1、3.3.2 均匀随机数的产生课时过关能力提升一、基础巩固1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m,其实际概率的大小为 n,则( )A.mn B.mnC.m=n D.m 是 n 的近似值答案: D2.设 x 是0,1内的一个均匀随机数,经过变换 y=2x+3,则 x=12对应变换 成的均匀随机数是 ( )A.0 B.2 C.4 D.5解析: 当 x ,y=2=12时 12+3=4.答案: C3.用计算器或计算机产生 20 个 01 之间的随机数 x,但是基本事件都在区间- 1,3上,则需要经过的变换是 ( )A.y=3x-1 B.y=3x+1C.y=4x+1 D.y=4x-1答案: D4.如
2、图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 23,则 阴影区域的面 积为 ( )A.43.83C.23.无法 计 算解析: 由几何概型的公式可得 阴影正方形 =23,又 S 正方形 =4,S 阴影 =423=83.答案: B5.设一直角三角形两直角边的长均是区间0,1上的随机数 ,则斜边的长小于 1 的概率为( )A.12.34.4.316解析: 设两直角边分别为 x,y,则 x,y 满足 x0,1, y0,1, 则 P(x2+y21)=4.答案: C6.某人从甲地去乙地共走了 500 m,途中要过一条宽为 x m 的河流,他不小心
3、把一件物品丢在了途中,若物品掉在河里就找不到了,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为 45,则 河 宽为 . 解析: 已知河宽为 xm,由题意得 1 x=100. 500=45,则答案: 1007.b1 是0,1上的均匀随机数,b=3(b 1-2),则 b 是区间 上的均匀随机数. 解析: 0b 11,则函数 b=3(b1-2)的值域是- 6b-3,即 b 是区间- 6,-3上的均匀随机数.答案: -6,-38.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x 3 和 x=2 以及 x 轴所围成的部分)的面积.步骤是:(1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 之间的均匀随机
4、数,a 1=RAND,b1=RAND;(2)进行伸缩变换 a=2a1,b=8b1;(3)数出落在阴影内的样本点数 N1(满足 ba3 的点(a,b) 的个数 ),用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做 1 000 次试验,即 N=1 000,模拟得到 N1=250. . 由 阴影矩 1,得 阴影解析: S 阴影 S1矩 =250100028=4.答案: 49.如图,在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形,向大正方形内随机投点,用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率.解: 设事件 A=所投点落入小正方形内 .用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a 1=
5、RAND,b1=RAND.经过平移和伸缩变换,a=3a 1-1.5,b=3b1-1.5,得- 1.5,1.5上的均匀随机数.统计落入大正方形内的点数 N(即上述所有随机数构成的点(a,b) 的个数)及落入小正方形内的点数 N1(即满足-1a1,且-1b1 的点(a,b) 的个数).计 P(A)的近似值.算1,即 为 概率二、能力提升1.用均匀随机数进行随机模拟,下列说法中正确的是( )A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题B.能求几何概型的概率,还能计算图形的面积C.能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D.最适合估计古典概型的概率解析: 很明显用均匀随机数进行随机模拟 ,不但能估计几何
6、概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.答案: C2.将0,1内的均匀随机数转化为 -2,6内的均匀随机数,需实施的变换为( )A.a=8a1 B.a=8a1+2C.a=8a1-2 D.a=6a1解析: 当 a10,1时,a=8a 1 的值域为0,8, 则 A 项不符合题意 ;a=8a1+2 的值域为2,10,则 B 项不符合题意;a=8a 1-2 的值域为- 2,6,则 C 项符合题意;a= 6a1 的值域是0,6,则 D 项不符合题意.答案: C3.如图,在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板,上面画了小、中
