1、【考点剖析】1.命题方向预测：纵观近五年的高考命题，文科立体几何高考命题的热点主要有四个一是以考查点、线、面的位置关系为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；二是以考查三视图与面积体积计算为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；三是以考查平行、垂直关系为主的中 档题，其基本题型为解答（证明）题，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力；四是以考查平行、垂直关系及面积或体积计算为主的中档题，“证算 并重”考查逻辑推理能力、空间想象能力以及运算求解能力关于垂直关系的证明多于平行关系的证明，体积计算的考查多于面积计算的考查，较少涉及角或距离的计算.2.考点交汇展示：(1)立体几何与最值交汇【2018 年全
2、国卷文】设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其 面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B，故选 B.（2）立体几何与基本不等式交汇【2018 届河南省长葛一高高三上学期开学】已知多面体 的每个顶点都在球 的表面上，四边形 为 正方形， ，且 在平面 内的射影分别为 ，若 的面积为 2，则球 的表面积的最小值为（ / , , ）A. B. C. D. 82 8 122 12【答案】A本题选择 A 选项.【考点分类】考向一 立体几何与球有关的最值问题1.【2018 届河南省八市重点高中高三 9 月测评】三棱锥 ABCD的一条长为 a，其余棱长均为
3、1，当三棱锥ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A. 53 B. 4 C. 56 D. 8【答案】A【解析】不妨设 a底面积不变，高最大时体积最大，所以，面 ACD 与面 ABD 垂直时体积最大，2.【2018 届河南省洛阳市高三期中】已知菱形 ABCD边长为 2， 06A，将 BD沿对角线 翻折形成四面体 ABCD，当四面体 ABC的体积最大时，它的外接球的表面积为_【答案】 203【解析】当平面 ABD平面 C时，四面体体积是最大，当体积最 大时，设 ABD外心为 2O， CBD外心为 1O，过 12,O，分别作平面面 B与平面 AD的垂线交于 O，则 即是外接球的球心， 22
4、353R，外接球表面积 2043R，故答案为 03.【方法规律】(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a 2b 2c 2求解（3）立体几何中的最值问题，往往要考虑点线面位置的“极端情况”.【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并
5、作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.考向二 空间平行、垂直关系与几何体的体积问题1.【2018 年全国卷 II 文】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为_【答案】8【解析】如下图所示， ，又 ，解得 ，所以，所以该圆锥的体积为 .2.【2018 届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体高考冲刺】如图，在四棱锥 中，底面为平行四形, , , ,，且 底面 . =2=2=600= () 证明： 平面 ； （）若 为
6、 的中点，求三棱锥 的体积. 【答案】(1)见解析.(2) .14【解析】（）因为 为 的中点,所以三棱锥 的体积 与三棱锥 的体积相等， 而 .=12=14=1413133=14所以三棱锥 的体积 .=14【方法规律】(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与 还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥” (2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法【解题技巧
7、】求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原 为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.考向三 空间平行、垂直关系与几何体的面积问题1.【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一） 】设正三棱锥 ABCD的所有顶点都在球 O
8、的球面上， E， F分别是 AB， C的中点， EFD，且 1，则球 O的表面积为_【答案】 12 【解析】2.【2018 届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，在底面为矩形的四棱锥 PABCD中， PAB.（1）证 明：平面 PBC平面 D；（2）若 43PBAC，平面 PAB平面 CD，求三棱锥 APBD与三棱锥 BC的表面积之差.【答案】(1)见解析；(2) 628.【解析】（2）解：平面 PAB平面 CD，平面 PAB平面 CD AB， ， D平面 ， ， 的面积为 13426.又 /C， 平面 ， ， 的面积为 13.又 平面 PB， PC， 的面积为 20.又 A， 的面积为 8.
9、而 D的面积与 的面积相等，且三棱锥 PBCD与三棱锥 APB的公共面为 PBD，三棱锥 与三棱锥 BD的表面积之差为 86210628.热点四 立体几何中的“动态”问题1.【2018 年新课标 I 卷文】如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，且 （1）证明：平面 平面 ；（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积【答案】(1)见解析.(2)1 .【解析】（1）由已知可得， =90， 又 BAAD，且 ，所以 AB平面 ACD又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC2.在四棱锥 PABCD中， P为正三角形，平面 PAD平面
10、 BC， /AD， BA， 24C.（）求证：平面 PCD平面 A； （）求三棱锥 PABC的体积；（）在棱 上是否存在点 E，使得 /B平面 PAD?若存在，请确定点 E的位置并证明；若不存在，说明理由【答案】(1)证明见解析；（2） 23；（3）存在，证明见解析.【解析】（）取 AD的中点 O,连结 P.因为 P为正三角形， 所以 .因为平面 平面 BC，平面 AD平面 AD，所以 PO平面 ，所以 为三棱锥 的高. 因为 为正三角形， 24CB，所以 3PO.所以 112332ABCABVSP.【热点预测】1.【2018 年新课标 I 卷文】在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该
11、长方体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C2.【2018 届广东省茂名市高三五大联盟学校 9 月联考】在长方体 中， ， ，1111 =1 =2，点 在平面 内运动，则线段 的最小值为( )1=2 1 A. B. C. D. 62 6 63 3【答案】C3.【2018 届四川省乐山外国语学校高三上练习 三】三棱锥 PABC中， ,PC互相垂直， 1PAB， M是线段 BC上一动点，若直线 M与平面 所成角的正切的最大值是 62，则三棱锥C的外接球的表面积是（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B【解析】 M是线段 B上一动点，连接 PM， ,ABPC互相垂直， AM
12、P就是直线 与平面PBC所成角， 当 P最短时，即 时直线 与平面 所成角的正切的最大此时 62A， 63，在直角 中， 212PBMPCPC三棱锥 PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为 12，三棱锥 PABC的外接球的半径为 1R，三棱锥 的外接球的表面积为 24选 B.4.【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_【答案】 365.【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的
