
8、(z x2) 32反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中4一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的跟踪训练 3 求证： 1 2 (nN 且 n2)32 1n 1 122 1n2 1n证明 k(k1) k2 k(k1)( kN 且 k2)， ，1kk 1 1k2 1kk 1即 (kN 且 k2)1k 1k 1 1k2 1k 1
9、 1k分别令 k2,3， n，得 1 ， ，12 13 122 12 13 14 132 12 13 ，1n 1n 1 1n2 1n 1 1n将这些不等式相加，得 1 ，12 13 13 14 1n 1n 1 122 132 1n2 12 12 13 1n 1 1n即 1 ，12 1n 1 122 132 1n2 1n1 1 11 ，12 1n 1 122 132 1n2 1n即 1 2 (nN 且 n2)成立.32 1n 1 122 132 1n2 1n1用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( )A. 1a x 1aB. ba b ma mC x2 x3 x23D| a1| a|1答案 D
10、解析 对于 A， x 的正、负不定；对于 B， m 的正、负不定；对于 C， x 的正、负不定；对于D，由绝对值三角不等式知，D 正确2用反证法证明命题“ a， b， c 全为 0”时，其假设为( )A a， b， c 全不为 05B a， b， c 至少有一个为 0C a， b， c 至少有一个不为 0D a， b， c 至多有一个不为 0答案 C3如果 a b a b ，则实数 a， b 应满足的条件是_a b b a答案 a0， b0， a b解析 由 及 知 a0， b0，a b又 a b a b ，a b b a即( )2( )0.a b a b a b， a0， b0， a b.4
11、已知 0 a3,0 b3,0 c3.求证： a(3 b)， b(3 c)， c(3 a)不可能都大于 .92证明 假设 a(3 b) ， b(3 c) ， c(3 a) .92 92 92因为 a， b， c 均为小于 3 的正数，所以 ， ，a3 b92 b3 c 92 ，c3 a92从而有 . a3 b b3 c c3 a922但是 a3 b b3 c c3 aa 3 b2 b 3 c2 c 3 a2 . 9 a b c a b c2 92当且仅当 a b c 时，中取等号32显然与相矛盾，假设不成立，故命题得证1常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个至多有一个唯
12、一一个 不是 不可能 全 都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全 不都是62.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项(2)在分式中增大或减小分子或分母(3)应用重要不等式放缩，如a2 b22 ab， ， ab 2， (a， b， c0)aba b2 (a b2 ) a b c3 3abc(4)利用函数的单调性等一、选择题1 P (a， b， c 均为正数)与 3 的大小关系为( )aa 1 bb 1 cc 1A P3 B P3C P3 D P3答案 C解析 P 3.aa 1 bb 1 cc 1 aa bb cc2设 x， y， z 都是正实数， a x
13、， b y ， c z ，则 a， b， c 三个数( )1y 1z 1xA至少有一个不大于 2 B都小于 2C至少有一个不小于 2 D都大于 2答案 C解析 假设 a， b， c 都小于 2，则 a b c6，又 a b c x y z1y 1z 1x 6 ，与 a b c6 矛盾(x1x) (y 1y) (z 1z)所以 a， b， c 至少有一个不小于 2.A、B、D 可用特殊值法排除故选 C.3已知 a0， b0， c0，且 a2 b2 c2，则 an bn与 cn(n3， nN )的大小关系为( )A an bn cn B an bn cnC an bn cn D an bn cn答
14、案 B解析 a2 b2 c2， 2 21，(ac) (bc)70 1,0 1，ac bc y x， y x均为减函数(ac) (bc)当 n3 时，有 n 2， n 2，(ac) (ac) (bc) (bc) n n 2 21， an bn cn.(ac) (bc) (ac) (bc)4设 x0， y0， A ， B ，则 A 与 B 的大小关系为( )x y1 x y x1 x y1 yA A BB A BC A BD A B答案 D解析 x0， y0， A B.x1 x y y1 x y x1 x y1 y5对“ a， b， c 是不全相等的正数” ，给出下列判断：( a b)2( b c
