1、圆锥的体积笔者有幸在同一天听了两位教师的课：圆锥的体积 ，课后同两位教师进行了深入的访谈、沟通，并与三十余位小学数学教师就两节课进行了为期半天的教学评析活动。事后，仍念念不忘，思之想之，颇多感悟，颇有收获。做此教学案例分析，以飨同仁。一、目标定位对比分析：A 教学1.使同学们理解、掌握圆锥体积计算公式，能运用公式计算圆锥的体积，解决有关的实际问题。2.培养同学们观察、操作、推理的能力。B 教学1.合理、有效、有序地开展小组合作学习，在“实验操作合作交流自主探究”的过程中感悟、推理出圆锥体积计算公式，渗透“转化”的数学思想。2.会运用公式计算圆锥的体积，能解决现实生活中类似或相关的问题。3.在活
2、动中使同学们的观察、比较、分析、归纳、推理等能力得到发展，合作意识、协作精神得以增强，空间观念得到强化。小学资源网：感悟与反思教学目标的准确定位是检验课堂教学是否有实? “圆锥体积计算公式”的发生、转化、形成的历程；是只关注“知识与技能”的传授与掌握，还是关注“知识与技能、过程与方法、情感态度”的三维目标有机融合。透过上述两个教学片段教学目标的对比分析，是否可以给予我们一些启示呢？数学课程标准明确指出：过程本身就是一个课程目标，即首先必须要让学生在数学学习活动中去“经历过程” 。 “三维”目标是一个有机的整体，不可分割。课堂教学目标是教学活动的出发点和归宿，是师生共同追求的目标，对教学具有导向
3、、激励、调控和评价的功能。只有制定明确、具体、可行、可测且极具发展性的“三维”教学目标，我们才能在教学活动中按教学目标优化教学活动，使课堂教学有实效，学生有发展。二、教学流程对比分析（一）复习引入、铺垫孕伏A 教学 提问1.我们已经学过哪些立体图形体积的计算方法？2.我们是用怎样的方法推导圆柱体积计算公式的？3.用字母公式表示圆柱的体积。4.说一说圆锥体的各部分名称及其特征板书课题：圆锥的体积B 教学 创设情境，引发兴趣及思考1.我们认识了圆锥，谁来向大家介绍一下圆锥的各部分及其特征。什么是圆锥的高？生活中你见过哪些物体的形状是圆锥形的？小学资源网：2.如果要把一根底面直径 8 厘米、高 20
4、 厘米的圆柱形木料，加工成底面直径是 12厘米、高 10 厘米的圆锥，大家想一想，该怎么办？（多媒体课件演示圆柱形木料旋转切削转化为圆锥的过程，并将圆柱与圆锥重叠，突出“等底等高” ）师提问：制成的圆锥的底面积与截取圆柱的底面积有什么关系？制成的圆锥的高与截取圆柱的高有什么关系？大家可以试着猜想、估计一下，制成的圆锥的体积与截取圆柱的体积有什么关系？同学们的猜想、估计对不对呢？我们一起来研究“圆锥的体积” 。 （板书课题）感悟与反思创设情境、激趣引课起着影响全局、辐射全课的作用。要求教师一堂课的开头就像一块无形的“磁铁” ，虽然只有短短的几分钟，但能吸引学生的注意力，调动学生的情绪，打动学生的
5、心灵，形成良好的课堂气氛。上面两个教学片段在此环节上的不同处理：A 教学师与生在 “打乒乓球式”的一问一答过程中；B教学中教师从把圆柱形木料加工成圆锥的实际问题出发引入新课，别具匠心。目的有三：一是引课内容（多媒体课件演示圆柱旋转切削转化为圆锥的过程）贴近学生的生活经验，是学生看得见、摸得着的，易于激发学生的兴趣。二是把新知（圆锥）与旧知（圆柱）联系起来，引发学生主动地进入探究阶段的内容，为探索活动定向；三是凸现“等底等高”现象，为圆锥体积学习做好孕伏。孰优孰劣，是否能够引发我们深入的思考！（二）实验操作、合作交流、自主探究新知、验证（解释）新知A 教学1.圆锥的体积（1）通过实验，使学生认识
6、圆锥的体积和与它等底等高的圆柱体积的关系。每组都准备好等底等高的圆柱形和圆锥形容器，沙子。将圆锥形容器盛满沙子，再将沙子倒入和它等底等高的圆柱形容器内，数一数一共倒了几次将圆柱?稳萜鞯孤?弁 ?笛槿醚?伎迹涸沧兜奶寤?退?鹊椎雀叩脑仓?寤?溆惺裁垂叵担?（2）根据等底等高圆柱和圆锥体积的关系，引导学生得出圆锥体积计算公式：V=1/3Sh（板书）（3）引导学生思考：圆柱体积计算公式和圆锥体积计算公式有什么相同之处？为什么圆锥的体积计算公式用它的底面积乘以高后还要乘以 1/3？2.教学例 1：一个圆锥形铅锤，底面积是 28.26 平方厘米，高是 5 厘米，这个铅锤的体积是多少？（1）学生读题后找出
