1、高考数学试题研究不动点：已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 0x为函)(xfyIIx00)(xf数 的不动点。)(xfy不动点实际上是方程组 的解 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标xyf)(),0y当然，这个方程组根据函数 的不同，可能有多解。)(f例如 1： 的解只有一个 ，故函数 有一个不动点xy121, 12xy10x例如 2： 的解为 ， ，故函数 有两个不动点2)2,(,(2,2稳定点：已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 0x为xfyIIx0 0)(xf函数 的稳定点。)(xfy很显然，若 0为函数 的不动点，则 0x必为函数 的稳定点。)(xfy )(xfy证明是非常简单
2、的！因为 ，所以 ，00)(f即 ，故 0x也是函数 的稳定点。0)(xf)xfy反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！例如 3：设 ，令 ，解得12)(f 1)(1x故函数 有一个稳定点xy0x例如 4： ，令 ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一)(2f x)(2定有两解 ，由此因式分解，可得1,x 0)124)(1( x还有另外两解 ，故函数 的稳定点有 ，452xy,45其中 是稳定点，但不是不动点。1请看下面四个图形，分别对应例 1、2、3、4.xyy2x图-1xyy12x图-2xyxy12x图-3xyy1221y图-4由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线 的交点的横坐标
3、，而稳定点是函数图象xy与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.根据例 1 和例 3，我们可以给出命题：若函数 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。)(xfy证明：若函数 有不动点 ，显然它也有稳定点 ；0x0x若函数 有稳定点 ，即 ，设 ，则)(xfy 0)(f)(yf0)(xf即 和 都在函数 的图象上，,(0,0xy假设 ，因为 是增函数，则 ，即 ，与假设矛盾；yx)(f)(00yff0x假设 ，因为 是增函数，则 ，即 ，与假设矛盾；0x)x故 ，即 ， 有不动点 .yx0)(f)(fy0【2013 年 四川卷 （文科）第 10 题】 1.设函数 （ ， 为自然对
4、数的底数）. 若存在 使axef)(Re 1,0b成立，则 的取值范围是（ ）bfA. B. C. D.,1e1,1,1,0解析: ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数axf)(又因为存在 使 ，即有稳定点 ，,0bf)(b所以它必有不动点 ，使得bf即 在 有解, exfx)( 10整理可得， ，在 有解2ax令 ，g, ， 在 单调递增1)(x )(g1,0x， ， ，故选择 A.0e,【2013 年 四川卷 （理科）第 10 题】 设函数 （ ， 为自然对数的底数）. 若曲线 上存在点axf)(Re xysin使 成立，则 的取值范围是（ ）,0yx0yA. B. C. D. 1e1,e1,1,1e解析: ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数axf)(又因为存在 使 ，即有稳定点 ，,0y0)(yf0y所以它必有不动点 ，使得f即 在 有解，显然 是无解的.xexfx)( 1,),1x整理可得， ，在 有解2a令 ，g,0 ， 在 单调递增1)(x )(g,0， ， ，故选择 A.0e,
