1、1第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式1实数的运算性质与大小顺序的关系：a ba b0， a ba b0， a ba b0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可2不等式的基本性质(1)对称性： a bb a.(2)传递性： a b， b ca c.(3)可加性： a ba c b c.(4)可乘性：如果 a b， c0，那么 ac bc；如果 a b， c0，那么 ac bc.(
2、5)乘方：如果 a b0，那么 an bn(nN， n2)(6)开方：如果 a b0，那么 (nN， n2)na nb3基本不等式(1)定理 1：如果 a， bR，那么 a2 b22 ab(当且仅当 a b 时，等号成立)(2)定理 2：如果 a， b0，那么 (当且仅当 a b 时，等号成立)a b2 ab(3)引理：若 a， b， cR ，则 a3 b3 c33 abc(当且仅当 a b c 时，等号成立)(4)定理 3：如果 a， b， cR ，那么 (当且仅当 a b c 时，等号成立)a b c3 3abc(5)推论：若 a1， a2， anR ，则 .当且仅当a1 a2 ann n
3、a1a2ana1 a2 an时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求4绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元2一次不等式，或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义(2)分区间讨论(零点分段法)(3)图象法5绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，| a b|的几何意义表示数轴上两点间的距离(2)|a b| a| b|(a， bR， ab0 时等号成立)(3)|a c| a b| b c|(a， b， cR，( a b)(b c)0 时等号
4、成立)(4)|a| b| a b| a| b|(a， bR，左边“”成立的条件是 ab0，右边“”成立的条件是 ab0)(5)|a| b| a b| a| b|(a， bR，左边“”成立的条件是 ab0，右边“”成立的条件是 ab0).类型一 不等式的基本性质的应用例 1 “ a c b d”是“ a b 且 c d”的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 易得当 a b 且 c d 时，必有 a c b d.若 a c b d，则可能有 a b 且 c d.反思与感悟 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或
5、代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想跟踪训练 1 如果 aR，且 a2 a0，那么 a， a2， a， a2的大小关系是( )A a2 a a2 aB a a2 a2 aC a a2 a a2D a2 a a a2答案 B解析 由 a2 a0 知， a0，故有 a a20,0 a2 a.故选 B.类型二 基本不等式及其应用3命 题 角 度 1 用 基 本 不 等 式 证 明 不 等 式例 2 已知 a b c d，求证： .1a b 1b c 1c d 9a d证明 a b c d， a b0， b c0， c d0， (a d)(1a b 1b c 1c d) (a b)( b c)( c
6、 d)(1a b 1b c 1c d)3 3 9.3 1a b1b c1c d 3a bb cc d .1a b 1b c 1c d 9a d反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式跟踪训练 2 设 a， b， c 均为正数，证明：( ab a b1)( ab ac bc c2)16 abc.证明 ( ab a b1)( ab ac bc c2)( b1)( a1)( b c)(a c)2 2 2 2 16 abc，b a bc ac所证不等式成立命 题 角 度 2 求 最 大 、 最 小 值例 3 若 x
7、， y， zR ， x2 y3 z0，则 的最小值为_y2xz答案 3解析 由 x2 y3 z0，得 y ，x 3z2则 3，y2xz x2 9z2 6xz4xz 6xz 6xz4xz当且仅当 x3 z 时取“” 反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等” 跟踪训练 3 当 0 x 时，函数 f(x) 的最小值为( ) 2 1 cos2x 8sin2xsin2xA2 B2 3C4 D4 34答案 C解析 f(x) .2cos2x 8sin2x2sin
8、 xcos x cos xsin x 4sin xcos x x ，cos x0，sin x0.(0， 2)故 f(x) 2 4，当且仅当 cos x2sin x0 时，等号cos xsin x 4sin xcos x cos xsin x4sin xcos x成立故选 C.类型三 含绝对值的不等式的解法例 4 解下列关于 x 的不等式(1)|x1| x3|；(2)|x2|2 x5|2 x.解 (1)方法一 | x1| x3|，两边平方得( x1) 2( x3) 2，8 x8， x1.原不等式的解集为 x|x1方法二 分段讨论：当 x1 时，有 x1 x3，此时 x；当1 x3 时，有 x1
