1、微型专题 6 机械能守恒定律的应用学习目标 1.会判断系统机械能是否守恒问题.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.3.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.4.会分析链条类物体的机械能守恒问题一、多物体组成的系统机械能守恒的判断判断系统机械能是否守恒，常根据能量转化情况进行判断：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加) ，则系统的机械能守恒例 1 ( 多选)如图 1 所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说
2、法正确的是( )图 1A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量答案 BD解析 小球有竖直方向的位移，所以斜劈 对小球的弹力对 球做负功，故 A 选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故 C 选项错误不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系 统中只有动能和重力势能相互 转化，系 统机械能守恒，故 B、D选项正确二、多物体组成的系统中机械能守恒定律的应用1多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的2关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移
3、关系3机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式 Ek1E p1E k2E p2 或 Ek Ep 来求解(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：若两个物体的重力势能都在减小(或增加) ，动能都在增加 (或减小)，可优先考虑应用表达式 EkE p 来求解若 A 物体的机械能增加，B 物体的机械能减少，可优先考虑用表达式 EAE B来求解例 2 如图 2 所示，斜面的倾角 30，另一边与地面垂直，高为 H，斜面顶点上有一定滑轮，物块 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮开始时两物块都位于与地面距离为 H 的位置上，释放两
4、物块后，A 沿斜面无摩擦地上滑，B 沿斜12面的竖直边下落若物块 A 恰好能达到斜面的顶点，试求 m1 和 m2 的比值滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计图 2答案 12解析 设 B 刚下落到地面时速度为 v，由系统机械能守恒得：m2g m1g sin 30 (m1m 2)v2H2 H2 12A 以速度 v 上滑到顶点过程中机械能守恒，则：m1v2m 1g sin 30，12 H2由得 12.m1m2【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在多物体问题中的应用机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化
5、时，经常出现下面三种情况：(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系(2)系统内两个物体通过轻绳连接如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组 成的系统机械能守恒解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等(3)系统内两个物体通过轻杆连接轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等三、链条类物体的机械能守恒问题链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化例 3 如图 4 所示，
6、有一条长为 L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大图 4答案 gL3 sin 2解析 释放后的链条，竖直方向的一半向下运 动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变 加速运动，不能用一般运 动学公式去解因为斜面光滑，所以机械能守恒，链条得到的动能应 是由势能转化的，重力 势能的 变化可以用重心的位置确定设斜面最高点为零势能点，链 条总质量为 m，开始时左半部分的重力势能 Ep1 g sin ，m2 L4右半部分的重力势能 Ep2 g ，m2 L4机械能
7、E1E p1E p2 gL(1sin )m8当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能 Epmg ，L2动能 Ek mv2，12机械能 E2E pE k L mv2.mg2 12由机械能守恒得 E1E 2，所以 (1sin ) mv2，mgL8 mgL2 12整理得 v .gL3 sin 2【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在链条类物体问题中的应用四、利用机械能守恒定律分析多过程问题例 4 如图 5 所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中 AB 是长为 R 的水平直轨道，BCD 是圆心为 O、半径为 R 的 圆弧轨道，两轨道相切于 B 点在外力作用下，一小球从34A 点由静止开始做匀
