1、模块综合检测(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线经过 A(1,0),B(4, )两点,则直线 AB 的倾斜角为( )3A.30 B.45C.60 D.120解析: 因为直线 AB 的斜率为 kAB= ,所以直线 AB 的倾斜角为 30.33答案: A2.在空间直角坐标系中,已知 A(2,-3,1)关于 xOy 平面的对称点为 B,则点 B 到点 C(1,1,-2)的距离为( )A.2 B.3 14C.3 D.2 34解析: 由题意知点 B 的坐标为(2, -3,-1)
2、,所以|BC|= =3 .(2-1)2+(-3-1)2+(-1+2)2 2答案: C3.三条直线两两平行,可以确定的平面个数是( )A.1 B.1 或 2 C.3 D.1 或 3解析: 当三条直线在一个平面内时 ,可确定一个平面; 当三条直线不共面时 ,可以确定三个平面.答案: D4.经过圆 x2+y2-4x+4y=0 的圆心 ,且和直线 2x-y+1=0 垂直的直线方程为( )A.2x-y-6=0B.x+2y+2=0C.2x+y-2=0D.x-2y-6=0解析: 设所求直线方程为 x+2y+c=0,因为圆的方程为 x2+y2-4x+4y=0,所以圆心坐标为(2,-2) .代入直线x+2y+c
3、=0,得 c=2.故所求直线方程为 x+2y+2=0.答案: B5.以点(2,- 1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=9解析: 由题意知圆的半径 r= =3,故所求圆的方程为(x- 2)2+(y+1)2=9.|32+(-4)(-1)+5|32+(-4)2答案: C6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. +2 B.13 136C. D.73 52解析: 由三视图可知该几何体是一个组合体 ,其中左边是半个圆锥,底面半径为
4、 1,高为 1,所以其体积V1= 121 ;右边是一个圆柱,底面半径为 1,高为 2,所以其体积 V2=122=2.故该几何体的13 12=6体积为 V=V1+V2= +2= .6 136答案: B7.已知圆:x 2+y2-4x+6y=0 和圆:x 2+y2-6x=0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析: 由题意知 AB 的垂直平分线方程是过两圆圆心的直线.因为两圆圆心分别为(2,-3) 和(3,0),所以所求直线的斜率为 k=3,故所求直线方程为 y=3(x-3),即 3x-y-9=0.
5、答案: C8.当圆 O1:x2+y2=4 与圆 O2:(x+3)2+(y-4)2=r2 外切时,直线 x+y+1=0 截圆 O2 所得的弦长为( )A.2 B.2 7C.2 D.5 7解析: 圆 O1 的圆心为 O1(0,0),半径 r1=2,圆 O2 的圆心为 O2(-3,4),因为两圆外切,所以|O 1O2|=2+r,即5=2+r,r=3.圆心(- 3,4)到直线 x+y+1=0 的距离为 d= .22=2所以截得的弦长为 2 =2 =2 .2-2 9-2 7答案: B9.已知 , 是两个不同的平面,l 是一条直线,给出下列说法 : 若 l, ,则 l; 若 l, ,则 l; 若 l, ,
6、则 l ; 若 l,则 l.其中说法正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.0解析: 对于 ,若 l, ,则 l 或 l,故 错误;对于 ,若 l ,则 l 或 l ,故 错误; 对于 ,若 l, ,则 l ,故 正确;对于 ,若 l,则 l 或 l 或 l 或 l 与 斜交,故 错误.答案: A10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= ,将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )2A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直D.对任意位置,三对直
7、线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直解析: 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量 .对于选项 A,过点 A 作 AEBD ,垂足为 E,过点 C 作 CFBD,垂足为 F,在图 中,由边 AB,BC 不相等可知点 E,F 不重合.在图 中,连接 CE,若直线 AC 与直线 BD 垂直,又因为 ACAE=A,所以 BD平面 ACE,所以 BDCE,与点 E,F 不重合相矛盾,故 A 错误.对于选项 B,若 ABCD,又因为 ABAD ,ADCD=D,所以 AB平面 ADC,即 ABAC.由 ABAB,2所以不存在这样的直角三角形.故 C 错误.由以上可知 D 错
8、误,故选 B.答案: B二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.已知圆柱的侧面展开图是长为 6,宽为 3 的矩形,则圆柱的表面积为 . 解析: 设圆柱的底面半径为 r,则 2r=6,r=3.所以表面积为 2r2+18=36.答案: 3612.直线 y=x 上的任意点 P 与圆 x2+y2-10x-2y+24=0 上的任意点 Q 间距离的最小值为 . 解析: 圆的标准方程为(x-5) 2+(y-1)2=2,所以圆心坐标为(5,1),半径为 r= .2圆心到直线 y=x 的距离 d= =2 ,|5-1|2 2所以|PQ|的最小值为 d-r=2 .
