1、波长、频率和波速【学习目标】1知道波长、频率的含义。2掌握波长、频率和波速的关系式，并能应用其解答有关问题。3知道波速由介质本身决定，频率由波源决定。【要点梳理】要点一、波长、频率和波速1波长、频率和波速（1）波长两个相邻的运动状态总是相同的质点间的距离，或者说在振动过程中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离叫做波长例如，在横波中两个相邻波峰（或波谷）之间的距离，在纵波中两个相邻密部（或疏部）之间的距离都等于波长波长用 表示（2）频率由实验观测可知：波源振动一个周期，其他被波源带动的质点也刚好完成一次全振动，且波在介质中往前传播一个波长由此可知，波动的频率就是波源振动的频率频率用
2、表示f（3）波速波速是指波在介质中传播的速度要点诠释：机械波的波速只与传播介质的性质有关不同频率的机械波在相同的介质中传播速度相等；同频率的横波和纵波在相同介质中传播速度不相同波在同一均匀介质中匀速向前传播，波速”是不变的；而质点的振动是变加速运动，振动速度随时间变化2波长、频率和波速之间的关系在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长，因而可以得到波长 、频率（或周期 ）和波速 三者的关系为： fTvvT根据 ，则有 。1ff3波长 、波速 、频率 的决定因素vf（1）周期或频率，只取决于波源，而与 无直接关系v（2）速度 取决于介质的物理性质，它与 无直接关系只要介质不变， 就
3、不变，而不取vTv决于 ；反之如果介质变， 也一定变T v（3）波长 则取决于 和 。只要 其中一个发生变化，其 值必然发生变化，从而保持T 或 的关系/vf总之，尽管波速与频率或周期可以由公式 或 进行计算，但不能认为波速与波长、/vTf周期或频率有关，也不能以为频率或周期会因波速、波长的不同而不同，因为它们都是确定的，分别取决于介质与波源要点二、波长、频率和波速的求解方法1根据两个时刻的波形图，判断可能出现的波动情况，从而求相应的物理量波速、波长或周期。分析方法：平移法、描点法此类题求解应首先依据两个时刻的波形图确定出这一段的传播距离 与波长 的关系，由此也就知s道时间差 与周期 的关系，
4、再去依题求解但一定要注意多解问题，即波在传播方向的双向性和tT时间、空间上的周期性（1）由于波传播的距离 与波长 的关系不确定，根据波动的周期性，必有一组系列解若s与 有一定的约束条件，则应从系列解中找出符合题意的有限解或唯一解s（2）由于波形变化的时间 与周期 的关系不确定，根据波动的周期性，必有一组系列解若tT与 有一定的约束条件，则应从系列解中找出符合条件的有限解或唯一解tT（3）由于波传播方向的不确定，则有两种可能对应上述（1）或（2） ，则必有两组系列解这里更要注意约束条件，以求出符合题意的相应的有限解2波动图像与振动图像相联系问题的求解此类题重点考查波动与振动的联系与区别解题时要注
5、意审题，区别波动图像与振动图像，以及由于振动和波的周期性而引起的多解性一般可以从图上获得 及波长 的信息T3应用波动图像和关系式确定波长（1）波动图像在波动图像上，振动相位总是相同的两个相邻质点问的距离在波动图像上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离在波动图像上，运动状态总是相同的两个相邻质点间的距离要点诠释：“总是” 和“ 相邻 ”两个关键词， “总是”是指每时每刻凡是平衡位置相隔波长整数倍，质点的位移、速度、加速度等物理量总是相同，振动同相凡是平衡位置相隔半个波长的奇数倍质点的位移、速度、加速度等物理量总是等大反向，振动反相（2）关系式：由 得 。vTv4对于给定的波形，质点振动方向与