7、已知条件，说出计算公式。（2）列式解答小学资源网：（3）提问：求圆锥的体积必须知道哪两个条件？如果不直接告诉底面积，还可以知道哪些已知条件？怎样进行计算？B 教学1.出示圆锥:什么是物体的体积?什么是圆锥的体积?(圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积)根据以前的知识要求出这个圆锥的体积有什么办法?(把圆锥浸没在装有水的长方体、正方体或圆柱体容器中,看水面上升的高度,计算出上升的那一部分水的体积,就是这个圆锥的体积)(把圆锥看成一个容器,倒入水,再把水倒入量杯中,水的体积就是圆锥的体积).师:这些想法都很好,但有一定的局限性,我们要找一种计算圆锥体积的方法。想一想能不能找到圆锥与以前学过的某种立体图
8、形的体积之间的联系来发现圆锥体积的计算方法。2.讨论：（1）我们以前学过哪几种立体图形？拿哪种立体图形来帮助研究圆锥的体积更合适呢？为什么？（因为圆锥有一个圆形底面和一个侧面是曲面，圆柱也有一个圆形的底面和一个侧面也是曲面，用圆柱帮助研究圆锥更方便） （2）出示 4 个圆柱、1 个圆锥。师：这里有 4 个圆柱，选哪一个来帮助研究圆锥的体积呢？演示比较：圆柱与圆锥分等底等高，等底不等高，等高不等底，既不等底又不等高四种情况。 （侧?赜谝?佳?鹊椎雀叩脑仓?朐沧兜难芯恳员阌诜止媛桑?3）分组提供小组合作实验操作的材料（每组 4 个圆柱，1 个圆锥，水、沙子、大米及实验操作记录表）想一想，利用这些材
9、料，你能设计一个实验来研究圆锥的体积吗？第小组 实验操作记录表 实验记录人：实验项目及内容 圆锥盛满（水或）向圆柱倒三次后的情况 实验结论等底等高 等底不等高 等高不等底 既不等底也不等高3.动手实验：四人一组进行操作，注意观察实验过程（教师讲清实验操作要求、步骤） ，小组成员详细记录实验情况，全组成员共同讨论、分析，得出本组实验结论。4.汇报交流：发现了什么？（让学生在展示台上讲述本组的结论）全体师生共同倾听、质疑。教师适时引导点拨：大家比较一下各组的实验记录，有什么相同点吗？（圆柱体积是和它等底等高圆锥体积的 3 倍，圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的1/3）5.质疑回顾：那么等底不等高，等
10、高不等底，既不等底也不等高的圆柱和圆锥的体积还是不是 3 倍呢？根据学生回答教师板书：V 锥=1/3V 柱反馈练习：根据已知圆柱（圆锥）的体积，求出与它等底等高的圆锥（圆柱）的体积。 （课件展示）小学资源网：师：根据已知圆柱的体积，乘以 1/3 就可以求出与它等底等高的圆锥的体积，如果圆柱的体积不是直接已知的，你能求出圆锥的体积吗？（V 锥=1/3Sh）也就是可以利用圆柱体积公式“V 柱=Sh”得出圆锥体积公式“V 锥=1/3Sh” 。6.出示例 1：一个圆锥形的零件，底面积是 19 平方厘米，高是 12 厘米，这个零件的体积是多少？师：要求圆锥体积可以用 V=1/3Sh，你会求吗？（学生尝试
11、，师巡视指导）汇报：1/31912=76（立厘米） 答：这个零件的体积是 76 立厘米。“912”求出的是什么？为什么要“1/3。 ”感悟与反思实验操作、合作交流、自主探究新知、验证（解释）新知主要是让学生经历、体验、感悟知识的形成过程。上面的两个教学片段都在尝试着运用实验法来揭示圆锥体积计算的形成过程。A 教学直指“等底等高”这一种情况，学生通过操作（全班同学整齐划一）得出结论，利用圆锥体积计算公式完成例题，反馈练习，巩固强化新知。B 教学教师先是提出“怎样求圆锥的体积？”这一开放性的问题，让学生联系已有的知识经验提出多种解决方法。接着教师并没有把教学活动简单地推向具体的实验操作层面，而是安
12、排了两个层次的讨论，帮助学生理清探究策略的方向和合理性，设计出实验操作表（分四种情况） 。然后放手让学习小组进行实验操作、合作交流、自主探究圆锥体积计算公式的形成过程（实际上是让学生经历了数学家们探索的过程） ，体现了“做数学”的思想。并在这个过程中师与生，生与生通过合作、讨论、交流各抒己见、透彻分析、拓宽思路、集思广益、思维互补，使获得的概念更清晰、结论更准确。 数学课程标准指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”数学的学习方式不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式。而应该是一个充满生机和活力的过程。