9、2 2=2答案: 213.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心 ,E 为 C1C 的中点,则异面直线 D1A 与EO 所成角的余弦值为 . 解析: 取 BC 的中点 G,连接 BC1,EG,OG.设正方体的棱长为 2a,则 AD1 BC1 2EG=2 a,OG=a,OEG 为直线 D1A 与 EO 所成的角.2OG平面 BCC1B1,则 OGEG.因为 OE= a,3所以 cosOEG= .=23=63答案:6314.(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示 (单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3. 解析: 由三视图,可知该几何
10、体由两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4cm,2cm,2cm,所以其体积为 2(224)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形,所以其表面积为 2(222+424)-2(22)=72(cm2).答案: 72 3215.已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为 . 解析: 圆 C1 的圆心坐标为(-1,1),半径长为 1,设圆 C2 的圆心坐标为(a,b),依题意,有 -12-+12-1=0,-1+1=-1, 解得 =2,=-2,所以圆 C2 的圆心坐标为(2,-2)
11、,且半径长为 1,故圆 C2 的方程为(x-2) 2+(y+2)2=1.答案: (x-2)2+(y+2)2=1三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 所在直线的方程为 2x-y-2=0,点 C(2,0).(1)求直线 CD 的方程 ;(2)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程.解: (1)因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 ABCD,所以 kCD=kAB=2.故 CD 的方程为 y=2(x-2),即 2x-y-4=0.(2)因为 CEAB,所以 kCE=- =- .112所以
12、直线 CE 的方程为 y=- (x-2),12即 x+2y-2=0.17.(8 分) 求与已知圆 x2+y2-7y+10=0 相交,所得公共弦平行于已知直线 2x-3y-1=0,且过点( -2,3),(1,4)的圆的方程.解: 公共弦所在直线的斜率为 ,23已知圆的圆心坐标为 ,(0,72)故两圆圆心所在直线的方程为 y- =- x,72 32即 3x+2y-7=0.设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由(-2)2+32-2+3+=0,12+42+4+=0,3(-2)+2(-2)-7=0, 解得 =2,=-10,=21.故所求圆的方程为 x2+y2+2x-10y+21=0.18.
13、(9 分) 将长方体 ABCD-A1B1C1D1 沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如图甲所示的几何体,已知该几何体的正视图与俯视图如图乙.(1)画出该几何体的侧视图;(2)求该几何体的体积.解: (1)该几何体的侧视图如图所示.(2)对于所截去的三棱锥 B1-CC1D1,其体积为B1C1三棱 锥 1-11=13 11= 5 34=10,13 12=543=60.长 方体 -1111故所求几何体的体积为=60-10=50.长 方体 -1111三棱 锥 1-1119.(10 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP平面 PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC1
14、2的中点.求证:(1)AP平面 BEF;(2)BE平面 PAC.证明 (1)设 ACBE=O,连接 OF,EC.由于点 E 为 AD 的中点,AB=BC= AD,ADBC,12所以 AEBC,AE=AB=BC,所以 O 为 AC 的中点.又在PAC 中,F 为 PC 的中点 ,所以 APOF.又 OF平面 BEF,AP平面 BEF,所以 AP平面 BEF.(2)由题意知,EDBC,ED=BC,所以四边形 BCDE 为平行四边形,所以 BECD.又 AP平面 PCD,所以 APCD,所以 APBE.因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BEAC.又 APAC=A,AP,AC平面 PAC,所以 BE
15、平面 PAC.20.(10 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,BAC= 90,O 为 BC 的中点.(1)求证:SO平面 ABC;(2)求二面角 A-SC-B 的正弦值.(1)证明 如图,由题设 AB=AC=SB=SC=SA.连接 OA,ABC 为等腰直角三角形,所以 OA=OB=OC= SA,且 AOBC.22又SBC 为等腰三角形,故 SOBC ,且 SO= SA.22从而 OA2+SO2=SA2,所以SOA 为直角三角形,SO AO.又 AOBC=O,所以 SO平面 ABC.(2)解: 取 SC 的中点 M,连接 AM,OM,由(1)知 SO=OC,SA=AC,得 OMSC,AMSC.所以OMA 为二面角 A-SC-B 的平面角.由 AOBC,AOSO,SOBC=O,得 AO平面 SBC.所以 AOOM.又 AM= SA,AO= SA,故 sinAMO= .所以二面角 A-SC-B 的正弦值为 .32 22 =23=63 63