8、加速直线运动，到达 B 点时撤去外力已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点 C，重力加速度大小为 g，不计空气阻力求：图 5(1)小球在 AB 段运动的加速度的大小；(2)小球从 D 点运动到 A 点所用的时间答案 (1) g (2)( )52 5 3 Rg解析 (1)小球在最高点 C 所受轨道的正压力为零设小球在 C 点的速度大小为 vC，根据牛顿第二定律有 mgmvC2R小球从 B 点运动到 C 点的过 程中，机械能守恒，设小球在 B 点的速度大小为 vB，则有mvB2 mvC22mgR12 12小球在 AB 段由静止开始做匀加速直线运动， 设加速度大小为 a，由运动学公式得：v B22aR联
9、立以上各式解得 a g.52(2)设小球运动到 D 点的速度大小 为 vD，下落到 A 点时的速度大小为 v，根据机械能守恒定律，小球从 B 点运动到 D 点的过 程，有mvB2 mvD2mgR12 12小球从 B 点运动到 A 点的过程，有 mvB2 mv212 12设小球从 D 点运动到 A 点所用的 时间为 t，根据运动学公式有 gtvv D联立解得 t( ) .5 3Rg【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题， 难度较大解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中
10、机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律.1(系统机械能守恒的判断)(多选) 如图 6 所示，A 和 B 两个小球固定在一根轻杆的两端，mBmA，此杆可绕穿过其中心的水平轴 O 无摩擦地转动现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕 O 沿顺时针方向转动，则杆从释放起转动 90的过程中( 不计空气阻力)( )图 6AB 球的动能增加，机械能增加BA 球的重力势能和动能都增加CA 球的重力势能和动能的增加量等于 B 球的重力势能的减少量DA 球和 B 球的总机械能守恒答案 BD解析 A 球运动的速度增大，高度增大，所以 动能和重力势能都增大，故 A 球的机械能增加B 球运动的速度增大，
11、所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小 对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为 A 球的机械能增加，故 B 球的机械能减少，故 A球的重力势能和动能的增加量与 B 球的动能的增加量之和等于 B 球的重力势能的减少量，故 A、C 错误，B 、D 正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用2(杆机械能守恒问题)如图 7 所示，一均质杆长为 r，从图示位置由静止开始沿光滑面2ABD 滑动，AB 是半径为 r 的 圆弧，BD 为水平面则当杆全部滑到水平面上时的速度大小14为( )图 7A. B.gr2 grC. D22gr gr答案 B解析 虽然杆
12、在下滑过程有转动发生，但初始位置静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有mv2mg ，12 r2解得：v .gr【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用3(绳连物体机械能守恒问题) 如图 8 所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，轻绳两端各系一小球 a 和 b，a 球质量为 m，静置于地面；b 球质量为 3m，用手托住，离地面高度为 h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放 b 后，a 可能达到的最大高度为(b 球落地后不反弹，不计空气阻力)( )图 8Ah B1.5hC2h D2.5h答案 B解析 释放 b 后，在 b 到达地面之前，a
13、向上加速运动， b 向下加速运动，a、 b 系统的机械能守恒，设 b 落地瞬间速度为 v，取地面所在平面为参考平面，则 3mghmgh mv2 (3m)v2，可12 12得 v .b 落地后，a 向上以速度 v 做竖直上抛运动，能 够继续 上升的高度 h .所ghv22g h2以 a 能达到的最大高度为 1.5h，B 正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用一、选择题考点一 机械能守恒条件的判断1.(多选) 如图 1 所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连 )现让一小球自左端槽口 A 点的正上方由静止开始
14、下落，从 A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )图 1A小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B小球从 A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C小球从 A 点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案 BC【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断2.(多选) 如图 2 所示，光滑细杆 AB、AC 在 A 点连接，AB 竖直放置，AC 水平放置，两相同的中心有小孔的小球 M、N，分别套在 AB 和 AC 上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现
