1、第六章 平面电磁波的反射与折射,电磁波在传播过程中遇到两种不同介质交界面时，在交界面上，将有一部分电磁波被反射回来，形成反射波；另一部分折入第二种介质中继续传播，形成折射波。在介质1和介质2中，入射波、反射波和折射波分别满足麦克斯韦方程组，在交界面两侧，场量则满足边界条件。电磁场的边界条件是讨论电磁波在界面上反射、折射规律的出发点。电磁场的边界条件为,6.1 电磁波的反射、折射规律,时谐情形下，上式中各场量采用复数形式，并且，关于D 和 B 法向分量的边界条件可以由 E 和 H 的切向分量边界条件以及界面处的电流连续性方程导出。所以，在分析时谐场时，只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
2、,设介质 1 和介质 2 的交界面为无穷大平面，界面法向沿 z 方向，平面电磁波以入射角I 由介质 1 射向介质 2，如图所示。,入射波、反射波、折射波的波矢量分别为,（6-1-1）,其中,（6-1-2）,介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。,下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。,入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为,由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式(6-1-2)，有,上标 t 表示切向分量。
3、上式对交界面上的任意 x、y 都成立，故要求三个指数因子在交界面上相等，即,可见，边界条件要求所有波矢量的切向分量都连续。这一结果称为相位匹配条件。若取入射波的波矢量位于 xz 平面内，即令 kIy= 0，由式(6-1-4)第二式，可得,（6-1-4）,6.1.1 反射、折射定律,(6-1-3),所以，反射线、折射线与入射线在同一平面内。,6.1.2 反射系数、折射系数,上两式就是我们熟知的反射定律和折射定律表达式。,电磁波是横波，电场矢量一定在垂直于波矢的平面内。如果电场矢量与入射面垂直，就称为垂直极化波；若电场矢量与入射面平行，则称为平行极化波。任意极化的入射波可以分解为垂直极化和平行极化
4、两个分量。只要了解了垂直极化波和平行极化波的反射、折射行为，任意极化的入射波的反射、折射行为即可得以确定。,将 代入式(6-1-4)第一式，可得,(6-1-5),(6-1-6),设界面为 z = 0 平面，入射面为 y = 0 平面。对于垂直极化波，其电场仅有 y 分量；而平行极化波，其磁场仅有 y 分量。在介质 1 和介质 2 中，入射波、反射波和折射波分别满足麦克斯韦方程组。由式(5-2-20)和(5-2-21)，可以写出,垂直极化波完全由式(6-1-7)确定，而平行极化波则由式(6-1-8)确定。这两组方程之间没有耦合，因此，垂直极化波不会引起电场平行分量；平行极化波也不会产生电场的垂直
5、分量。故在垂直(平行)极化波入射情形下，反射波和折射波也为垂直(平行)极化波。,(6-1-7),(6-1-8),另外，方程组(6-1-7)和(6-1-8)相互对偶，通过对偶变换， 就可由一组方程得到另一组方程。,垂直极化波入射情形下，入射波、反射波和折射波的电场矢量都垂直于入射面，它们磁场矢量则在入射面内，如图所示。,1垂直极化波的反射与折射,为方便起见，令I = R = 1 ， T = 2 。设入射波的电场矢量表示为,（6-1-9）,则,（6-1-10）,反射波、折射波的电场量分别为,相应的磁场矢量分别为,根据交界面 z = 0 处 E 的切向分量连续的边界条件，由上述入射波、反射波、折射波