13、学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享同学的想法。在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中倾听、质疑、说服、推广而直至感到豁然开朗，这是数学学习的一个新境界。（三）实践应用、巩固新知A 教学1.巩固性练习根据下面的已知条件求圆锥的体积（口述算式）底面积 0.3 平方分米，高 0.15 分米。底面半径 5 厘米，高 15 厘米。底面直径 8 厘米，高 10 厘米。底面周长 6.28 厘米，高 20 厘米。2.提高性练习（1）判断题圆锥的
14、体积等于圆柱体积的 1/3。 （ ）圆柱的体积与它等底等高的圆锥体积的 3 倍。 （ ）一个圆锥底面半径扩大 2 倍，高不变，它的体积也扩大 2 倍。 （ ）（2）选择题一个圆柱形铅块可熔铸成（ ）个与它等底等高的圆锥形零件。A.3 B.2 C.1把一个圆柱削成一个最大的圆锥体，应削去圆柱体积的（ ） 。A.1/3 B.1/9 C.2/3B 教学1. 认真想一想，对吗？圆锥的体积是圆柱体积的 1/3（ ）圆锥的底面积是 3 平方厘米，体积是 6 立方厘米（ ）等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积比圆柱体积小 2/3（ ）2. 选择合适的数据求圆锥的体积（单位：厘米） （图略）3. 课件展示：圆锥在生
15、活中应用的实物图（如建筑物、火箭、飞机等） ，说一说你在生活中所见到的圆锥形物体，并谈谈自己的感受。4. 动脑筋解决问题：要使等底等高的圆柱与圆锥体积相等，你有什么办法？（生讲师课件演示）把圆锥的高（或底面积）扩大 3 倍，使圆锥的体积扩大 3 倍，与圆柱的体积相等。把圆柱的高（或底面积）缩小 3 倍，使圆柱的体积缩小 3 倍，与圆锥的体积相等。感悟与反思掌握知识、形成技能、发展能力是教学过程中的一个必不可少的重要环节，也是教师及时了解学生掌握知识的信息反馈。学生如果能举一反三，解决类似或相关的问题，说明学生已吸收、内化知识并形成能力，这就是实效。在上述两个教学片段中，A 教学关注的是学生知识
16、与技能的巩固训练；B 教学注重学生对所学新知的实践应用，练习的设计从学生的实际出发由浅入深，联系生活，要求逐步提高，除了基础性、针对性的练习外，还设计了应用性、拓展性的“问题解决”练习，层次清晰、结构合理，面向全体，让每个学生都有动脑、动口、动笔的机会，不同层次的学生均有所获，充分调动了学生的学习情感，形成了良好的学习态度。特别是在课结尾时，教师运用多媒体动态演示底面积和高变化的情况，变想象为直观，难点得到突破，学生兴趣盎然，留下精彩回味。贯彻了数学课程标准中指出的“小学数学学科的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，最终目的是为学生的终身可持续发展奠定良好的基础，实现人人学有价值的数学
17、；人人都能获得必需的数学；不同的人?谑?系玫讲煌?姆?”的大众数学理念。几点启示：1. 观念的更新，理念的创新， 数学课程标准的认真学习和潜心研究教材仍然是教师的首要任务。摒弃由教师讲、学生听的传统教学模式，建立以学生为主体，教师为主导，以生活实际为中心，以“创设情境，引发兴趣与思考实验操作，合作交流，自主探究新知形成新知，验证（解释）新知实践应用，巩固新知”师生互动“做数学”的新教学模式。小学资源网：2. 教学设计时应努力做到：（1）要根据教材内容和学生实际水平制定明确、具体、可行、可测且具发展性的教学目标。要整体把握教材，教学思路要有整体性，如何将较零散的知识点串成一条主线，贯穿始终是教学
18、设计的主题。合理运用教材和创造性地使用教材是设计一节好课的前提。 （2）所设计的问题一定要落在学生的“最近发展区” ，必须基于学生已有的经验，又能解决，又能上手，但解决似乎又有困难，这样的问题是最有探究价值的，这样的学习才是最有意义的，最有效的，才能最大限度地调动学生的积极性。 （3）数学活动必须定位在“做中学” ，能够让学生在实践活动中、实验操作中和动手制作中学数学（可根据教学内容和学生学习的要求适当提供学习材料，为探究知识铺路搭桥） ，从而建立数学概念、定义、法则、规律等等。 （4）知识的应用要讲求实效性、发展性。内容可涉及基础性练习、针对性练习、应用性练习和拓展性练习。把学习的主动权交给学生（可采取让学生自己编题做或同桌、小组成员互出互答等形式） ，加强实践应用的练习，以培养学生的应用意识和解决问题的能力。3. 教学实施中要注意“教与学”方式的灵活运用，合理转换。强化学生在教学活动中的主体地位：从发现问题到确定研究方法，从选择实验材料到推出结论都由学生参与得到。充分发挥教师的主导作用：从创设情境、穿针引线到启发引导、精确点拨、查漏补缺，要不失时机地把教学推向高潮。