15、由静止释放 M、 N，在 N 球碰到 A 点前的运动过程中下列说法中正确的是( )图 2AM 球的机械能守恒BM 球的机械能减小CM 和 N 组成的系统的机械能守恒D绳的拉力对 N 做负功答案 BC解析 因 M 下落的过程中细绳 的拉力对 M 球做负功， 对 N 球做正功，故 M 球的机械能减小，N 球的机械能增加，但 M 和 N 组成的系统的机械能守恒，B、C 正确，A、D 错误【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断考点二 机械能守恒的应用3(多选) 内壁光滑的环形凹槽半径为 R，固定在竖直平面内，一根长度为 R 的轻杆，一2端固定有质量为 m 的小球甲，另一端固定
16、有质量为 2m 的小球乙现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图 3 所示，由静止释放后( )图 3A下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点答案 AD解析 环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到
17、凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在多物体问题中的应用4.如图 4 所示，物体 A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体 A、B 的质量都为 m.开始时细绳伸直，用手托着物体 A 使弹簧处于原长且 A 与地面的距离为 h，物体 B 静止在地面上放手后物体 A 下落，与地面即将接触时速度大小为 v，此时物体 B 对地面恰好无压力，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )图 4A弹簧的劲度系数为mghB此时弹簧的弹性势能等于 mgh mv212C此时物体 B 的速度大小也为 vD此时物体 A 的加速度大小为 g，方
18、向竖直向上答案 A解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于 B 的重力，即 Fmg，弹簧伸长的长度为xh，由 Fkx 得 k ，故 A 正确；A 与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mghmgh mv2E p，则弹簧的弹 性势能 Epmgh mv2，故 B 错误；物体 B 对地面恰好无压力时，12 12B 的速度为零，故 C 错误；根据牛顿第二定律对 A 有 Fmgma，Fmg，得 a0，故 D 错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用5.如图 5 所示，质量分别为 m 和 3m 的小球 A 和 B 可视为质点，系在长为 L 的细线两端，桌面水平光滑，高为 h
19、(hL )A 球无初速度地从桌面滑下，落在沙地上静止不动，不计空气阻力，则 B 球离开桌面的速度为( )图 5A. B. C. D. gh2 2gh gh3 gh6答案 A解析 由 hL，当小球 A 刚落地 时，由机械能守恒得 mgh (m3m) v2，解得 v ，B 球12 gh2以此速离开桌面，选项 A 正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用6.如图 6 所示，B 物体的质量是 A 物体质量的 ，在不计摩擦及空气阻力的情况下，A 物体12自 H 高处由静止开始下落以地面为参考平面，当物体 A 的动能与其重力势能相等时，物体 A 距地面的高度为(B 物体
20、与光滑轻质定滑轮的距离足够远)( )图 6A. H B. H15 25C. H D. H45 13答案 B解析 设 A 的质量 mA2m， B 的质量 mBm.物体 A 的动能等于其重力势能时，A 离地面的高度为 h，A 和 B 的共同速率为 v，在运 动过程中， A、B 系统的机械能守恒，有 2mg(Hh) 2mv2 mv2，又 2mv22mgh，联立解得 h H，故 选项 B 正确12 12 12 25【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用7.如图 7 所示的滑轮光滑轻质，不计一切阻力，M 12 kg，M 21 kg，M 1 离地高度为H0.5 m，取 g
21、10 m/s 2.M1 与 M2 从静止开始释放，M 1 由静止下落 0.3 m 时的速度为( )图 7A. m/s B3 m/s2C2 m/s D1 m/s答案 A解析 对系统运用机械能守恒定律得(M 1M 2)gh (M1M 2)v2，代入数据解得 v m/s，12 2故 A 正确，B、C 、D 错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用8(多选) 如图 8 所示，a、b 两物块质量分别为 m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧开始时，a、b 两物块距离地面高度相同，用手托住物块 b，然后由静止释放，直至 a、b 物块间高度差为 h，不计滑轮
22、质量和一切阻力，重力加速度为 g.在此过程中，下列说法正确的是( )图 8A物块 a 的机械能守恒B物块 b 的机械能减少了 mgh23C物块 b 机械能的减少量等于物块 a 机械能的增加量D物块 a、b 与地球组成的系统机械能守恒答案 CD解析 释放 b 后物块 a 加速上升， 动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项 A 错误对物块 a、b 与地球组成的系统，机械能守恒，选项 D 正确物块 a、b 构成的系统机械能守恒，有(3m)g mg mv2 (3m)v2，解得 v ，物 块 b 动能增加量为 (3m)v2 mgh，重力 势h2 h2 12 12 gh2 12 34能减少 mgh，故机