6、的电场矢量表达式，并利用相位匹配条件式(6-1-4) ，有,（6-1-11）,（6-1-12）,（6-1-13）,（6-1-14）,（6-1-15）,联立式(6-1-15)、(6-1-16)，可得反射系数 R 和折射系数 T：,（6-1-16）,若不考虑理想导体的情况，则无论介质 1 和 2 为理想介质还是导电介质(有耗介质)，其交界面上都没有面传导电流，因此交界面处 H 的切向分量也连续，故有,（6-1-17）,（6-1-18）,且 满足关系：,（6-1-19）,2平行极化波的反射与折射,平行极化波入射时，入射波、反射波和折射波的电场矢量在入射面内，而磁场矢量垂直于入射面。其入射波的磁场矢量
7、可表示为,利用平行极化波与垂直极化波的对偶性，由后者的反射系数和折射系数公式可直接写出前者的相应公式。对偶对式(6-1-17)和(6-1-18)作对偶替换 EH、 (亦即 1/)，可得,(6-1-21),(6-1-22),再由平面电磁波的电场强度振幅与磁场强度振幅之间的关系E =H，可得，平行极化波的反射系数和折射系数为,且,(6-1-23),(6-1-24),(6-1-25),公式(6-1-17)、(6-1-18)、(6-1-23)和(6-1-24)统称为菲涅尔公式，它们既适用于理想介质也适用于导电介质（有耗介质）。 对于理想介质，式中的波阻抗 为实数；对于导电介质，其等效介电常数 c= -
8、j /，因而波阻抗 为复数。,若介质 2 为理想导体，由于理想导体表面上存在面传导电流，因而的切向分量不连续。故对于电磁波入射至理想导体表面的情形，上述推导不成立。但由于理想导体的电导率 ，电磁波不能进入理想导体，理想导体内的电磁场为零即 ET = 0， HT = 0。应用理想导体表面处电场切向分量连续的边界条件，可求得理想导体表面反射系数和折射系数为,若将理想导体的波阻抗 代入菲涅尔公式，也可以得到上述的反射系数和折射系数表达式。故可将理想导体 表面的反射系数和折射系数表达式看作是菲涅尔公式在 0 时的特例。,【例6.1.1】 一垂直极化平面电磁波 自空气斜入射至理想介质(r = 4,r =
9、1 )表面( z = 0)，入射角 。 (1)写出反射电磁波表达式； (2)求通过单位面积进入理想介质的平均功率； (3)若入射波电场为 ，则反射波和折射波表达式如何？,解：空气和理想介质的波阻抗分别为,则,根据折射定律，有,(1)由菲涅尔公式可求得垂直极化波的反射系数和折射系数：,所以，反射波表达式为,(2)折射波,折射波平均坡印廷矢量为,所以，通过单位面积进入理想介质的平均功率为,(3)由入射波的电场表达式可知，该入射波为平行极化波，其磁场表达式为,反射波、折射波分别为,平行极化波的反射系数和折射系数：,6.2 平面电磁波对平界面的垂直入射,当电磁波垂直入射至两种介质交界面时，入射线与界面
10、法线重合，故入射面不确定，应用垂直极化或平行极化的菲涅尔公式所得的结果都相同。若应用垂直极化的菲涅尔公式，将 1=2 =0 代入式(6-1-17)、 (6-1-18)，可得垂直入射时，反射系数和折射系数,(6-2-1),6.2.1 向理想导体的垂直入射,设介质 1 是理想介质，介质 2 是理想导体，入射波的电磁场量为,(6-2-2),(6-2-3),将理想导体的波阻抗 0 代入式(6-2-1)，可得反射系数和折射系数为,于是，介质1中的合成电磁波为,即当电磁波自理想介质垂直射向理想导体时，在理想导体表面发生全反射。反射波为,(6-2-4),(6-2-6),(6-2-5),(6-2-7),(6-
11、2-8),相应的瞬时表达式为,(6-2-9),(6-2-10),电场波节（磁场波腹）的位置为,可见，介质 1 中合成波的电场和磁场皆是驻波，它们随时间作简谐变化，而振幅则在空间中周期性分布。电场和磁场驻波在空间、时间上都有 /2 的相差，即电场的波腹(波节)对应于磁场的波节(波腹)；当电场振幅达到最大(为零)时，磁场振幅为零(达到最大)。由式(6-2-9)和(6-2-10)，可得电场波腹(磁场波节)的位置：,介质1中的合成电场和磁场驻波,合成驻波的坡印廷矢量为,其时间平均值为,(6-2-11),(6-2-12),式(6-2-11)(6-2-14)表明，合成电磁驻波的能量密度以及功率流密度都随空