6、波的传播方向密切相关，质点的振动方向有如下规律（1）质点的起振方向跟振源的起振方向一定相同（2）处于最大位移的质点一定将向平衡位置运动（3）处于最大位移两侧半波长范围内的质点振动方向一定相反（4）对于横波最大位移点两侧，哪侧 波长上的质点正向最大位移运动，波就向哪侧方向传l/4播【典型例题】类型一、波长的概念例 1关于波长的下列说法中正确的是（ ） A机械振动在一个周期内传播的距离就是一个波长B在波形图上位移相同的相邻两质点之间的距离等于一个波长C在波形图上速度最大且相同的相邻两质点间的距离等于一个波长D在波形图上振动情况总是相同的两点间的距离等于一个波长【思路点拨】波长，从以下几个方面加以理
7、解：（1）从波的传播上；（2）从各质点的相互联系上；（3）从波形图上【答案】A、C【解析】机械振动的质点在一个周期内向远处传播一个完整的波形，故 A 项正确；由波形图可见，在一个完整波形上，位移相同的相邻质点之间的距离不一定等于一个波长，故 B 项错误；速度最大且相同的质点，在波形图上是在平衡位置上，如果相邻，那么正好是一个完整波形的两个端点，所以 C 项正确；振动情况总是相同的两点间的距离是波长 A 的整数倍，故 D 项不正确【总结升华】波长是描述波的一个重要物理量，要从以下几个方面加以理解：（1）从波的传播上；（2）从各质点的相互联系上；（3）从波形图上举一反三:【变式】一列简谐横波沿 轴
8、正方向传播，频率为 ，某时刻的波形如图所示，介质中质元x5Hz在距原点 为 处，质元 在距原点 处，从图象对应时刻算起，质元 的状态与图示时AO8cmB16cmA刻质元 的运动状态相同所需的最短时间为（ ） BA B C D 0.8s.12s0.4s0.16s【答案】B例 2一列简谐波在两时刻的波形如图中实线和虚线所示，由图可确定这列波的（ ） A周期 B波速 C波长 D频率【答案】C【解析】本题通过波的图像考查周期、波速、波长、频率等基本概念由于题申图像是波动图像，横轴表示的是不同质点在平衡位置之间的间距，不能够得出周期，A 项错误；由图可知该波的波长，但无法求出时间，所以不知波速，B 项错
9、误，C 项正确：由于不知周期，所以无法求出频率， D 项错误 类型二、波长、波速和频率的关系例 3从甲地向乙地发出频率为 的声波，看当波速为 时，在甲、乙两地间有若干50 Hz30 m/s个完整波形的波，当波速为 时，甲、乙两地间完整波形的波数减少了一个，则甲、乙两地相34 m/s距多少米？【思路点拨】波传播的频率只由波源决定【答案】见解析【解析】由波长、频率、波速三者之间的关系及题意得两次波长分别为：，1340m5vf2f设波速为 时，甲、乙两地间有 个完整波形，据题意有：30 /sn12()n所以，12340所以甲、乙两地间距离为2m2.50sn【总结升华】解此题时要注意波速虽有变化，但是
10、频率不变，因为波传播的频率只由波源决定公式 只反映了各物理量的数值关系vfT举一反三:【变式】一列横波在 轴线上传播，在 和 时，波形曲线分别如图中实线和虚线x10t2.5st所示：（1）由图中读出波的振幅和波长（2）设周期大于 ，波向右传播，波速多大？ 若波向左传播，波速多大？21t（3）设周期小于 ，且波速为 ，求波的传播方向。60m/s【答案】见解析【解析】 （1）振幅为 ，波长为0.2c8（2）因为周期大于 ，波只向右传播了四分之一波长，波速21t440m/s0.5.svTt（3）若周期小于 ，则在这段时间内2136.4svt 例 4一简谐横波以 的波速沿 轴正方向传播已知 时的波形如
