1、1第 9 节 机械能守恒定律学考报告考试要求学考 选考知识内容 机械能守恒定律d d基本要求1.知道机械能的各种形式，能够分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化问题2.知道机械能守恒的条件，知道机械能守恒定律的表达式3.会判断机械能是否守恒，会应用机械能守恒定律解决有关问题发展要求1.根据动能定理及重力做功与势能变化的关系，推导出机械能守恒定律2.从能量转化的角度理解机械能守恒的条件3.能从不同角度表达机械能守恒定律，并选择合适的表达式求解问题4.领悟运用机械能守恒定律解决问题的优点说明1.运用机械能守恒定律进行计算时，不涉及弹性势能的表达式2.不要求用机械能守恒定律求解两个及两个以上物
2、体(包括需要确定重心的链条、绳子、流体等)的问题基 础 梳 理1.机械能的定义动能与势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，用符号 E 表示。2.机械能具有相对性因为势能具有相对性(需确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性。只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义。3.动能和势能相互转化(1)重力势能与动能相互转化2用细线、小球等做实验，把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的 A 点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能与动能相互转化。我们看到，小球可以摆到跟 A
3、 点等高的 C 点，如图 1 甲所示，如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到 C 点，但摆到另一侧时，也能到达跟 A 点相同的高度，如图乙所示。图 1实验证明，小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化。在摆动过程中，小球总能回到原来的高度，可见，重力势能和动能的总和不变。(2)弹性势能与动能相互转化被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去，这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。射箭时弓的弹性势能减少，箭的动能增加，也是这样一种过程。如果重力和弹力做正功，重力势能或弹性势能就减少，动能增加，意味着重力势能或弹性势能转化为
4、动能；反之，如果重力或弹力做负功，重力势能或弹性势能就增加，动能减少，意味着动能转化为重力势能或弹性势能。可见，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。典 例 精 析【例 1】 2016 年巴西奥运会上，中国选手邓薇以 262 公斤(抓举 115 公斤，挺举 147 公斤)的总成绩打破奥运会纪录、世界纪录。某次抓举，在杠铃被举高的整个过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是( )图 2A.杠铃的动能一直增大B.杠铃的重力势能一直增大C.杠铃的机械能守恒3D.杠铃一直处于超重状态解析 杠铃被举高的过程一定经历了先加速向上，后减速向上的运动，所以动能应先增大后减小，A 错误；物体一
5、直向上运动，重力势能一直增大，B 正确；因人对杠铃的支持力做正功，杠铃的机械能增加，C 错误；加速度先向上，后向下，杠铃先超重，后失重，D 错误。答案 B基 础 梳 理1.推导(1)情景设定如图 3 所示，设小球下落过程中经过高度为 h1的 A 点速度为 v1，经过高度为 h2的 B 点速度为 v2，分析下落过程中 A、 B 两位置的动能与势能的总和之间的数量关系。图 3(2)理论推导从 A 点到 B 点，由动能定理知重力做的功WG mv mv Ek2 Ek1，12 2 12 21由重力做功和重力势能变化的关系有WG mgh1 mgh2 Ep1 Ep2，得到 Ek2 Ek1 Ep1 Ep2，移
6、项后，得 Ep1 Ek1 Ep2 Ek2。(3)探究结论自由落体运动过程中，动能和势能之和保持不变。2.机械能守恒定律的内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。3.守恒条件4只有重力或弹力做功。4.表达式(1)守恒式： Ek1 Ep1 Ek2 Ep2(或 E1 E2)此式表示系统的两个状态的机械能总量相等。(2)转化式： Ek Ep此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量。(3)转移式： EA 增 EB 减此式表示系统 A 部分机械能的增加量等于 B 部分机械能的减少量。5.机械能是否守恒的判断(1)利用机械能守恒的条件直接判断。(2