12、间位置和时间周期变化，且平均功率流密度为零。亦即，电磁能量时而集中于电场波节，时而集中于磁场波节，并不发生电磁场能量的单向传输。,合成驻波的能量密度为,(6-2-13),(6-2-14),合成驻波的电场、磁场能量密度分布,设介质 1 和 2 都是理想非磁性介质，入射波的电磁场量仍如式(6-2-2)所示。对于非磁性介质有 ，由式(6-2-1)可得，当电磁波垂直地由介质 1 射向介质 2 时，反射系数和折射系数分别为,6.2.2 向理想非磁性介质的垂直入射,(6-2-16),(6-2-17),所以，反射波为,(6-2-18),介质1中的总电磁场：,(6-2-19),(6-2-20),式(6-2-1
13、9)、(6-2-20)表明，合成波既有行波成份又有驻波成分，称为行驻波。合成行驻波电磁场的振幅为,(6-2-21),(6-2-22),可见，合成电场、磁场的振幅空间周期分布，在某些固定位置，振幅始终最大，而另一些固定位置，振幅始终最小。振幅最大处称为行驻波的波腹，振幅最小处称为行驻波的波节。电场的波腹对应于磁场的波节；而电场的波节则对应于磁场的波腹。当 2 1( 1 2 )时，由式(6-2-21)、(6-2-22)可得，电场的波腹（磁场的波节）位置为,且,电场的波节(磁场的波腹)位置为,且,当 2 1( 1 2 )时，电场、磁场的波腹、波节的位置与上述情况相反。为反映行驻波状态的驻波成分大小，
14、定义电场(磁场)振幅最大值与最小值之比为驻波比，用 表示：,，所以 。当 时， = 1，为行波状态；当时 ， ，为驻波状态。,（6-2-23）,介质 2 中的电磁波仅有折射波，其电磁场量分别为,为沿 z 方向传播的行波。,（6-2-24）,反射波的平均坡印廷矢量为,再来讨论电磁能量关系。 入射波的平均坡印廷矢量为,折射波的平均坡印廷矢量为,（6-2-27）,（6-2-26）,（6-2-25）,显然有,（6-2-28）,【例6.2.1】 频率为 f = 300 MHz 的线极化平面电磁波，其电场强度振幅值为 2 V/m，从空气垂直入射到 r= 4、r= 1 的理想介质平面上。求(1) 反射系数、
15、折射系数、驻波比； (2) 反射波和折射波； (3) 入射功率、反射功率和折射功率。,解：设入射波为,由题意，介质的波阻抗为,波数为,(1) 反射系数、折射系数和驻波比分别为,(2) 反射波和折射波分别为,(3) 入射功率、反射功率和折射功率,【例6.2.2】 一均匀平面电磁波自空气垂直入射到无限大的理想介质平面上。已知在空气中，合成波的驻波比为 3，介质中传输波的波长是空气中波长的 1/6，且分界面为驻波电场的波节。求介质的相对磁导率 r 和相对介电常数 r。,解：由式(6-2-23)可得,由反射系数表达式 ，以及,因为界面上是电场的波节点，即在界面处反射波与入射波反相，所以,联立上两式，解
16、得,可得,介质中的波长,6.3 平面电磁波对平界面的斜入射,6.3.1 向理想导体的斜入射,以垂直极化波入射为例，讨论介质1中合成波的特性。,设介质 1 是理想介质，介质 2 是理想导体，平面电磁波从自介质 1 斜射向理想导体表面。将理想导体的波阻抗 代入菲涅尔公式，可得，无论入射角取值如何，都有,(1) 合成波沿 x 方向传播，E1 垂直于传播方向，但 H1有 x 分量，不再与传播方向垂直，这种波型称为 TE 波，其相速为,大于介质1中均匀平面波的相速，故称为快波。,(2) 合成波的振幅与有关，是非均匀平面波。电场的波节点为,这也是磁场分量的波节点、磁场分量的波腹点。,(3) 合成波的平均坡
17、印廷矢量为,(4) 理想导体表面电流分布为,6.3.2 向理想非磁性介质的斜入射,若两种介质均为理想非磁性介质，由菲涅尔公式并利用折射定律，反射系数和折射系数可写为,(6-3-1),(6-3-2),(6-3-3),(6-3-4),根据折射定律，当电磁波由光疏介质入射至光密介质时，有12。由式(6-3-1)，此情形下，垂直极化反射系数为负值，这表明反射波与入射波有 的相差，即反射波有半波损失。当入射角和介质特性满足某种关系时，可以产生全折射以及全反射。 1.全折射 若反射系数 R=0，入射电磁波将全部折入介质 2，即发生全折射。发生全折射时的入射角称为布儒斯特角，用B 表示。 1) 平行极化波
