1、 第 1 页 共 12 页 第 3 节 简谐运动的图像和公式对 应 学 生 用 书 P7简谐运动的图像自读教材抓基础1建立坐标系以横轴表示做简谐运动的物体的时间 t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移 x。2图像的特点一条正弦(或余弦)曲线，如图 131 所示。图 1313图像意义表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。4应用1.简谐运动图像是一条正弦(或余弦 )曲线，描述了质点做简谐运动时位移 x 随时间 t 的变化规律，并不是质点运动的轨迹。2由简谐运动图像可以直接得出物体振动的振幅、周期、某时刻的位移及振动方向。3简谐运动的表达式为 xAsin( t)或2TxAsin
2、(2 ft)，其中 A 为质点振幅、( t) 为相位，2T 为初相位。第 2 页 共 12 页 由简谐运动的图像可找出物体振动的周期和振幅。跟随名师解疑难1图像的含义表示某一做简谐运动的质点在各个时刻的位移，不是振动质点的运动轨迹。2由图像可以获取哪些信息？(1)可直接读取振幅、周期。(2)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图 132 所示，质点在 t1、t 2 时刻的位移分别为 x1 和 x2。图 132(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图 133 中 a 点，下一时刻离平衡位置更远，故 a 此刻向上振动。图 133(4)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比
3、较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越越小，加速度、位移越越大，若靠近平衡位置，则速度越越大，加速度、位移越越小。如图中 b 点，从正位移向着平衡位置运动，则速度 为负且增大，位移、加速度正在减小；c 点从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。学后自检(小试身手)一质点做简谐运动，其位移 x 与时间 t 关系曲线如图 134 所示，由图可知( )图 134A质点振动的频率是 4 Hz第 3 页 共 12 页 B质点振动的振幅是 2 cmC在 t3 s 时，质点的速度最大D在 t4 s 时，质点所受的合外力为零解析：选 BC 从振
4、动图像可知振幅 A2 cm，周期 T4 s，则频率为 f 0.25 1THz。t3 s 时，质点位于平衡位置，速度最大，而 t4 s 时，质点位于最大位移处，所以回复力最大。简谐运动的表达式1.表达式简谐运动的表达式可以写成xAsin ( t)或 xA sin(2ft )。2T2表达式中各量的意义(1)式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移，t 表示质点振动的时间。(2)式中 A 表示振幅，描述的是振动的强弱。(3)式中 T、f 分别表示简谐运动的周期和频率，描述的都是振动的快慢。(4)式中(2 ft)表示相位，描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步
5、调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加 2，意味着物体又多完成了一次全振动。(5)式中 表示 t0 时简谐运动质点所处的状态称为初相位或初相。学后自检(小试身手)一个简谐运动的振动方程为 x5cos(2 t ) cm，这个振动的振幅是 cm；频率是 Hz；2在 t0.1 s 时的相位是。解析：由振动方程可知，A5 cm，2，由 2f 可知，2Tf1 Hzt0.1 s 时，相位为 20.1 。2 710第 4 页 共 12 页 答案：5 1 710对 应 学 生 用 书 P8简谐运动图像的应用典题例析1如图 135 是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：图 135(1)振
6、动的振幅、周期、频率各是多少？(2)如果从 O 点算起，到图线上哪一点为止振子完成了一次全振动？从 A 点算起呢？(3)从零到 1.6 s 时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？思路点拨 解答本题应注意以下两点：(1)由图像可以直接读取振幅和周期；(2)动能最大点、势能最大点与位移的对应关系。解析：(1)由图像可知振动的振幅 A2 cm，周期 T0.8 s，由此可得频率 f 1.25 1THz。(2)由图像可知图中的 O、D、H 三点即在 0、0.8 s、1.6 s 三时刻，振动质点的运动状态相同，图中 A、E 二点，即在 0.2 s、1.0 s 两时刻振动质点的运动状态相同，所以如果从
7、O 点算起，到图像上的 D 点，振子完成了一次全振动；如果从 A 点算起，到图像上的 E 点，振子完成了一次全振动。(3)从 01.6 s 内，在 0、0.4 s、0.8 s、1.2 s、1.6 s 各时刻，即对应图中的O、B 、 D、F 、 H 各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2 s、 0.6 s、 1.0 s、1.4 s 各时刻，即对应图中的 A、C、 E、G 各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。答案：(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz第 5 页 共 12 页 (2)D 点 E 点(3)O、B、D、F、H A、C、E、G探