23、械能减少 mgh mgh mgh，选项 B 错误由于绳的拉力对 a 做的功与32 32 34 34b 克服绳的拉力做的功相等，故物 块 b 机械能的减少量等于物 块 a 机械能的增加量， 选项 C正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用9.如图 9 所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的 A 点，弹簧处于原长时，圆环高度为 h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为 30)( )图 9A圆环机械能守恒B弹簧的弹性势能先减小后增大C弹簧的弹性
24、势能变化了 mghD弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大答案 C解析 圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，但 圆环机械能不守恒，A 错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性 势能先增大后减小再增大， B 错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了 mgh，所以 弹簧的弹性势能增加 mgh，C 正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D 错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用二、非选择题10.(机械能守恒的应用)素有“陆地冲浪”之称的滑板运动已深受广大青少年喜爱如图 10所示是由足够长的斜直轨
25、道，半径 R12 m 的凹形圆弧轨道和半径 R23.6 m 的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内其中 M 点为凹形圆弧轨道的最低点， N 点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心 O 与 M 点在同一水平面上，一可视为质点、质量为 m1 kg 的滑板从斜直轨道上的 P点无初速度滑下，经 M 点滑向 N 点，P 点距水平面的高度 h3.2 m，不计一切阻力，g 取10 m/s2.求：图 10(1)滑板滑至 M 点时的速度大小；(2)滑板滑至 M 点时，轨道对滑板的支持力大小；(3)若滑板滑至 N 点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点 P 距
26、水平面的高度答案 (1)8 m/s (2)42 N (3)5.4 m解析 (1)对滑板由 P 点滑至 M 点，由机械能守恒得 mgh mvM2，得：v M8 m/s.12(2)对滑板滑至 M 点时受力分析，由牛顿第二定律得Nmgm ，得：N42 N.vM2R1(3)滑板滑至 N 点时对轨道恰好无压力，则有mgm ，则 vN6 m/svN2R2滑板从 P 点到 N 点机械能守恒，则有mghmgR 2 mvN2，解得 h5.4 m.12【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题11.(机械能守恒的应用)如图 11 所示，质量分别为 3 kg 和 5 kg
27、 的物体 A、B，用足够长轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且 A 物体底面与地接触，B 物体距地面0.8 m，不计空气阻力，求： (g 取 10 m/s2)图 11(1)放开 B 物体，当 B 物体着地时 A 物体的速度大小；(2)B 物体着地后(不反弹)A 物体还能上升多高答案 (1)2 m/s (2)0.2 m解析 (1)解法一 根据 E1E 2对 A、B 组成的系 统，在 B 着地前系统机械能守恒，以地面为参考平面，则mBghm Agh (mAm B)v212则 v2mB mAghmA mB代入数据解得 v2 m/s解法二 根据 Ep 减 E k 增得 mBghm Ag
28、h (mAm B)v2，代入数据解得 v2 m/s12解法三 根据 EB 减 E A 增得 mBgh mBv2m Agh mAv212 12代入数据解得 v2 m/s(2)当 B 落地后， A 以 2 m/s 的速度竖直上抛，设 A 还能上升的高度 为 h，由机械能守恒定律可得 mAgh mAv212解得 h 0.2 m.v22g【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用12(机械能守恒的应用)如图 12 所示，半径为 R 的光滑半圆弧轨道与高为 10R 的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道 CD 相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水
29、平轨道上，轻质弹簧被 a、b 两小球挤压但不与球连接，处于静止状态同时释放两个小球，a 球恰好能通过圆弧轨道的最高点 A，b 球恰好能到达斜轨道的最高点 B.已知 a 球质量为 m1， b 球质量为 m2，重力加速度为 g.求：图 12(1)a 球离开弹簧时的速度大小 va；(2)b 球离开弹簧时的速度大小 vb；(3)释放小球前弹簧的弹性势能 Ep.答案 (1) (2)2 (3)( m110m 2)gR5gR 5gR52解析 (1)由 a 球恰好能到达 A 点知：m 1gm 1vA2R由机械能守恒定律得： m1va2 m1vA2m 1g2R12 12解得 va .5gR(2)对于 b 球由机械能守恒定律得： m2vb2m 2g10R12解得 vb2 .5gR(3)由机械能守恒定律得：E p m1va2 m2vb212 12解得 Ep( m110m 2)gR.52【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理多体多过程问题
