1、第 7 章 平面电磁波,7.1 波动方程 7.2 理想介质中的均匀平面波 7.3 平面波的极化 7.4 导电媒质中的均匀平面波 7.5 平面边界上均匀平面波的垂直入射 7.6 平面边界上均匀平面波的斜入射 7.7 相速与群速,均匀平面波的概念,波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面,平面波：等相位面为无限大平面的电磁波,均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波,均匀平面波是电磁波的一种理想情况，其分析方法简单，但又表征了电磁波的重要特性。,7.1 波动方程,7.1.1 无源区的波动方程:,(2)两边取旋度得:,无源区( )时谐电磁场方程为:,把(1)式代入(5)式
2、得:,利用矢量恒等式:,-齐次亥姆霍兹方程,令 则(8)式变为:,同理可得磁场的波动方程为:,和Maxwell方程(3)得:,电场 和磁场 可有3个分量，但每个分量仅是三维坐标变量的函数。,7.2 无耗介质中的均匀平面波,7.2.1 波动方程的平面波解及其特性,传播常数，,波长。,相应的瞬时表达式为:,(11)式的解为:,为求解方便,假设电场仅有x分量,且电场在x,y方向是均匀的,于是:,-平面波解,1. 解的物理意义:, t=0时 z=0, 不同时刻最大值的位置:, t=T时, t=2T时,所以解的物理意义是:它表示沿正z轴方向传输的平面电磁波, 传播的相速为:,波动方程解的物理意义,2.平
3、面波的性质:, TM波:, TE波:, TEM波:,3.一般波动方程的平面波解及性质:, 波阻抗:,解：电场强度的复数表示式为:,自由空间的本征阻抗为:,故得到该平面波的磁场强度:,于是，平均坡印廷矢量,垂直穿过半径R = 2.5m 的圆平面的平均功率,例7.1 自由空间中平面波的电场强度,求在z = z0 处垂直穿过半径R = 2.5m 的圆平面的平均功率。,例 7.2 巳知自由空间中,试求：a. 及传播方向；b. E 的表达式；c.S 的表达式；d.若在 平面上放置一半径为R的圆环，流过圆环的功率P为多少?,解：,a. 波沿+Z轴方向传播:,(rad/m)，,(HZ ),(m/s),b.,
4、V/m,c.,d.,图6.2.3 计算波阻抗及功率,7.3 平面波的极化,7.3.1 均匀平面波的极化,沿z轴方向传播的均匀平面波可以有Ex(z,t)和Ey(z,t)分量，其瞬时值可表示为：,极化的定义:空间任意一固定点上电场矢量E随时间的变化,可以用E的矢端轨迹来描述。 如果E的矢端轨迹为直线，称为线极化波。 如果E的矢端轨迹为圆，称为圆极化波。 如果E的矢端轨迹为椭圆，称为椭圆极化波。,沿Z方向传播的平面波的一般表达式：,图6.4.1 直线极化的平面波,7.3.1 直线极化,合成后,当两电场分量的相位相同或相差180度时，合成电场的极化方式是直线极化。,可见，E的大小是随时间变化的，但不随
5、时间变化，即E矢量方向不随时间变化。因此，E矢量的末端点随时间的变化时运动的轨迹是在与x轴夹角为的直线上。 当0度时，E仅有Ex分量，则称E为x轴的线性极化波，同样，当90度时,E仅有Ey分量,此时E为y轴方向的线性极化波。,X,Y,7.3.2 圆极化,特点： 和 振幅相同，相位差90。,合成后,图6.4.2 圆极化的平面波,右旋极化波(+)：在空间某一点上，E的末端点随时间的增加而旋转的方向与EM传播的方向符合右手定则。 左手极化波(-)：在空间某一点上，E的末端点随时间的增加而旋转的方向与E传播的方向符合左手定则。,X,Y,7.3.3 椭圆极化,特点： 和 的振幅不同，相位不同。,合成后,