15、)2( c a)20； a b 与 a b 及 a c 中至少有一个成立； a c， b c， a b 不能同时成立其中判断正确的个数为( )A0B1C2D3答案 C解析 对于，假设( a b)2( b c)2( c a)20，这时 a b c，与已知矛盾，故(a b)2( b c)2( c a)20，故正确；对于，假设 a b 与 a b 及 a c 都不成立，这时 a b c，与已知矛盾，故 a b 与a b 及 a c 中至少有一个成立，故正确；对于，显然不正确6设 a， b， c 是正数， P a b c， Q b c a， R c a b，则“ PQR0”是“P， Q， R 同时大于
16、零”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 C解析 必要性显然成立充分性：若 PQR0，则 P， Q， R 同时大于零或其中有两个负的，8假设其中有两个负的成立，不妨设 P0， Q0， R0，因为 P0， Q0，即 a b c， b c a.所以 a b b c c a.所以 b0，与 b0 矛盾，故假设不成立，故充分性成立二、填空题7若 A ，则 A 与 1 的大小关系为_1210 1210 1 1211 1答案 A1解析 A 1210 1210 1 1211 1 1.1210 1210 1210 210210共 210个8用反证法证明“一个三角形不能有
17、两个直角”有三个步骤：则 A B C9090 C180，这与三角形的内角和为 180矛盾，故结论错误所以一个三角形不可能有两个直角假设 ABC 有两个直角，不妨设 A B90.上述步骤的正确顺序是_答案 解析 由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是.9已知 aR ，则 ， ， 从大到小的顺序为_12a 12a 1 1a a 1答案 12a 1a a 1 12a 1解析 因为 2 ，a a 1 a a a 2 ，a a 1 a 1 a 1 a 1所以 2 2 ，a a a 1 a 1所以 .12a 1a a 1 12a 110某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在0,1上有意义，
18、且 f(0) f(1)，如果对于不同的 x1， x20,1，满足| f(x1) f(x2)| x1 x2|，求证：| f(x1) f(x2)| ，那么它的反设应该是_12答案 存在 x1， x20,1且 x1 x2满足| f(x1) f(x2)| x1 x2|，使| f(x1) f(x2)|成立129三、解答题11实数 a， b， c， d 满足 a b c d1，且 ac bd1，求证： a， b， c， d 中至少有一个是负数，证明 假设 a， b， c， d 都是非负数由 a b c d1 知， a， b， c， d0,1从而 ac ， bd ，aca c2 bd b d2 ac bd
19、1，即 ac bd1，与已知 ac bd1 矛盾， a， b， c， d 中至少a c b d2有一个是负数12设 n 是正整数，求证： 1.12 1n 1 1n 2 12n证明 由 2n n k n(k1,2， n)，得 ，12n 1n k 1n当 k1 时， ，当 k2 时， ，12n 1n 1 1n 12n 1n 2 1n，当 k n 时， ，12n 1n n 1n 1.12 n2n 1n 1 1n 2 12n nn原不等式成立13设 a， bR,0 x1,0 y1，求证：对于任意实数 a， b 必存在满足条件的 x， y，使|xy ax by| 成立13证明 假设对一切 0 x1,0
20、y1，结论不成立，则有| xy ax by| .令 x0， y1，得| b| ；13 13令 x1， y0，得| a| ；13令 x y1，得|1 a b| .13又|1 a b|1| a| b|1 ，这与上式矛盾13 13 13故假设不成立，原命题结论正确四、探究与拓展14完成反证法证题的全过程题目：设 a1， a2， a7是由数字 1,2，7 任意排成的一个数列，求证：乘积10p( a11)( a22)( a77)为偶数证明：假设 p 为奇数，则_均为奇数 因为 7 个奇数之和为奇数，故有(a11)( a22)( a77)为_ 而( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(
21、127)_. 与矛盾，故 p 为偶数答案 a11， a22， a77 奇数 0解析 由假设 p 为奇数可知，( a11)，( a22)，( a77)均为奇数，故( a11)( a22)( a77)( a1 a2 a7)(127)0 为奇数，这与 0 为偶数相矛盾15已知数列 an满足 a11， an1 3 an1.(1)证明： 是等比数列，并求 an的通项公式；an12(2)证明： .1a1 1a2 1an 32证明 (1)由 an1 3 an1，得 an1 3 .12 (an 12)又 a1 ，12 32所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列an12 32所以 an ，因此 an的通项公式为 an .12 3n2 3n 12(2)由(1)知， ，1an 23n 1因为当 n1 时，3 n123 n1 ，所以 .于是13n 1 123n 1 1 .所以 .1a1 1a2 1an 13 13n 1 32(1 13n) 32 1a1 1a2 1an 32
