1、3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型课时过关能力提升基础巩固1.下列函数中,增长速度最慢的是( )A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x答案: B2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( )A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数答案: D3.若 x(0,1),则下列结论正确的是( )A.2x lg x B.2xlg x12 12C. 2xlg x D.lg x 2x12 12解析: 当 020=1,0 l
2、g x.1215, 方案二较好.能力提升1.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 ( )A.y=100x B.y=log100x C.y=100x D.y=x100解析: 由于指数函数的增长是爆炸式增长 ,故当 x 越来越大时,函数 y=100x 的增长速度最快.答案: C2.某地为了加强环境保护,决定使每年的绿地面积比上一年增长 10%,若从今年起,x 年后绿地面积是今年的 y 倍,则函数 y=f(x)的大致图象是 ( )解析: 设今年绿地面积为 m,则有 my=(1+10%)xm,即 y=1.1x.故仅有 D 项符合题意.答案: D3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,
3、最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y 关于年数 x 的函数关系较为近似的是( )A.y=0.2x B.y= (x2+2x)110C.y= D.y=0.2+log16x210解析: 当 x=1 时 ,排除 B;当 x=2 时,排除 D;当 x=3 时,排除 A,故选 C.答案: C4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况如图所示.现给出下列说法: 前 5 min 温度升高的速度越来越快; 前 5 min 温度升高的速度越来越慢 ; 5 min 以后温度保持匀速升高; 5 min 以后温度保持不变.其中正确的说法是 .
4、解析: 因为温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平,即 5min 前每当 t 增加一个单位增量 t,则 y 相应的增量 y 越来越小,而 5min 后 y 关于 t 的增量保持为 0,则 正确.答案: 5.某商场 2016 年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型: f(x)=pqx(q0,且 q1); f(x)=logpx+q(p0,且 p1); f(x)=x2+px+q.能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为 (填序号).若所选函数满足 f(1)=10,f(3)=2,则 f(x)= . 解析: f(x)=pqx,f(x)=logpx+q 都是单
5、调函数,函数 f(x)=x2+px+q 的图象先下降后上升. 选择函数 f(x)=x2+px+q.又 f(1)=10,f(3)=2, p=-8,q=17,1+=10,9+3+=2, f(x)=x2-8x+17.答案: x2-8x+176.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex-100,x1,10;(2)y=20ln x+100,x1,10;(3)y=20x,x1,10.解: 图象如图所示,由图象可以看到 :函数 y=0.1ex-100,x1,10 以爆炸式速度增长;函数 y=20lnx+100,x1,10增长速度缓慢,并逐渐趋于稳定;函数 y=20
6、x,x1,10 以稳定的速度增长 .7.下面给出 f(x)与 f(x+1)-f(x)随 x 取值而得到的函数值列表:x 1 2 3 4 52x 2 4 8 16 32x2 1 4 9 16 252x+7 9 11 13 15 171 1.414 2 1.732 1 2 2.236 1log2x 0 1 1.585 0 2 2.321 92x+1-2x 2 4 8 16 32(x+1)2-x2 3 5 7 9 112(x+1)+7-(2x+7) 2 2 2 2 2+1 0.414 0.317 8 0.267 9 0.236 1 0.213 4log2(x+1)-log2x 1 0.585 0 0
7、.415 0 0.321 9 0.263 0x 6 7 8 9 102x 64 128 256 512 1 024x2 36 49 64 81 1002x+7 19 21 23 25 272.449 5 2.645 8 2.828 4 3 3.162 3log2x 2.585 0 2.807 4 3 3.169 9 3.321 92x+1-2x 64 128 256 512 1 024(x+1)2-x2 13 15 17 19 212(x+1)+7-(2x+7) 2 2 2 2 2+1 0.196 3 0.182 7 0.171 6 0.162 3 0.154 3log2(x+1)-log2x
8、 0.222 4 0.192 6 0.169 9 0.152 0 0.137 5试问:(1)函数 f(x)随 x 增大,函数值有什么共同的变化趋势 ?(2)函数 f(x)增长的快慢有什么不同?(3)根据以上结论,体会以下实例的现实意义. 一个城市的电话号码的位数,大致设置为城市人口以 10 为底的对数; 银行的客户存款的年利率,一般不会高于 10%.解: (1)随 x 的增大,函数 f(x)的函数值都在增大 .(2)通过 f(x+1)-f(x)的函数值可以看出: 函数 f(x)增长的快慢不同,其中 f(x)=2x 增长最快,而且越来越快; 增长最慢的,刚开始是 f(x)= ,到后来是 log2x,而且增长的幅度越来越小.(3) 电话号码升位,会涉及千家万户,无疑是一件大事.将电话号码的位数设为城市人口以 10 为底的对数将保证即使人口有较大增长,电话号码也不必马上升位,保证了电话号码的稳定性. 按复利计算,存款以指数函数增长,如果利率设置太高,存款增长将越来越快,银行将难以承担利息付出.