8、规寻律简谐运动图像问题的分析方法解此类题时，首先要理解 xt 图像的意义，其次要把 xt 图像与质点的实际振动过程联系起。再充分利用图像的直观性，把图像与振动过程联系起，图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等 )，图像上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。跟踪演练如图 136 所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法中正确的是( )图 136A振动周期是 2102 sB第 2102 s 内物体的位移是 10 cmC物体的振动频率为 25 HzD物体的振幅是 10 cm解析：选 BCD 周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距
9、离，所以周期是 4102 s，故 A 错误。又 f ，所以 f25 Hz，故 C 正确。正、负极大1T值表示物体的振幅，所以振幅 A10 cm，故 D 正确。第 2102 s 内初位置是 10 cm，末位置是 0，根据位移的概念有 x10 cm，故 B 正确。 对简谐运动表达式的理解典题例析2物体 A 做简谐运动的振动位移为 xA3cos(100t ) m，物体 B 做简谐运动的振动2位移为 xB5cos(100t ) m。比较 A、B 的运动( )6A振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m第 6 页 共 12 页 B周期是标量，A、B 周期相等为 100 sCA 振动的频率
10、 fA等于 B 振动的频率 fBDA 振动的频率 fA大于 B 振动的频率 fB思路点拨 解答此题要注意以下两点：(1)从表达式中找出振幅、初相、周期；(2)利用关系式 和 f 分析求解。2T 1T解析：振幅是标量，A、B 的振动范围分别是 6 m、10 m，但振幅分别是 3 m、5 m，选项 A 错误；周期是标量， A、B 的周期 T s 6.28102 s，选项 B 错误；因为2 2100TA TB，故 fA fB，选项 C 正确，选项 D 错误。答案：C探规寻律用 xAsin( t)解题的方法2T(1)首先要明确表达式中各物理量的意义。(2)根据 2f 确定描述振动快慢的三个物理量的关系
11、。2T(3)根据表达式求解某时刻的位移。(4)对于同一质点的振动，不同形式位移表达式初相位并不相同。跟踪演练有一个弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )Ax810 3 sin(4t ) m2Bx 810 3sin(4t ) m2Cx 810 1sin(t ) m32Dx810 1 sin( t ) m4 2解析：选 A 4，当 t0 时，具有负方向的最大加速度，则 xA，所以初相2T ，表达式为 x810 3 sin(4t ) m，A 正确。2 2第 7 页 共 12 页 对 应 学 生 用 书 P9课堂双基落实1如图 137
12、 所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移时间图像，下列有关该图像的说法正确的是( )图 137A该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的C为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直 x 轴方向匀速运动D图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析：选 ACD 该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是垂直于横轴方向移动的，故 A 对 B 错。由获得图像的方法知 C 对。频闪照相是在相同时间内留下的小球的像。因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D 对。2一个质点做简谐运动的图像如图 138 所
13、示，则该质点( )图 138A在 00.01 s 内，速度与加速度的方向相同B在 0.010.02 s 内，速度与回复力的方向相同C在 0.025 s 末，速度为正，加速度为负D在 0.04 s 末，速度为零，回复力最大解析：选 AD 在 00.01 s 内，速度、加速度都沿 x 轴负方向，故 A 正确。在0.010.02 s 内，速度沿 x 轴负方向，而回复力沿 x 轴正方向，故 B 错误。在 0.025 s 末，速度和加速度都为正，故 C 错误。在 0.04 s 末，位移最大，回复力最大，速度为零，故 D正确。第 8 页 共 12 页 3某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x A
14、sin t，则质点( )4A第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同B第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同C. 3 s 末至 5 s 末的位移方向都相同D3 s 末至 5 s 末的速度方向都相同解析：选 AD 由表达式 x Asin t 知， ，简谐运动的周期 T 8 s。表达式对4 4 2应的振动图像如图所示。质点在 1 s 末的位移 x1Asin( 1) A4 22质点在 3 s 末的位移 x3Asin( 3) A，故 A 正确；由前面计算可知 t1 s 和 t3 4 22s 质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B 错误；由 xt 图像可知，34 s 内质点的位
15、移为正值，45 s 内质点的位移为负值，C 错误；同样由 xt图像可知，在时间 35 s 内，质点一直向负方向运动，D 正确。4一个小球和轻质弹簧组成的系统，按 x15 sin(8t ) cm 的规律振动。4(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。(2)另一简谐运动表达式为 x25 sin(8t ) cm，求它们的相位差。54解析：(1)已知 8，由 得，周期 T s，2T 14频率 f 4 Hz，振幅 A5 cm，初相 1 ；1T 4(2)由 2 1 得；相位差 54 4答案：(1) s 4 Hz 5 cm (2)14 14课下综合检测1如图 1(a)所示，一弹簧振子在 AB 间做简谐运动，