11、图所示，则（ 4 m/sx0t） A波的周期为 1 sB 处的质点在 时向 轴负方向运动0x0tyC 处的质点在 时速度为s4D 处的质点在 时速度值最大x1t【答案】A、B【解析】本题通过波动图像，考查周期、波速、波长、质点的振动方向由波动图像可知波长为 ，波速为 ，所以周期为 ，A 项正确；波的传播方向4 m /s1sTv向右，可知 处的质点在 时向 轴负方向运动，B 项正确；由图像可知经过 s，即0x0ty 14t， 处的质点不可能在平衡位置或波谷位置， C、D 两项错误 4Tt【变式】一简谐波某时刻的波形如图所示，已知波的传播速度为 ,经过时间 后，波形变为1m/st图中虚线所示，则
12、的可能值为（ ） tA B C D1s2s3s4s【答案】AC类型三、根据质点振动求描述波的物理量例 5如图所示，一列波长大于 的横波沿着 轴正方向传播，处在 和3 mx1.5 mx的两质点 ，当 点的位移为正的最大值时， 点位移恰为零，且向上运动，从此24. mxAB A时开始计时，经 后 点的位移处于正的最大值，由此可知（ ） 1.0 sA 末 点的振动速度大于 点的振动速度2sBB 末 两质点的位移相同1 C波长为 mD波速一定为 /s【思路点拨】根据题意列出时间或距离的关系式子。【答案】A【解析】 ，故 ， ，C 项错误；由 得3 213m4x4 1s4Tn，由 知 D 项错误； 末
13、在正向最大位移处， 在平衡位置，位移不相等，B 项41TnvT sA错误；2 s 末 在平衡位置， 在最低点，A 项正确B【总结升华】在波的传播中，振动状态总是相同的两点，是同相点，这两点间的距离座为波长的整数倍，即时间为周期的整数倍 ；振动状态总是相反的两点，是反相点，123tkT这两点的距离应为半波长的奇数倍，即 ；根据题意k012t（ ， ， ， ）等，总之根据题意列出时间或距离的关系式子是解题的基础14tnT举一反三:【变式】 两点间相距 ，两点间有两个波谷，某时刻， 均在平衡位置，求波长的可ab3mab能值。 若再经过 ， 质点第一次到达波峰位置，并已知波沿 轴正方向传播。求：波传播
14、的速度1st x大小。【答案】见解析【解析】根据题意，波长的可能值有如下图四种情况：波传播的速度大小，对于（1）图：；3s4tT；1.5m.2/ss3vT（2） （3） （4）图同理，略。类型四、已知质点振动图像和波动图像求波的传播方向例 6如图所示，图（ ）为某一列波在 时的图像，图（ ）为参与该波的质点 的振a1.0 stbP动图像（1）求该列波的波速；（2）求再经过 时 质点的路程；3.5 sP（3）波的传播方向【答案】见解析【解析】 （1）根据两图像得 ， ，所以 4 m1.0 sT4m /svT（2） 内的路程为 3.5 s3.582. sA（3）由（ ）图知 质点在 时沿 轴负方向
15、振动，故（ ）图中波向左传播bP10 ya举一反三:【变式】如图为一列横波某时刻的波形图，已知波源的振动频率为 ，此时刻 点向下运动，2Hza两点相距 ，则（ ） bc10cmA波向右传播B波长是 20cmC波速是 .4/sD 点此时具有最小的加速度【答案】ABC类型五、已知质点坐标求波长例 7如图所示， 是一列简谐横波中的两点某时刻， 正处于正向最大位移处，另一点AB A恰好通过平衡位置向 方向振动已知 的横坐标分别为 ，并且波长By-AB 07 mBx符合不等式： ，求波长 20 m8 【思路点拨】已知波上的两个特殊质点，求解波长；如果题目已知条件无任何限制，求出的波长应为两组解；如果题目
16、已知条件中对波长加了限制，则从两组解中分别求出有限个解；如果题目中已知条件加了波的传播方向的限制，则只有一组通解【答案】见解析【解析】该题考查波传播的双向性和空间的周期性，若无限制，则 之间平衡位置的距离AB，其中 是小于 的距离由某时刻 的位置及振动方向可以判断， 应为70 mnx x或 43（1）若 ，则可写出通式 ，得 ，所以波长通式为4x 14BAxn4170n，其中 ，将 依次代入通式解得704n123023，由已知 的限制条件得波长应为728m56m9， ， ， ， 80 m 或 或 ，且该波向 方向传播。13 x-（2）若 ，则可写出通式 ，得 ，所以波长的通式34x34BAxn