13、表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92 6.【2018 年全国卷文】如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点 （1）证明：平面 平面 ；（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由【答案】 （1）证明见解析（2）存在，理由见解析（2）当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD证明如下：连结 AC 交 BD于 O因为 ABCD 为矩形，所以 O 为AC 中点连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC平面PBD点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二
14、问先断出 P 为 AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题.7 【2018 年全国卷 II 文】如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点（1）证明： 平面 ；（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2） （2）作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM的距离由题设可知 OC= =2，CM= = ，ACB=45所以 OM= ，CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 8.【2018 届江西省南昌市第二轮复习测试】在菱形 中， 且 ，点 分别是棱 的中
15、=2 =60 , ,点，将四边形 沿着 转动，使得 与 重合，形成如图所示多面体，分别取 的中点 . , ,（）求证： 平面 ；/ （）若平面 平面 ，求多面体 的体积. 【答案】()见解析；（）=32【解析】平面 平面 / 又 平面 平面 ./ （）连接 ，设 交于点 . , 又 平面 平面 ，平面 平面 =平面 多面体 可以分解为四棱锥 和四棱锥 在菱形 中， 且 知： .=2 =60=2,=23,=2=1设梯形 的面积为 ，则 .=12(+)4=334 =13=329.【2017 课标 1，文 18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD ，且 90BAPCD（1）证明：平面 PA
16、B平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，且四棱锥 P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积【答案】 （1）证明见解析； （2） 36【 解析】（2）在平面 PAD内作 E，垂足为 E由（1）知， B平面 ，故 ABP，可得 平面 ABCD设 x，则由已知可得 2x， x故四棱锥 PABCD的体积 3113PABCDVPEx由题设得 318x，故 2从而 ， ， 2可得四棱锥 PABC的侧面积为 211sin60232PABPDCB10.【2017 课标 II，文 18】如图，四棱锥 C中，侧面 A为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,01,9.2D（1）证明：直线
17、 /BC平面 PA;（2）若 PA面积为 7，求四棱锥 BCD的体积.【答案】 （）见解析（） 43【解析】11.【2017 课标 3，文 19】如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形 ，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD 是直角三角形， AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比【答案】（1）详见解析；（2）1【解析】试题分析：（1）取 C中点 O，由等腰三角形及等比三角形性质得 ODAC， B，再根据线面垂直判定定理得 A平面 BD，即得 ACBD；（2）先由 AEEC，结合平几知识确定 ECA
18、，再根据锥体体积公式得，两者体积比为 1:1. 试题解析：（1）证明：取 C中点 ，连 , CDA， O为 A中点， ，又 B是等边三角形， OAC，又 D， AC平面 OBD， 平面 B， B.12.【2018 届江苏省泰州中学高三上学期开学】在直三棱柱 中， 是111 =1=3,=2,的中点， 分别是 上一点，且 . , 1,1 =2（1）求证： 平面 ；1 （2）求三棱锥 的体积；1（3）求证： 平面 ./ 【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析 .1=5233【解析】试题分析：（1）分析棱柱易得 平面 ，得 ，又由 得 11 1 11，即 ，进而得线面垂直；1=900 1（2）
19、利用 即可得体积；1=131（3）连 ，设 ，连 ，易得 ，进而得线面平行 ., = /试题解析：（2） 平面 ， .1 1=131=13121=5233（3）连 ，设 ，连 ，, = ，四边形 为矩形， 为 中点，=2 为 中点， . / 平面 ， 平面 ， 平面 ./ 13 【2018 年天津卷文】如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱AB 的中点，AB=2 ，AD = ， BAD=90（）求证：ADBC；（）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；（）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值【答案】() 证明见解析；( ) ；(
20、) 详解：（）由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD=AB，ADAB，可得 AD平面 ABC，故ADBC（）取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND又因为 M 为棱 AB 的中点，故 MNBC所以DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角在 RtDAM 中，AM=1，故 DM= 因为 AD平面 ABC，故ADAC在 RtDAN 中，AN=1，故 DN= 在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 （）连接 CM因为ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，故 CMAB，CM= 又因为平面 ABC平面 ABD，而 CM
21、平面 ABC， 故 CM平面 ABD所以，CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角在 RtCAD 中，CD = =4在 RtCMD 中， 所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 14.【2017 北京，文 18】如 图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PA BC ，ABBC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线段 PC 上一点（）求证：PABD ；（ ）求证：平面 BDE平面 PAC；（）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积【答案】详见解析【解析】（II）因为 ABC， D为 A中点，所以 BDAC，由（I）知， P，所以 平面 P，所以平面 BDE平面 PAC.（III）因为 平面 ，平面 平面 BDE，所以 PA .因为 为 的中点，所以 12EPA， 2C.由（I）知， 平面 C，所以 平面 .所以三棱锥 EBD的体积 163VBDE.
