1、第10章 平面解析几何,一、平面向量,二、直线,三、圆,四、椭圆,（焦点在长轴上）,五、双曲线,（焦点在实轴上）,六、抛物线,第10章 平面解析几何,一、平面向量,1. 定义,具有大小和方向的量。, 向量的模：,向量常用 表示。,单位向量：,向量的大小。,零向量：,模为1 的向量。,模为0 的向量。,2. 向量的运算, 加法,平行四边形法则：,三角形法则：, 向量加法满足三角不等式：, 减法, 数乘,向量,a.,b.,当 时， 与 方向相同；,当 时， 与 方向相反。,例, 设 ，则,与 同方向的单位向量, 平行向量（共线向量）：,方向相同或相反的向量。, 定理,存在数 ，使,3. 向量的坐标
2、,设 ，则, 有了向量的坐标后，向量的运算可转化为其坐标,之间的运算。,设 ，则,4. 向量的数量积（内积、点积）,其中,与 的夹角,记作：, 内积满足：, 数量积用坐标表示,设 ，则, 例 已知向量 满足：,C,（P114 第2题）,则 （ ）.,A.,B.,C.,D.,解,法一,法二,（画图 用余弦定理）,B,设 ， 为任意方向的单位向量，,A.,B.,C.,D.,补,则 的最大值为（ ）.,解,法一,用向量加法满足的三角不等式：,所求的最大值为 4.,法二,（画图 ）,5. 两个结论,设,则, 6. 中点坐标公式,例 在平面直角坐标系中，已知两点,C,（P115 第11题）,则由坐标原点
3、 到线段 中点,A.,B.,C.,D.,（08年）,的距离是（ ）.,解,法一,由题知，点 在单位圆上,是等边三角形，边长为1,在 中，,或,法二,由题知,则,补,关于直线,是（ ）.,A,A.,B.,C.,D.,与原点对称的点的坐标,解,画图,可排除C, D.,设对称点为,只要验证 的中点是否在已知直线上,.,二、直线,1. 直线的方向向量、倾斜角和斜率, 与直线 平行的非零向量，称,为直线 的一个方向向量。, 直线 向上的方向与 轴正方向,所成的最小正角，称为直线 的倾斜角。, ，称为直线 的斜率。, 经过两点 的直线斜率为：,2. 直线方程的几种形式, 点斜式,（微分学中，导数的几何意义
4、）, 斜截式, 截距式, 一般式,（ 不同时为 0）,其中：,直线的一个法向向量,直线的一个方向向量,或,.,3. 两条直线的位置关系,设不重合的两条直线为, 两直线平行, 两直线垂直, 两直线相交,若,则两直线相交。,或 若 ，则两直线相交。,4. 两条直线的夹角,两条直线 ， 相交成四个角，,它们是两对对顶角，我们把其中的,直角或锐角叫两直线的夹角。, 5. 点到直线的距离,.,只有一个元素时， 的关系式是,补,当,.,解,由题知，直线与圆相切,即,故,6. 两平行直线间的距离（两种方法）,.,法一：,在其中任一条直线上,任取一点 ，再求点 到,另一条直线的距离即可。,法二：（公式法）,若
5、 ，则其方程可变为,则有,A,直线 与,都是一个圆的切线，这个圆的面积是（ ）.,A.,B.,C.,D., 补,解,圆,关键是求半径,由题知，两直线平行，且与圆相切,三、圆,1. 定义,.,特点：,圆心 半径,2. 圆的标准方程,圆心,半径,3. 圆的一般方程, 的系数相同, 不含 项,标准方程,配方,4. 直线与圆的位置关系,.,相离,相切,相交,（比较 和 ）,5. 圆与圆的位置关系,.,.,圆心距,外离,外切,相交,内切,内含,例 设直线 被圆,（P108 例2）,截得弦为 ，求弦,的长度。,解,法一 （不好）,法二：,.,圆心为,半径为,故,联立方程组，求交点。,例 设点 在圆,A,（
6、P114 第7题）,直线 和圆 （ ）.,A.,B.,C.,D.,（03年）,不相交,的内部，则,有一个交点,有两个交点，且两交点间的距离小于2,有两个交点，且两交点间的距离等于2,解,取特殊值法,不妨取点,则直线,即,故 选 A.,例 一个圆的圆心为 ，该圆与坐标轴交于,C,（P114 第8题）,距离为（ ）.,（05年）,和 两点，则 到坐标原点的,A.,B.,C.,D.,解,.,.,由题知，,为圆的弦,圆心一定在 的垂直平分线上,.,故,例 过点 作圆 的切线,D,（P114 第6题）,（03年）,是两个切点，则 所在直线的方程为（ ）,A.,B.,C.,D.,解,画图即可，不需计算,例