6、可以证明，椭圆的长轴与y轴的夹角为,椭圆极化与圆极化类同，分右旋极化和左旋极化。, 当 时，,椭圆极化 圆极化。,图6.4.3 椭圆极化的平面波, 两个直线极化波可以合成为其它的极化方式，反之，任一个椭圆或圆极化波也可分为两个直线极化波。一个直线极化波，可以分解为两个振幅相等但旋转方向相反的圆极化波。,极化波的工程应用,在雷达目标探测的技术中，利用目标对电磁波散射过程中改变极化的特性实现目标的识别,无线电技术中，利用天线发射和接收电磁波的极化特性，实现最佳无线电信号的发射和接收。,在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性设计光学偏振片等等,7.4 有耗媒质中的均匀平面波,7.4.1有耗介质
7、中的MAXWELL方程：,令：,则：,相应的波动方程为:,其中传播常数:,-衰减常数，单位为奈培每米(Nb/m),-相位常数，单位为弧度每米(rad/m),相应的均匀平面波解为:,其中:,非导电媒质中的电场与磁场,导电媒质中的电场与磁场,电磁波的相速度为：电磁波的波长为：,媒质的本征波阻抗：,7.4.2有耗介质中的平面电磁波性质：,有损耗媒质中的相速度不再是常数，而是频率的函数。当携带信号的电磁波在导电媒质中传播时，各个频率分量的电磁波以不同相速传播，经过一段距离后，它们相互之间的相位关系发生改变，从而导致信号失真，这种现象叫色散。,当，传导电流比位移电流大得多，介质可以认为是良导体。,上式表
8、明，电场与磁场相位差45度，振幅在传播方向指数衰减。介质的电导率、磁导率越大，电磁波的频率越高，则衰减越快。,7.4.3良导体中的平面电磁波性质：,1.相移常数和衰减常数：,2.波阻抗：,同一种媒质，对不同频率的电磁波，将呈现不同的导电性.,3.趋肤效应与穿透深度：良导体的电导率都在107数量级，随着频率的升高，将很大，一般高频电磁波进入良导体后，在微米数量级距离内就基本衰减完毕。因此良导体中的电磁波只能存在于表面很薄的一层中，这种现象叫趋肤效应。工程上用常用穿透深度来描述这种趋肤程度。 定义为电磁波场强的振幅值衰减到表面值的1/e时所经过的距离。,铜在几种频率下的透入深度,一些金属材料的趋肤
9、深度和表面电阻,例子1: 在进行电磁测量时，为了防止室内的电子设备受外界电磁场的干扰，可采用金属铜板构造屏蔽室，通常取铜板厚度大于5就能满足要求。若要求屏蔽的电磁干扰频率范围从10KHz到100MHZ ，试计算至少需要多厚的铜板才能达到要求。铜的参数为=0、=0、 = 5.8107 S/m。,解：对于频率范围的低端 fL =10kHz ，有,对于频率范围的高端 fH =100MHz ，有,由此可见，在要求的频率范围内均可将铜视为良导体，故,为了满足给定的频率范围内的屏蔽要求，故铜板的厚度 d 至少应为,例子:计算高频情况下良导体的表面电阻Rs,分析:由于在交流场中,电压的概念不再适用,所以求导
10、体的电阻不能再用 电压/电流的方法进行求解,必须从能量的观点从发进行求解，即：,作 业,2、课本第210页:7-1,7-3, 7-5。,3、课本第211页:7-8,7-11。,1.已知真空中的均匀平面波电场的瞬时值为:,求(1):工作频率f, 相速v, 传播常数k及波长。,（2）电场强度的复数表达式，磁场强度的复数与瞬时表达式。,（3）能流密度矢量的瞬时值及平均值。,7.5 平面边界上均匀平面波的垂直入射,当电磁波在传播过程中遇到不同媒质的分界面时，因为不同媒质有不同的波阻抗，因此电磁波在不同媒质电场与相应的磁场的复振幅比值不同，电磁波即要满足边界面两侧的媒质中的传播规律，又要满足分界面上边界