16、O 为平衡位置。图(b)是该振子做简谐运动时的 xt 图像。则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列图 2 四个图像中正第 9 页 共 12 页 确的是( )图 1图 2解析：选 C 设弹簧劲度系数为 k，位移与加速度方向相反，由牛顿第二定律得 a，故 C 正确。kxm2一个质点做简谐运动的图像如图 3 所示，下列说法正确的是( )图 3A质点振动频率为 4 HzB在 10 s 内质点经过的路程为 20 cmC在 5 s 末，质点做简谐运动的相位为32Dt1.5 s 和 t4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 cm2解析：选 BD 由振动图像可直接得到周期为 4 s，频率 f 0.25
17、Hz，故选项 A 是错1T误的；一个周期内简谐运动的质点经过的路程是 4A8 cm,10 s 为 2.5 个周期，故质点经过的路程为 20 cm，选项 B 是正确的；由图像知，位移与时间的关系 xAsin(t 0)0.02sin m。当 t5 s 时，其相位 t 0 5 ，故 C 不正确；在 1.5 s 和 4.5 s(2t) 2 52两时刻，质点的位移相同，与振幅的关系是 xAsin 135 A cm，故 D 正确。22 2第 10 页 共 12 页 3如图 4 甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期 T2 s，从最低点位置向上运动时 计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示。关于这个图像，
18、下列说法正确的是( )图 4At1.25 s 时，振子的加速度为正，速度也为正Bt1.7 s 时，振子的加速度为负，速度也为负Ct1.0 s 时，振子的速度为零，加速度为负向最大值Dt1.5 s 时，振子的速度为零，加速度为负向最大值解析：选 C t1.25 s 时，振子的加速度为负，速度也为负，故 A 错误。t1.7 s 时，振子的加速度为正，速度为负，故 B 错误。t 1.0 s 时，振子的速度为零，加速度为负向最大值，故 C 正确。t1.5 s 时，振子的速度为负向最大值，加速度为零，故 D 错误。4如图 5 为某一质点的振动图像，由图可知，在 t1 和 t2 两时刻|x 1|x2|，质
19、点速度v1、v 2 与加速度 a1、a 2 的关系为( )图 5Av 1a2，方向相同 Da 1a2，方向相反解析：选 AD v 1、v 2 均沿x 方向，t 1 时刻，质点离平衡位置较远，速度较小，v1|x2|，x 1 与 x2 方向相反，故 a1a2，km且 a1、a 2 方向相反，C 错，D 对。5(北京高考)一个弹簧振子沿 x 轴做简谐运动，取平衡位置 O 为 x 轴坐标原点。从某时刻 计时，经过四分之一周期，振子具有沿 x 轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移 x 与时间 t 关系的图像是 ( )图 6第 11 页 共 12 页 解析：选 A 由简谐运动中加速度与位移的关系 a
20、x 可知，在 T/4 时刻，加速度km正向最大，则位移负向最大，故选项 A 正确。6劲度系数为 20 N/cm 的弹簧振子，它的振动图像如图 7 所示，在图中 A 点对应的时刻( )图 7A振子所受的弹力大小为 0.5 N，方向指向 x 轴的负方向B振子的速度方向指向 x 轴的正方向C在 04 s 内振子作了 1.75 次全振动D在 04 s 内振子通过的路程为 0.35 cm，位移为 0解析：选 B 由题图可知 A 在 t 轴上方，位移 x0.25 cm，所以弹力 Fkx 5 N，即弹力大小为 5 N，方向指向 x 轴负方向，选项 A 不正确；由题图可知过 A 点作图线的切线，该切线与 x
21、轴的正方向的夹角小于 90，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向 x 轴的正方向，选项 B 正确。由图可看出，t0、t 4 s 时刻振子的位移都是最大，且都在 t 轴的上方，在 04 s 内完成两次全振动，选项 C 错误。由于 t0 时刻和 t4 s 时刻振子都在最大位移处，所以在 04 s 内振子的位移为零，又由于振幅为 0.5 cm，在 04 s内振子完成了 2 次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为 240.50 cm4 cm，故选项 D 错误。综上所述，该题的正确选项为 B。7如图 8 所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：图 8(1)振幅、周期各是多大
22、？(2)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。解析：(1)质点离开平衡位置的最大位移 x10 cm，所以振幅 A10 cm；质点完成一次全振动的时间为 4 s，所以周期 T4 s。(2)由图像可知振幅 A10 cm，周期 T4 s，第 12 页 共 12 页 rad/s，2T 2t0 时，x0，所以初相位 0，由此可知位移随时间的变化关系式为xAsin( t)10sin t cm。2T 2答案：(1)10 cm 4 s (2) x10sin t cm28有一弹簧振子在水平方向上的 B、C 之间做简谐运动，已知 B、C 间的距离为 20 cm，振子在 2 s 内完成了 10 次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时 计时( t0) ，经过周期振子有负向最大位移。14(1)求振子的振幅和周期；(2)画出该振子的位移时间图像；(3)写出振子的振动方程。解析：(1)弹簧振子在 B、C 之间做简谐运动，故振幅 A10 cm，振子在 2 s 内完成了10 次全振动，振子的周期 T 0.2 s。tn(2)振子从平衡位置 计时，故 t0 时刻，位移是 0，经 周期振14子的位移为负向最大，故如图所示。(3)由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为x10sin(10t) cm。答案：(1)10 cm 0.2 s(2)见解析(3)x10sin(10 t) cm