7、)从做功角度判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功或做功的代数为零，机械能守恒。(3)从能量转化角度判断：系统内只有动能、重力势能、弹性势能的相互转化，无其他形式能量的转化，系统机械能守恒。典 例 精 析【例 2】 下列运动的物体，机械能守恒的是( )A.物体沿斜面匀速下滑B.物体从高处以 0.9 g 的加速度竖直下落C.物体沿光滑曲面滑下D.拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小。物体以 0.9 g 的加速度下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为 0.1 mg，合力在物体下落时对物体做负功，物
8、体机械能不守恒；物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒；拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体机械能不守恒；综上，选项 C 正确。答案 C即 学 即 练1.(多选)如图 4 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )5图 4A.甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒B.乙图中物体匀速运动，机械能守恒C.丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒D.丁图中，轻弹簧将 A、 B 两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒解析 题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒；题图乙中拉力
9、F 做功，机械能不守恒；题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒。答案 CD基 础 梳 理1.应用步骤(1)确定研究对象：物体或系统(2)对研究对象进行正确的受力分析。(3)判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件。(4)视解题方便与否选取零势能参考平面，并确定研究对象在初、末状态时的机械能。(5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程，进行求解。2.适用范围：应用机械能守恒定律时，系统内相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，适用于直线运动，也适用于曲线运动，只要符合守恒
10、条件，机械能就守恒。而且机械能守恒定律只涉及物体系统的初、末状态的物理量，不需分析中间过程的复杂变化，使处理问题得到简化。典 例 精 析6【例 3】 如图 5 所示，让摆球从图中 A 位置由静止开始下摆，正好摆到最低点 B 位置时线被拉断。设摆线长 l1.6 m， O 点离地高 H5.8 m，不计线断时的机械能损失，不计空气阻力， g 取 10 m/s2，求：图 5(1)摆球刚到达 B 点时的速度大小；(2)落地时摆球的速度大小。解析 (1)摆球由 A 到 B 的过程中只有重力做功，故机械能守恒。根据机械能守恒定律得mgl(1sin 30) mv ，12 2B则 vB m/s2gl（ 1 si
11、n 30） gl 101.64 m/s。(2)设摆球落地点为题图中的 D 点，则摆球由 B 到 D 过程中只有重力做功，机械能守恒。根据机械能守恒定律得mv mv mg(H l)12 2D 12 2B则 vD m/s10 m/s。42 210（ 5.8 1.6）答案 (1)4 m/s (2)10 m/s技巧点拨 无论物体是做直线运动还是做曲线运动都可应用机械能守恒定律。应用机械能守恒定律时，正确选取研究对象和研究过程，明确初、末状态的动能和势能，是解决问题的关键。即 学 即 练2.以 10 m/s 的速度将质量为 m 的物体从地面上竖直向上抛出，取地面为零势能面，若忽略空气阻力， g 取 10
12、 m/s2，则：(1)物体上升的最大高度是多少？(2)上升过程中在何处重力势能与动能相等？解析 (1)由于物体在运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒。取地面为零势能面，则7E1 mv ，在最高点动能为 0，故 E2 mgh，由机械能守恒定律 E1 E2可得：12 20mv mgh，所以 h m5 m。12 20 102210(2)初态物体在地面上， E1 mv ，设重力势能与动能相等时在距离地面 h1高处，12 20E2 mv mgh12 mgh1，由机械能守恒定律可得： mv mv mgh12 mgh1，所以 h112 21 12 20 12 212.5 m答案 (1)5 m (2)2.5
13、 m基 础 梳 理机械能守恒定律与动能定理的比较规律比较内容 机械能守恒定律 动能定理应用范围 只有重力和弹力做功时 无条件限制 物理意义其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度合外力对物体所做的功是动能变化的量度研究对象 相互作用的物体系统单个物体(或可视为单个物体的系统)关注角度守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小动能的变化及改变动能的方式(合外力做功的情况)说明等号右边表示动能增量时，左边表示势能的减少量， “mgh”表示重力势能(或重力势能的变化量)等号左边是合外力做的功，右边是动能的增量， “mgh”表示重力做的功共同点都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下状态
