1、1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xffx且 ()0,求 ()x及其定义域.(3)设 为曲面 21yz的外侧,计算曲面积分 333.IdyzxzdyA二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21)lim()txxftt则 ()ft= _.(2)设 (连续且30,d则 7=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1上定义为 ()fx 2 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 1x处收敛于 _.
2、(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中 234,均为 4 维列向量,且已知行列式 则行列式 A= _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 4y的一个解且 00(),(),fxf则函数()fx在点 0处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(
3、3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzRxyz则(A) 124xdv (B) 124ydv(C) 12zz(D) 12xzxyzdv (4)设幂级数 1()nnax在 1处收敛,则此级数在 处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) 维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使 120skk(B) 12,s 中任意两个向量均线性无关(C) s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (,xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连
4、续导数,求22.uxy五、(本题满分 8 分)设函数 (yx满足微分方程 32e,xy其图形在点 (0,1)处的切线与曲线21x在该点处的切线重合,求函数 ().六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数 ,r为 A质点与 M之间的距离), 质点 沿直线 2yx自 (,0)B运动到 ,)O求在此运动过程中质点A对质点 M的引力所作的功.七、 （本题满分 6 分）已知 ,PB其中1010,2,P求 5.A八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、 （本题满分 9 分
5、）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有 ()0,fx证明:在 (,)ab内存在唯一的,使曲线 y与两直线 )yfx所围平面图形面积 1S是曲线 yfx与两直线 (),fx所围平面图形面积 2S的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于1927则事件 A在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,1)内任取两个数,则事件” 两数之和小于 5”的概率为_.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布 ,已知21()e,(.)0938uxd则 落在区间 (9.5,10内的概率为 _.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X的概率密度函数为 21(),)Xfx求随机变量 31YX的概率密度函数 ().Yfy