11、条件，一般除了在第二种媒质中有折射波外，在第一种媒质中还会有由界面反射回来的反射波。 以符号E、E、E”分别表示入射波、反射波和折射波。 假设z=0为两种理想介质的分界面，x轴取向的线性极化波沿正z轴方向传播，并由媒质1垂直入射到分界面上。,媒质1中的合成电场和磁场为:,7.5.1 均匀平面波的垂直入射,媒质2中的电场和磁场为:,在z=0的界面上,电场和磁场均为该平面的切向分量,且理想介质分界面上不存在面电流,根据边界条件,电场和磁场在此面上应连续,即,反射系数,折射系数,1、当媒质1和媒质2的电参数近似相等时,R=0,T=1。此时的情况与无界情况相类似。 2、当媒质1为理想介质，媒质2为理想
12、导体时，R=-1，T=0。此时的场为：,费涅尔公式,场的空间分布特点：,1. 振幅随 z 作正弦变化,相位与 z 无关, 无波动性,称为驻波。,图6.6.2 波腹与波节,2.,称为波节。,3.,称为波腹。,E 最大,4. 磁场的波腹点是电场的波节点,磁场的波节点是电场的波腹点. 5. 每隔1/4,电场和磁场的波节点交替出现,在这些平面上,能流密度为零,因此没有电磁功率通过这些平面,即纯驻波不能传输能量,仅在电磁场相邻的两个波节之间1/4范围内电场能量与磁场能量的交替变换,形成电磁振荡.,7.5.2 均匀平面波对多层介质分界面垂直入射,1.等效波阻抗(或输入波阻抗)的概念:在平行分界面的任意平面
13、上,合成电场强度与合成磁场强度的复数之比值,即,考虑:当电磁波从理想介质1垂直入射到在理想介质2中,等效波阻抗的大小:,即在媒质2中,任意点z的输入波阻抗等于媒质的本征波阻抗., 在媒质1中有:, 在媒质2中有:,Z=0,x,Z(z),11,22,等效波阻抗的物理意义: 由z点向+z方向看进去,可将实际上不均匀的媒质1和媒质2看成是具有等效本征波阻抗e=Z(z)的均匀媒质. 若分界面的z坐标为d,则上式为:,即等效波阻抗为:,(Z-Z=d),如图所示的三层理想介质,在z=0和z=d界面上,波会发生多重反射和折射.将所有的反射波和折射击波等效为向+z方向传播和行波和向-z方向传播的行波.,已知
14、, 利用边界条件可求反射波和折射波。如果我们只关心反射波，利用前边的等效波阻抗更为方便。具体方法如下:,2.三层理想介质表面的反射特性:,根据等效阻抗概念可以求得z=0时,右侧的等效输入波阻抗为:,则z0的2、3媒质可等效为本征波阻抗等于Z2（z=0）的均匀媒质，故z=0面上的反射系数R（z=0）可由费涅尔公式求出：,例子:求图示三层介中 中,要使介质1中无反射 波,求三种介质的波阻 抗与介质的厚度之间所 满足的关系是什么?,例子：有一个复振幅矢量为,的均匀平面波，由空气垂直入射到的电介质平面上。 设电介质的电参数为,，电磁波的工作,频率为，求：,（）空气中反射波电场和磁场的瞬时表达式。 （）
15、如果想使空气中的反射系数为零，可在该介质前面再加上四分之一波长的另一种介质，问所加电介质的波阻抗（也称本征阻抗）应是多少？,7.6 平面边界上均匀平面波的斜入射,x,7.6.1 反射、折射基本定理（波数间的关系）：,因为上式在平面任意一点都成立, 所以有:,在z=0平面,上有:,反射波矢量、折射波矢量和入射波矢量共面。,入射角等于反射角:,折射定律：,上式表示:入射角的正弦与折射角正弦之比等于媒质的相对折射率。,7.6.2 菲涅耳公式（场振幅之间的关系）：,为了简化问题，将入射电场分解为垂直于入射面极化的分量和平行于入射面极化的分量来讨论。,x,垂直极化波E与入射面垂直；,（入射面 与法向矢量
