1、第七章正弦平面电磁波 时谐场 场量随时间按正弦规律变化的电磁场 时谐场也称为正弦电磁场 本章主要内容 时谐场的波动方程 亥姆霍兹方程无界理想媒质中的均匀平面波无界导电媒质 损耗媒质 中的均匀平面波在媒质分界面上波的反射与透射 第一节亥姆霍兹方程 一 时谐场场量的复数表示 时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程 对于时谐场 其场量和都是以一定的角频率随时间t按正弦规律变化 在直角坐标系下 电场可表示为 式中 为电场在各方向分量的幅度 为电场各分量的初始相位 由复变函数 知 则 式中 场量上加点表示为复数 因此时谐场中 电场强度可表示为 式中 同理 可得 二 麦克斯韦方程组的复数形式 很明显 对于
2、时谐场 故由麦克斯韦方程组微分形式 可得 为了简化书写 约定写做 而项则省略不写 则方程变为 麦克斯韦方程组复数形式 注意 1 方程中各场量形式上是实数及源量均应为复数形式 为了简化书写而略写 2 方程中虽然没有与时间相关的因子 时间因子为缺省式子 3 麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场 场量的复数形式转换为实数形式的方法 三 亥姆霍兹方程 在时谐场中 由于场量随时间呈正弦规律变化 则 则无源空间的波动方程变为 若令 则亥姆霍兹方程变为 说明 亥姆霍兹方程的解为时谐场 正弦电磁波 第二节平均坡印廷矢量 在上面的式子中 和均应为实数形式 即 代入第一式 证明 第三节理想介质中的均匀平面波 平面
3、波 波阵面为平面的电磁波 等相位面为平面 均匀平面波 等相位面为平面 且在等相位面上 电 磁场场量的振幅 方向 相位处处相等的电磁波 在实际应用中 纯粹的均匀平面波并不存在 但某些实际存在的波型 在远离波源的一小部分波阵面 仍可近似看作均匀平面波 一 亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下 在均匀 各向同性理想媒质的无源区域中 电场场量满足亥姆霍兹方程 即 考虑一种简单情况 即电磁波电场沿x方向 波只沿z方向传播 则由均匀平面波性质 知只随z坐标变化 则方程可以简化为 讨论 1 为通解的复数表达形式 通解的实数表达形式为 2 通解的物理意义 不同时刻的波形 亥姆霍兹方程通解的物理意义 表示沿z向
4、 z z 方向传播的均匀平面波的合成波 二 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性 在无界媒质中 若均匀平面波向 z向传播 且电场方向指向方向 则其电场场量表达式为 电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息 1 均匀平面波电场场量的一般表达式 式中 表示电磁波中电场的幅度 2 波的频率和周期 频率 周期 波数k 长为距离内包含的波长数 3 波数k 波长与波矢量 波长 波矢量 表征波传播特性的矢量 4 相位速度 波速 如图所示电磁波向 z方向传播 从波形上可以认为是整个波形随着时间变化向 z方向平移 相位 两边对时间t去导数 得 讨论 1 电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关 2 真空中电磁波的相位
5、速度 真空中电磁波相位速度为光速 5 场量 的关系 为表示波传播方向的单位矢量 同理可以推得 特殊地 真空 自由空间 的本振阻抗为 结论 在自由空间中传播的电磁波 电场幅度与磁场幅度之比为377 说明 三者相互垂直 且满足右手螺旋关系 6 能量密度和能流密度 电场能量密度 磁场能量密度 结论 理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量 电磁波的能量密度 电磁波的能流密度 例频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿 Z方向传播 介质的特性参数为 设电场沿x方向 即 已知 当t 0 z 1 8m时 电场等于其振幅值 试求 1 波的传播速度 波长 波数 2 电场和磁场的瞬时表达