7、 参数方程 在 平面,A,（2011年）,上表示的曲线是（ ）.,A. 圆,B. 椭圆,C. 双曲线,D. 抛物线,解,（消去参数 即可）,由已知得,两边平方且相加得,圆,四、椭圆,（焦点在长轴上）,1. 定义,.,.,平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数,的点的轨迹，叫椭圆。,焦点 焦距,（取过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的中垂线为 轴,建立直角坐标系）,2. 椭圆的标准方程、图像和性质,.,.,性质：,焦点、 焦距； 离心率、准线。,对称轴、顶点；,长轴，长为,短轴，长为,离心率：,准线：,.,.,性质：,焦点、 焦距； 离心率、准线。,对称轴、顶点；,长轴，长为,短轴，长为,离心率
8、：,准线：, 会从椭圆的标准方程识别椭圆的类型。, 会从椭圆的标准方程找出 ， 来。, 标准方程中， 下面的数，哪个大, 该数就是, 长轴就在该轴上, 焦点也在该轴上,可见，从标准方程中认出 很重要！,例 椭圆 的左、右焦点分别为 和,A,（P115 第12题）,的（ ）倍.,点 在椭圆上，若 的中点在 轴上，则 是,A.,B.,C.,D.,解,由题知，,的中点在 轴上,.,.,.,又,点 在椭圆上,而,故 选A.,C,设直线 刚好交椭圆,于一点，则 之值是（ ）.,A.,B.,C.,D.,补,解,由题知，,只有一个解,即,解之 得,五、双曲线,（焦点在实轴上）,1. 定义,.,.,平面内与两
9、个定点 ， 的距离的差的绝对值是,常数 的点的轨迹，叫双曲线。,焦点 焦距,（取过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的中垂线为 轴,建立直角坐标系）,2. 双曲线的标准方程、图像和性质,性质：,焦点、 焦距； 离心率、准线、渐近线。,对称轴、顶点；,实轴，长为,虚轴，长为,离心率：,准线：,.,.,.,.,渐近线：,性质：,焦点、 焦距； 离心率、准线、渐近线。,对称轴、顶点；,实轴，长为,虚轴，长为,离心率：,准线：,渐近线：,.,., 会从双曲线的标准方程识别双曲线的类型, 会从双曲线的标准方程找出 ， 来。, 标准方程中， 的系数，哪个为正, 它下面的数就是, 实轴就在该轴上, 焦点也在该轴
10、上,可见，从标准方程中认出 很重要！,例 双曲线 的两个焦点为 、 ，过,（P112 例1）,一个交点为 ，求 的长。,左焦点 作垂直于 轴的直线与双曲线相交，其中,解,由题知，,.,.,点 在双曲线上,且,而,C,若双曲线 的焦点到它对应,A.,B.,C.,D.,补,的准线之距离为2，则 =（ ）.,解,双曲线的标准方程为：,.,.,由题知，,（ ）,化简,即,故,B,设双曲线 的左、右,A. 外离,B. 外切,C. 相交,D. 内切,补,焦点分别是 ， 。若 是该双曲线右支上异于,解,（09年）,顶点的一点，则以线段 为直径的圆与以该双曲线的,实轴为直径的圆的位置关系是（ ）。,.,.,.
11、,法一,画图即可,法二,取特殊点,不妨设,.,而,两圆外切。,.,.,.,.,法三,取特殊点,连接,点 在双曲线上,即,故 两圆外切。,D,若由双曲线 的右焦点 向曲,补,线 所引切线的方程是,（2010年）,则双曲线的离心率 等于（ ）.,解,A.,B.,C.,D.,.,.,设切点为 ，则,由切线方程知，,故在 中,六、抛物线,1. 定义,.,平面内与一个定点 和一条定直线 距离相等的,点的轨迹，叫抛物线。,焦点 准线,（取过 的直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立,坐标系）,设,焦点 到准线 的距离,则,准线：,2. 抛物线的标准方程、图像和性质,.,性质：,对称轴、顶点；,焦点、准线、
12、离心率：,.,.,.,例 是抛物线 的过焦点 的一条弦，,B,（P115 第15题）,长等于（ ）.,若 的中点 到准线的距离等于 ，则弦 的,A.,B.,C.,D.,（08年）,解,.,.,由题知，点 在抛物线上,（梯形的中位线）,例 已知 ，若圆,B,（P115 第13题）,的图形是（ ）.,的圆心在第四象限，则方程,A. 双曲线,B. 椭圆,C. 抛物线,D. 直线,（05年）,解,方程 可变为：,由题知，已知圆的圆心为：,在第四象限,即,故 图形是椭圆,D,若抛物线 的焦点与椭圆,补,的右焦点重合，则 的值为（ ）.,解,A.,B.,C.,D.,.,.,由题知,椭圆的右焦点为：,而抛物线的焦点为：,由两焦点重合 得,