16、所构成的平面）,平行极化波E与入射面平行；,图6.5.1 平面波的斜入射,图6.5.2 垂直极化波的斜入射,图6.5.3 平行极化波的斜入射,一、垂直极化波的斜入射：,设入射面为y=0平面，即入射波矢量k、反射波矢量和折射波矢量均没有ay方向分量，并设所有电场矢量都沿y轴正方向极化，相应磁场方向按波传播规律确定。在z=0界面上，有：,图6.5.2 垂直极化波的斜入射,由反射定律可知：,费涅尔公式,二、平行极化波的斜入射：,设入射面为y=0平面，即入射波矢量k、反射波矢量和折射波矢量均没有ay方向分量，并将入射波、反射波、折射波磁场均指向-y轴的方向上，电场则平行于入射面极化，即在垂直于y轴相应
17、方向上(按波传播规律确定)。在z=0界面上，有：,费涅尔公式,. 当入射角为时：,可见在这种情况下，总是存在反射波与透射波，并且反射系数和透射系数的大小与入射波的极化方式无关。,.当入射角不为时：,（）全透射情况：,考察平行入射情况：,如果想使得反射系数为，则：,在通常介质中，磁导率近似为真空中的磁导率，于是：,折射定律此时可写成：,利用三角函数的平方关系，以及（）式，公式（）可改写成：,结论：当一束无固定极化方向的波以布儒斯特角入射时，其反射波中仅有垂直极化波。光学技术中常利用这种方法来获得具有一定极化特性的偏振光。,解（）式可以得到：,即：,布儒斯特角,（）全反射情况：,结论：当入射角=c
18、时，折射波为指数衰减波，介质中只有反射波存在，这种现象称为全反射。介质波导和光纤就是利用这种全反射现象工作的。,由折射定律可知：当n1n2时，折射角入射角1，若入射角足够大， 可使折射角等于90度。使折射角2=90度的入射角称为临界角(c),即,例 7.7.1 一介质棒的介电常数 ,电磁波从棒的一端以任意角度 入射,大于临界入射角,即,解得,介质棒内的电磁波以大于 的角度投射到介质与空气分界面并发生全反射时，可使电磁波沿介质棒轴向传播，这类介质称为介质波导。,若电磁波只在棒内传播,直到另一端射出,求该棒 的相对介电常数 的取值范围。,解：要形成全反射，则,图6.5.5 介质波导,由于,所以由上
19、面的条件可得：,利用折射定理：,练习题: 有一个振幅为,的平面波从空气中垂直入射到x=0的理想导体平面上,已知入射波的频率为100MHz,求: 1、反射波电场和磁场的复矢量及瞬时表达式。 2、能流密度矢量在一个周期内的平均值。,7.7 相速与群速,相速：电磁波中等相位面的速度。若波沿正z轴方向传播，电场某一分量可表示为：,在理想介质中，相速与频率无关。但在导电媒质中，相速是频率的函数。单频率的正弦波是不能传递任何信息的，只有调制后的波才能传输信息。 设有两个振幅为Am的电磁波，它们的频率相差不大，分别是+和-，相位常数是+和-，那么这两个波可以用下式来表达：,这是一个调制波，这个按余弦变化的调
20、制波称为包络波，包络移动的相速度为群速，即由：,合成后的波为：,即：,vg是群速度，它是信号传播的速度，也是能量传播的速度。,相速与群速关系：,因为：,所以：,当相速相对频率的变化率非常小时，群速近似等于相速。,表一 理想介质与良导体中均匀平面波的传播特性的比较,理想介质,良导体,相同点,不同点, E 与 H 除与时间 t 有关外，仅与传播方向的坐标有关, 沿传播方向没有 E 与 H 的分量，即为TEM波, EH 与 S 的传播方向一致，三者在空间上相互垂直, 等幅波, 波阻抗为实数, 与 同相, 波速与 无关，电磁波为非色散波, 减幅波, 波阻抗为复数, 波速与 有关，电磁波为色散波。,电磁场基本方程组,电磁波动方程,均匀平面电磁波的传播特性,理想介质中均匀平面波,平面电磁波的极化,导电媒质中均匀平面波,正弦变化下电磁波的传播特性,平面电磁波的反射与折射,平面电磁波的正入射 驻波,图6.0 平面电磁波知识结构框图,