18、由式(6-3-3)，令 R/ = 0，可得,(6-3-5),因此，对于平行极化波，当入射角满足式(6-3-5)时将发生全折射。,2）垂直极化波由式(6-3-1)可知，仅当 1= 2 时才有 R = 0，这表明，垂直极化波入射到两种不同的介质交界面上时不可能发生全折射。,所以，当任意极化形式的电磁波以布儒斯特角入射时，反射波为极化方向垂直于入射面的线极化波，且反射线与折射线相互垂直。2.全反射当反射系数的模R=1时，垂直于分界面的平均功率全部被反射回介质 1，这种现象称为全反射。,(6-3-6),由式(6-3-3)还可得，发生全折射时，有 tan(B+2) ，即折射角与入射角满足,若两种理想介质
19、的介电常数满足 1 2 ，由式(6-3-1)、(6-3-3) 可知，只要入射角满足,则无论是垂直极化波还是平行极化波，均有 R= R/ = 1。当入射角继续增大时，反射系数成为复数，但它的模保持为 1 不变，这时仍将发生全反射。由上式确定的角度称为临界角，用 c 表示，即,(6-3-7),因此，当电磁波从光密介质入射到光疏介质且入射角等于或大于临界角时，将发生全反射。,由式(6-3-1) (6-3-4)可知，发生全反射时，R=R/=1 ；但是，T 0， T/ 0，故介质 2 中仍有折射波。这不同于电磁波在理想导体表面的全发射。当入射角 1=c 时，由折射定律，有,可知，折射角2 = /2。当入
20、射角 1c 时，有,此情形下，不存在实数的解，而且有,(6-3-8),介质 2 中的折射波,式中， ；考虑到折射波振幅不可能随着传播而增大，故取 cos2 =-j。,(6-3-9),(1)发生全反射时,折射波是沿 x 方向的行波，其振幅沿 z 方向指数衰减。当1=c 时， = 0；当 1c 时， 0。入射角越大，折射波沿 z 方向衰减越快。因此，这种波只能存在于分界面附近的薄层内，称为表面波。对于垂直极化波入射，表面波的电磁场分量 Ex= 0，Hx 0，为 TE 波；对于平行极化波入射，表面波的电磁场分量 Hx= 0，Ex 0，为 TM 波。,(2)表面波的相速为,因为 sin 1 1，所以
21、v1 vp v2 ，即该表面波沿方向的相速小于介质 2 中均匀平面波的相速，故称为慢波。,(3)表面波的坡印廷矢量为,平均坡印廷矢量为,(6-3-10),可见，介质 2 中，电磁波功率平行于表面沿 x 方向即沿行波的传播方向传输，没有电磁波能量流入介质 2 内部。入射功率中垂直于界面的分量全部被反射回介质 1 中。,【例6.3.2】 在满足全反射条件下，介质棒可用来传输电磁能量。若波以任意角度入射到棒的一端面时，透入介质中的能量都能到达棒的另一端面，求介质棒介电常数的最小值。,解：如图所示，设电磁波在棒的端面处的入射角为 0 I /2 ，介质棒的电磁参数为 r =1 和 r。当电磁波从端面进入
22、棒中后，只要它射向棒侧面的角度 c ，就能在介质棒中发生全发射而到达棒的另一端。,即要求,由折射定律以及角度 与I 的关系，有,联立上两式，整理可得,令 I = /2 ，可得,【例6.3.3】 一极化方向与入射面成 角的线极化电磁波以布儒斯特角从空气入射到介电常数为 r 的理想介质中。试写出反射波和折射波电场表达式，并确定折射波的极化方向。 解：设理想介质平面为xy平面，入射面为xz平面。将入射波分解为垂直极化和平行极化分量，即,由式(6-3-5)，有,其中，垂直极化、平行极化分量的振幅分别为,则,由式(6-3-6)，有,将上式和 1=B 有代入菲涅尔公式，可得,于是,所以，反射波和折射波电场表达式分别为,由折射波的电场表达式可知，折射波是线极化波，其极化方向与入射面的夹角为,