6、式 3 坡印廷矢量和平均坡印廷矢量 解 由已知条件可知 频率 振幅 1 2 设 由条件 可知 由已知条件 可得 3 另解 第四节波的极化特性 注意 电磁波的极化方式由辐射源 即天线 的性质决定 一 极化的定义 波的极化 指空间某固定位置处电场强度矢量随时间变化的特性 极化的描述 用电场强度矢量终端端点在空间形成的轨迹表示 二 极化的分类 线极化 电场仅在一个方向振动 即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线 椭圆极化 电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆 椭圆的一种特殊情况是圆 E excos wt kz 观察平面 z const 显然 电场的振动方向始终是沿x轴方向 所以这是一个沿x方向的线极化波 三
7、 极化的判断 通过两个相互正交的线极化波叠加 合成得到不同的极化方式 由电磁波电场场量或者磁场场量 可以判断波的极化方式 设均匀平面电磁波向 z方向传播 则一般情况下 其电场可以表示为 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同 故选取z 0点作为分析点 即 场量表达式中 的取值将决定波的极化方式 1 当时 电场与x轴夹角为 结论 当时 电磁波为线极化波 2 当且时 合成电场的模及其与x轴夹角为 从上可知 合成电场矢量终端形成轨迹为一圆 电场矢量与x轴夹角随时间变化而改变 如图 当时 可以判断出 电场矢量终端运动方向与电磁波传播方向满足右手螺旋关系 右旋极化波 结论 两个频率相同 传播方向相同的
8、正交电场分量的振幅和相位是任意的 则其合成波为椭圆极化波 说明 圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况 3 其他情形 例根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式 所以 合成波为线极化波 解 解 故 合成波为左旋圆极化波 解 合成波为右旋圆极化波 解 故 合成波为右旋圆极化波 解 合成波为椭圆极化波 第五节导电媒质中的均匀平面波 一 导电媒质中的波动方程 在无源的导电媒质区域中 麦克斯韦方程为 第一个方程可以改写为 导电媒质的典型特征是电导率 0 电磁波在其中传播时 有传导电流存在 同时伴随着电磁能量的损耗 电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同 为了方便描述导电媒质的损耗特
9、性 引入媒质损耗正切角 用表示 的概念 定义 引入等效复介电常数后 麦克斯韦方程组可记做 比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知 方程形式完全相同 差别仅在于 二 导电媒质中的波动方程的解 所以损耗媒质中波动方程解可以写为 写成实数形式 瞬时形式 得 三 导电媒质中的平面波的传播特性 1 波的振幅和传播因子 振幅 随着波传播 z增加 振幅不断减小 传播因子 波为均匀平面波 行波 2 幅度因子和相位因子 只影响波的振幅 故称为幅度因子 3 相位速度 波速 在理想媒质中 在损耗媒质中 很明显 损耗媒质中波的相速与波的频率有关 色散现象 波的传播速度 相速 随频率改变而改变的现象 具有色
10、散效应的波称为色散波 结论 导电媒质 损耗媒质 中的电磁波为色散波 4 场量 的关系 可以推知 在导电媒质中 场量 之间关系与在理想介质中场量间关系相同 即 2 在导电媒质中 电场和磁场在空间中不同相 电场相位超前磁场相位 小结 无限大导电媒质中电磁波的特性 四 媒质导电性对场的影响 对电磁波而言 媒质的导电性的强弱由决定 从上可知 媒质是良导体还是弱导体 与电磁波的频率有关 是一个相对的概念 1 良导体中的电磁波 在良导体中 则前面讨论得到的 近似为 重要性质 在良导体中 电场相位超前磁场相位 在良导体中 衰减因子 对于一般的高频电磁波 GHz 当媒质导电率较大时 往往很大 电磁波在此导电媒
11、质中传播很小的距离后 电 磁场场量的振幅将衰减到很小 因此 电磁波只能存在于良导体表层附近 其在良导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近 这种现象成为趋肤效应 我们用趋肤深度 穿透深度 来表征良导体中趋肤效应的强弱 趋肤深度 电磁波穿入良导体中 当波的幅度下降为表面处振幅的时 波在良导体中传播的距离 称为趋肤深度 2 弱导体中的电磁波 在良导体中 则前面讨论得到的 近似为 在弱导电媒质中 仍存在能量损耗 波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位常数 第六节均匀平面波对分界面的垂直入射 本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界面上的反射与透射 设分界面为无限大平面 分界面位于z 0处 本