17、4370n，其中 ，将 依次代入通式解得70n12012，由已知 的限制条件，得波长应为 或1593m ， ， ， m8 52m1，且波向 方向传播4 x【总结升华】本题的解法是已知波上的两个特殊质点，求解波长的一般方法：（1）如果题目已知条件无任何限制，求出的波长应为两组解（2）如果题目已知条件中对波长加了限制（本题加了 的限制） 。则从两组解20 8 中分别求出有限个解题目有时加“波在 间的传播时间 。则两组波长 的通式中AB 4T 的 只能取 或 ，每组中各确定出两解n3（3）如果题目中已知条件加了波的传播方向的限制，例如波沿 方向传播，则本题只有一组x通解如果在限制传播方向的基础上，如
18、本题又加了 的限制，4BAx 20 m8 则只能从这一组解中取出 和 这两个解52m140 举一反三:【变式】介质中波的传播方向上有两个质点 和 ，它们的平衡位置相距 ，且大于一个波PQ1.2m长。介质中的波速为 ， 和 的振动图线如图所示，求振动的周期的可能值。2/sP【答案】见解析【解析】题目没有给出波的传播方向，需要分两种情况进行讨论(1)若波向右传播，由题中给出的振动方向可知， 之间的最简波形如图所示，由于波传播方向PQ上空间的周期性，则 间距满足：PQ14.8 1nn ， ,23由 2.4 1,3vTn(2) 若波向左传播，由题中给出的振动方向可知， 之间的最简波形如图所示，由于波传
19、播方PQ向上空间的周期性，则 间距满足：PQ34.83nn ， 1,2由 .4 ,3vTn类型六、根据质点振动求波的物理量例 8在 点有一波源， 时刻开始向上振动，形成向右传播的一列横波 时，距离O0t 14 st点为 的 点第一次达到波峰； 时，距离 点为 的 点第一次达到波谷则以下3 mA27 stO4 mB说法正确的是（ ） A该横波的波长为 B该横波的周期为 4sC该横波的波速为 1/D距离 点为 的质点第一次开始向上振动的时刻为 末O5 6 s【答案】B、C【解析】设波速为 ，周期为 ，由题意得：vT，134sTt27v由以上两式得：，1 m/s，4TB、C 两项正确，该波波长为 v
20、A 项错误，波传播 所用时间为5，st所以 时，距离 点为 的质点开始振动且振动方向向上， D 项错误 O m举一反三:【变式】在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的 个质点，相邻两质点的距离均为 ，如图9L（ ）所示一列横波沿该直线向右传播， 时到达质点 ，质点 开始向下运动，经过时间 第a 0t1t一次出现如图（ ）所示的波形则该波的（ ） bA周期为 ，波长为t8LB周期为 ，波长为23C周期为 ，波速为t12tD周期为 ，波速为8L【答案】BC例 9一列简谐横波沿直线由 向 传播， 相距 ，图示是 处质点的振动图AB0.45 mA像当 处质点运动到波峰位置时， 处质点刚好到达平衡位置且
21、向 轴正方向运动，这列波的波A y速可能是（ ） A B C D4.5m/s3.0/s1.5m/s0.7 /s【答案】A【解析】本题考查波动与振动的联系及波长、波速和周期三者之间的关系由质点的振动图像知周期 ，又 相距 ，且 处质点处于波峰时， 处质点刚好在平衡位置，则有0.4 sT0.45 AB，1.mn12n即，.841n则波速为，.5vT02当 时，有 ；0. m/s当 时； ；1n9当 时， ，2n0.5 m/sv故 A 项正确 举一反三:【变式】 两列波在某时刻的波形如图所示，经过 时间（ 为波 的周期） ，两波再B AtTA次出现如图波形，则两波的波速之比 可能是（ ） ABvA B C D131221【答案】ABC