7、、大三个同心圆,半径分别为 2 cm,4 cm,6 cm,某人站在 3 m 之外向此板投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投.记事件 A=投中大圆内,事件 B=投中小圆与中圆形成的圆环内,事件 C=投中大圆之外.(1)用计算机产生两组0,1 内的均匀随机数,a 1=RAND,b1=RAND.(2)经过伸缩和平移变换,a= 16a1-8,b=16b1-8,得到两组 -8,8内的均匀随机数.(3)统计投在大圆内的次数 N1(即满足 a2+b236 的点( a,b)的个数 ),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足 4a2+b216 的点(a,b)的个数), 投中木板的总次数 N(即满足上
8、述-8a8,-8b8 的点(a,b)的个数).则概率 P(A),P(B),P(C)的近似值分别是( )A.1,2,-1.2,1,-2C.1,2-1,2.2,1,1-2解析: P(A)的近似值为 1,()的近似 值为 2,()的近似 值为 -1.答案: A4.利用随机模拟方法计算 y=x2 与 y=4 围成的面积时,利用计算器产生两组 01 之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换 a=a14-2,b=b14,试验进行 100 次,前 98 次中落在所求面积区域内的样本点数为 65,已知最后两次试验的随机数 a1=0.3,b1=0.8 及 a1=0.4,b1=0.3
9、,则本次模拟得出的面积为 . 解析: 由 a1=0.3,b1=0.8 得,a=- 0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在 y=x2 与 y=4 围成的区域内,由 a1=0.4,b1=0.3 得,a=-0.4,b=1.2,(-0.4,1.2)落在 y=x2 与 y=4 围成的区域内,所以本次模拟得出的面积为 1667100=10.72.答案: 10.725.设函数 y=f(x)在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有 0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线 y=f(x)及直线 x=0,x=1,y=0 所围成部分的面积 S.先产生两组(每组 N 个)01 区间上的均匀随机数
10、x1,x2,xN 和 y1,y2,yN,由此得到 N 个点( xi,yi)(i=1,2,N).再数出其中满足 yif(x i)(i=1,2,N)的点数 N1,则由随机模拟方法可得 S 的近似值为 . 解析: 由 0f(x)1 可知曲线 y=f(x)与直线 x=0,x=1,y=0 围成了一个曲边图形.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为 1,共有 N 对数,即有 N 个点,且满足 yif (xi)(i=1,2,N)的有N1 个点,即在函数 f(x)图象上及下方有 N1 个点,所以由几何概型的求概率公式得,曲线 y=f(x)与x=0,x=1,y=0 围成的面积为 11=1.答案:1
11、6.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于 6 cm,现用直径等于 2 cm 的硬币投掷到网格上,用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.解: 记事件 A=硬币与格线有公共点,设硬币中心为 B(x,y).步骤:(1)利用计算机或计算器产生两组 01 之间的均匀随机数,x 1=RAND,y1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,则 x=6(x1-0.5),y=6(y1-0.5),得到两组-3,3内的均匀随机数.(3)统计试验总次数 N 及硬币与格线有公共点的次数 N1(满足条件|x| 2 或|y|2 的点(x,y )的个数).(4)计算频 .率1,即 为 硬 币 落下后与格
12、线 有公共点的概率的近似 值7.用随机模拟方法求函数 y =的 图 象与 轴 和直 线 =1围 成的 图 形的面 积 .分析: 将问题转化为求在由直线 x=1,y=1 和 x 轴,y 轴围成的正方形中任取一点,该点落在已知图形内的概率.用随机模拟方法来估计概率即可.解: 如图,阴影部分是函数 y x 轴和直线 x=1 围成的图形.=的 图 象与设阴影部分的面积为 S.随机模拟的步骤:(1)利用计算机产生两组0,1 内的均匀随机数,x 1=RAND,y1=RAND;(2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y (x,y)的个数);的点(3)计算频 ;率1,即 为 点落在阴影部分的概率的近似 值(4)直线 x=1,y=1 和 x 轴,y 轴围成的正方形面积是 1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率S为 1=.则 1,即阴影部分面 积 的近似 值为 1.