9、x3，即 x1，此时 1 x3；当 x3 时，有 x1 x3， x3.原不等式的解集为 x|x1(2)分段讨论：当 x 时，原不等式变形为522 x2 x52 x，解得 x7，不等式的解集为Error!.当 x2 时，52原不等式变形为 2 x2 x52 x，解得 x ，35不等式的解集为Error!.当 x2 时，原不等式变形为 x22 x52 x，解得 x ，原不等式无解73综上可知，原不等式的解集为Error!.反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，5讨论每一个绝对值符号
10、内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解这种方法通常称为零点分段法跟踪训练 4 已知函数 f(x)| x a|，其中 a1.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)4| x4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式| f(2x a)2 f(x)|2 的解集为 x|1 x2，求 a 的值解 (1)当 a2 时， f(x)| x4| x2| x4|Error!当 x2 时，由 f(x)4| x4|，得2 x64，解得 x1；当 2 x4 时， f(x)4| x4|，得 24，无解；当 x4 时，由 f(x)4| x4|，得 2x64，解得 x5.所以 f(x)4| x4|的解集为 x
11、|x1 或 x5(2)记 h(x) f(2x a)2 f(x)，则 h(x)Error!由| h(x)|2，解得 x .a 12 a 12又已知| h(x)|2 的解集为 x|1 x2，所以Error!解得 a3.类型四 恒成立问题例 5 设函数 f(x)| x1| x4| a.(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最小值；(2)若 f(x) 1 对任意的实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围4a解 (1)当 a1 时，f(x)| x1| x4|1| x14 x|14， f(x)min4.(2)f(x) 1 对任意的实数 x 恒成立4a|x1| x4|1 a 对任意的实数 x 恒成立4aa
12、4.4a当 a0 时，上式成立；当 a0 时， a 2 4，4a a4a当且仅当 a ，即 a2 时上式取等号，4a6此时 a 4 成立4a综上，实数 a 的取值范围为(，0)2反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题当然，根据题目特点，还可能用变更主次元；数形结合等方法跟踪训练 5 已知 f(x)| ax1|( aR)，不等式 f(x)3 的解集为 x|2 x1(1)求 a 的值；(2)若 k 恒成立，求 k 的取值范围|fx 2f(x2)|解 (1)由| ax1|3，得4 ax2， f(x)3 的解集为 x|2 x1，当 a0 时，不合题意又当 a0 时，
13、 x ，4a 2a a2.(2)令 h(x) f(x)2 f |2 x1|2 x2|，(x2) h(x)Error!| h(x)|1， k1，即 k 的取值范围是1，).1给出下列四个命题：若 a b， c1，则 algc blgc；若 a b， c0，则 algc blgc；若 a b，则a2c b2c；若 a b0， c0，则 .ca cb其中正确命题的个数为( )A1 B2C3 D4答案 C解析 正确， c1，lg c0；不正确，当 0 c1 时，lg c0；正确，2 c0；正确，由 a b0，得 0 ，故 .1a 1b ca cb2设 6 a10， b2 a， c a b，那么 c 的
14、取值范围是( )a2A9 c30 B0 c187C0 c30 D15 c30答案 A解析 因为 b2 a，所以 a b3 a.a2 3a2又因为 6 a10，所以 9,3 a30.3a2所以 9 a b3 a30，3a2即 9 c30.3不等式 4|3 x2|8 的解集为_答案 Error!解析 由 4|3 x2|8，得Error!Error!Error!2 x 或 2 x .23 103原不等式的解集为Error!.4解不等式 3| x2|4.解 方法一 原不等式等价于Error!由得 x23 或 x23， x1 或 x5.由得4 x24，2 x6.原不等式的解集为 x|2 x1 或 5 x
15、6方法二 3| x2|43 x24 或4 x235 x6 或2 x1.原不等式的解集为 x|2 x1 或 5 x61本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法2重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式3重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题一、选择题81若 a b，则下列不等式中一定成立的是( )A a2 b B 1baC2 a2 b Dlg( a b)1答案 C解析 y2 x是增函数，又 a b，2 a2 b.2设 a， b 为正实数，以下不等式恒
16、成立的为( ) ； a| a b| b；ab2aba b a2 b24 ab3 b2； ab 2.2abA BC D答案 D解析 不恒成立，因为 a b 时取“” ；恒成立，因为 a， b 均为正数；是恒成立的，因为 ab 2 2.2ab 23若 a b， b0，则下列与 b a 等价的是( )1xA x0 或 0 x1b 1aB x1a 1bC x 或 x1a 1bD x 或 x1b 1a答案 D解析 b a，当 x0 时， bx1 ax，解得 x ；当 x0 时， bx1 ax，1x 1b解得 x ，故选 D.1a4不等式| x3| x3|3 的解集是( )A.Error! B.Error