12、节以入射波为x方向的线极化波为例进行讨论 一 对理想导体的分界面的垂直入射 理想介质内将存在入射波和反射波 由理想导体边界条件可知 反射波电场为 理想媒质中的合成场为 合成波场量的实数表达式为 讨论 1 合成波的性质 对任意时刻t 在合成波电场皆为零 对任意时刻t 在合成波磁场皆为零 2 导体表面的场和电流 在理想导体表面的感应面电流为 3 合成波的平均能流密度 结论 合成波 驻波 不传播电磁能量 只存在能量转化 二 对两种理想介质分界面的垂直入射 设入射波电场为 一般已知 设反射波电场为 设透射波电场为 由两种理想介质边界条件可知 媒质1中总的电场 磁场为 式中 为媒质1 2的本征阻抗 定义
13、 反射系数 透射系数 则 媒质1中合成波为 讨论 1 媒质1中合成波的传播特点 2 反射系数和透射系数关系为 当媒质2为理想导体时 可知 电磁波垂直入射到理想导体面上时 反射系数为 1 3 当分界面两边为导电媒质时 媒质本征阻抗为复数 即均为复数 故 也为复数 在导电媒质两边 入射波和反射波 入射波和透射波不同相 第七节均匀平面波对分界面的斜入射 电磁波垂直入射时 电场和磁场总是平行分界面的 斜入射时 传播方向与分界面法向不平行 电场或磁场可能与分界面不平行 一 几个重要概念 入射面 入射射线与分界面法线构成的平面 平行极化入射 入射波电场方向平行于入射面的入射方式 垂直极化入射 入射波电场方
14、向垂直于入射面的入射方式 入射角 入射射线与分界面法线夹角 二 反射定律和折射定律 电磁波斜入射到介质分解面上时 将发生反射和折 透 射现象 反射波和透射波的传播方向遵循反射定律和折射定律 斯耐尔反射定律 斯耐尔折射定律 三 垂直极化波对理想介质分界面的斜入射 设z0空间分别为两个半无限完纯介质 设入 反 透射三波的传播方向分别为ei er et 且ki eik1 kr erk1 kr erk2 有 设 则 在边界面上 有 由斯耐尔折射定律 知三者相等 即 由边界条件可知 在边界面上 可得 若媒质为非磁性媒质 即 0 入 透射波同相 2 1时 i t 0 入 反射波同相 2 1时 i t 0
15、入 反射波反相 半波损失 同理 说明 1 2 入射波 反射波相位关系 四 平行极化波对理想介质分界面的斜入射 同理 在介质分界面两边根据边界条件 可以求得 非磁性媒质中 五 两种特殊情况 1 全反射和临界角 即 透射角大于入射角 很明显 当入射角增大为某一特定角度时 透射角 当入射角进一步增大时 就将不再存在透射波 全反射 定义 刚好产生全反射时的入射角称为临界角 即 2 当发生全反射时透射波的性质 由折射定律 有 透射波沿 x传播 但其振幅沿 z按指数规律衰减 当电磁波以大于临界角的角度入射时 进入介质2的电磁波将沿着分界面传播 且其振幅随进入介质2的深度迅速衰减 这种波称为表面波 可以证明
16、进入介质2平均能流密度 平均功率 为零 即没有能量进入介质2 工程上利用这个原理制做介质波导 如光纤 2 无反射 全透射 和布儒斯特角 波入射到两种媒质分界面 如果反射系数为零 称为无反射现象 全透射 发生无反射现象时波的入射角 即为布儒斯特角 对于非磁性介质 由平行极化入射时的反射系数 即 当发生全透射 此时 由折射定律 说明 1 对垂直极化入射波 要使 则须 由折射定律 结论 只有对平行极化波存在全透射现象 对垂直极化波不存在全透射现象 2 全透射现象的应用 任意极化波以 B入射时 反射波中只有垂直分量 极化滤波 第八节相速和群速 一 相速 相速 表示波的恒定相位点推进的速度 即为波传播的
17、速度 在理想媒质中 此时相速与频率无关的常数 二 群速 群速 合成信号包络传播的相速 它代表信号能量的传播速度 在损耗媒质中 由于相位常数为与频率相关的函数 故此时相速为与频率相关的函数 损耗媒质 导电媒质 为色散媒质 单一频率的电磁波不载有任何有用信息 只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息 设两个振幅均为Am 角频率分别为 和 的同向行波在空间中合成形成一调制波 若 由于频率不同 则由知两行波波数不同 设分别为则行波表达式为 合成波为 合成波振幅 包络为以频率传播的低频行波 行波因子 表向 z向传播的行波 群速为 z 载波 速度vp 包络波 速度vg 讨论 1 在理想媒质中 相速等于群速 波无色散 2 3 第七章作业 7 37 47 57 6 理想媒质中的均匀平面波 7 77 97 12 导电媒质中的均匀平面波 7 147 157 22 波的垂直入射 7 277 28 波的斜入射