17、!C x|x3 D x|3 x0答案 A9解析 由Error!无解；由Error!得 x3；32由Error!得 x3.综上，不等式的解集为Error!.5 “a4”是“对任意实数 x，|2 x1|2 x3| a 成立”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 |2 x1|2 x3|2 x1(2 x3)|4，当 a4 时|2 x1|2 x3| a 成立，即充分条件成立；对任意实数 x，|2 x1|2 x3| aa4，不能推出 a4，即必要条件不成立二、填空题6若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围为_xx2 3x 1答案 15， )解析 令
18、 f(x) ，xx2 3x 1 1x 1x 3 x0， x 2，1x f(x) ，当且仅当 x ，即 x1 时等号成立，即 f(x)的最大值为 .12 3 15 1x 15若使不等式恒成立，只需 a 即可157已知不等式| x2| x| a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是_答案 2，)解析 | x2| x| x2 x|2，2| x2| x|2，不等式| x2| x| a 的解集不是空集， a2.8定义运算“”： xy (x， yR， xy0)，当 x0， y0 时， xy(2 y)x2 y2xyx 的最小值为_答案 210解析 因为 xy ，所以(2 y)x .x2 y2xy 4y2
19、 x22xy又 x0， y0，故 xy(2 y)x ，当且仅当 x y 时，等号x2 y2xy 4y2 x22xy x2 2y22xy 22xy2xy 2 2成立9不等式 (3|x|1) |x|3 的解集为_14 12答案 x|13 x13解析 当 x0 时，不等式为 (3 x1) x3，14 12解得13 x0，当 x0 时，不等式为 (3x1) x3，14 12解得 0 x13，不等式的解集为 x|13 x1310若 f(x)2 |x1| x1| 且 f(x)2 ，则 x 的取值范围是_2答案 34， )解析 f(x)2 x是增函数， f(x)2 ，即| x1| x1| ，232Error
20、! x1，Error! x1，34Error!无解综上 x .34， )11已知函数 f(x)| x a|，若不等式 f(x)3 的解集为 x|1 x5，则实数 a 的值为_答案 2解析 由 f(x)3，得| x a|3，解得 a3 x a3.又已知不等式 f(x)3 的解集为 x|1 x5，所以Error!解得 a2，所以实数 a 的值为 2.三、解答题12已知函数 f(x)| x a| x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；11(2)若 f(x)| x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围解 (1)当 a3 时， f(x)| x3| x2|Error!当 x2 时，由
21、 f(x)3，得2 x53，解得 x1；当 2 x3 时， f(x)3 无解；当 x3 时，由 f(x)3，得 2x53，解得 x4；所以 f(x)3 的解集为 x|x1 或 x4(2)f(x)| x4| x4| x2| x a|，当 x1,2时，| x4| x2| x a|4 x(2 x)| x a|2 a x2 a，由条件得2 a1 且 2 a2，即3 a0.故满足条件的 a 的取值范围为3,013(2017全国)已知函数 f(x)| x1| x2|.(1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x) x2 x m 的解集非空，求 m 的取值范围解 (1) f(x)Error!当
22、 x1 时， f(x)1 无解；当1 x2 时，由 f(x)1，得 2x11，解得 1 x2；当 x2 时，由 f(x)1，解得 x2.所以 f(x)1 的解集为 x|x1(2)由 f(x) x2 x m，得 m| x1| x2| x2 x，而|x1| x2| x2 x| x|1| x|2 x2| x| 2 .(|x|32) 54 54当且仅当 x 时，| x1| x2| x2 x ，32 54故 m 的取值范围是 .( ，54四、探究与拓展14已知关于 x 的不等式|2 x1| x1|log 2a(其中 a0)(1)当 a4 时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数 a 的取值范围解
23、(1)令 f(x)|2 x1| x1|，当 a4 时， f(x)2，12当 x 时， f(x) x22，得4 x ；12 12当 x1 时， f(x)3 x2，得 x ；12 12 23当 x1 时， f(x) x22，此时 x 不存在所以不等式的解集为Error!.(2)设 f(x)|2 x1| x1|Error!故 f(x) ，即 f(x)的最小值为 ，32， ) 32若 f(x)log 2a 有解，则 log2a ，解得 a ，32 24即 a 的取值范围是 .24， )15已知不等式|2 x3| x 与不等式 x2 mx n0 的解集相同(1)求 m n；(2)若 a， b， c(0,
24、1)，且 ab bc ac m n，求 a b c 的最小值解 (1)|2 x3| x，即 x2 x3 x，解得 1 x3，1,3 是方程 x2 mx n0 的两根，由根与系数的关系，得Error! m n1.(2)由(1)得 ab bc ac1，( a b c)2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ac 2.a2 b22 b2 c22 a2 c22 ab， bc， ac，a2 b22 b2 c22 a2 c22 ab bc ac1.a2 b22 b2 c22 a2 c22( a b c)2 23(当且仅当 a b c 时取等号)，a2 b22 b2 c22 a2 c22 33 a b c 的最小值是 .3