14、的变化，表达这两个规律的方程都是标量式注意 由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。典 例 精 析8【例 4】 如图 6 所示，用细圆管组成的光滑轨道 AB 部分平直， BC 部分是处于竖直平面内半径为 R 的半圆，圆管截面半径 rR。有一质量为 m，半径比 r 略小的光滑小球以水平初速度 v0射入圆管。图 6(1)若要小球能从 C 端出来，初速度 v0需多大？(2)在小球从 C 端出来的瞬间，管壁对小球的压力为 mg，那么小球的初速度 v0应为多少？12解析 (1)由机械能守恒定律得 mv mg2R mv ，即要使小球能运动到 C 处，且从 C12 2
15、0 12 2C端出来，必须满足 vC0，即 mv mg2R，12 20v02 gR(2)以 AB 所在平面为零势面，则小球到达 C 处时的重力势能为 2mgR，从 B 到 C 列机械能守恒方程：mv 2 mgR mv 12 20 12 2C小球在 C 处受重力 mg 和细管竖直方向的作用力 FN，根据牛顿第二定律，得：mg FN 由解得 FN 5 mg讨论式，即得解：a.当小球受到向下的压力时，FN mg， v012 112gRb.当小球受到向上的压力时，FN mg， v012 92gR答案 (1) v02 (2) 或gR112gR 92gR【例 5】 如图 7 所示，小球沿水平面通过 O 点
16、进入半径为 R 的半圆弧轨道后恰能通过最高点 P，然后落回水平面。不计一切阻力，下列说法不正确的是( )9图 7A.小球落地点离 O 点的水平距离为 2RB.小球落地时的动能为 5mgR/2C.小球运动到半圆弧最高点 P 时向心力为零D.若将半圆弧轨道上部的 1/4 圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比 P 点高 0.5R解析 小球运动到半圆弧最高点 P 时，重力恰好提供向心力，即 mg ，所以vP ，小球经过 P 点后做平抛运动，下落时间 t2 ，小球落地点离 O 点的水平距离gRRgx vPt2 R，所以选项 C 错误，选项 A 正确；小球从 P 点到落地的过程中，机械能守恒，
17、所以落地时的动能 mv2 mv mg2R ，选项 B 正确；若将半圆弧轨道上部的 1/412 12 2P 5mgR2圆弧截去，其他条件不变，则小球离开轨道后做竖直上抛运动，设小球能达到的最大高度为 h，根据机械能守恒定律有 mgh mv2 mgR，所以 h ，比 P 点高 0.5R，选项 D 正确。12 52 5R2答案 C即 学 即 练3.一弹珠弹射玩具模型如图 8 所示，水平粗糙管 AB 内装有一轻弹簧，左端固定。竖直放置管道 BCD 光滑，其中 CD 为半径为 R0.1 m 的 圆周， C 与地面高度也为 R。用质量14m10.3 kg 的弹珠甲(可看成质点)将弹簧缓慢压缩到某一确定位置
18、 M，弹珠与弹簧不固连，由静止释放后弹珠甲恰停止在 D 点。用同种材料、质量为 m20.1 kg 的弹珠乙仍将弹簧缓慢压缩到 M 点释放，由静止释放后弹珠由 D 点飞出后落在与 D 点正下方 D点相距x0.8 m 处。 g10 m/s 2，求：10图 8(1)弹珠乙从 D 点飞出时的速度大小；(2)弹珠乙在 D 点时对轨道的弹力；(3)弹簧缓慢压缩到 M 点时储存的弹性势能。解析 (1)弹珠乙从 D 点飞出做平抛运动，则 2R gt2，12得 t0.2 svD 4 m/sxt(2)D：由 m2g FN m2 得 FN15N，方向竖直向下由牛顿第三定律知弹珠乙在 D 点时对轨道的弹力FN15N，
19、方向竖直向上(3)从 M 到 D 由动能定理：对弹珠甲有 W 弹 mgx MB m1g2R0，对弹珠乙有 W 弹 m 2gxMB m2g2R mv2v 0， W 弹 Ep， Ep1.2 J12 2D答案 (1)4 m/s (2)15 N，方向竖直向上 (3)1.2 J4.如图 9 所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道 ABC，其半径 R0.5 m，轨道在C 处与水平地面相切，在 C 处放一小物块，给它一水平向左的初速度 v05 m/s，结果它沿CBA 运动，通过 A 点，最后落在水平地面上的 D 点，求 C、 D 间的距离 x。(重力加速度 g取 10 m/s2)图 9解析 解法一 应用
20、机械能守恒定律求解。物块由 C 到 A 过程，只有重力做功，机械能守恒，则： Ep Ek，即 2mgR mv mv2，12 20 12物块从 A 到 D 过程做平抛运动，则竖直方向：2 R gt2，12水平方向： x vt，11由式并代入数据得： x1 m。解法二 应用动能定理求解。物块由 C 到 A 过程，只有重力做功，由动能定理得： mg2R mv2 mv ，12 12 20物块从 A 到 D 过程做平抛运动，则竖直方向：2 R gt212水平方向： x vt，由式并代入数据得： x1 m。答案 1 m1.关于机械能守恒，下列说法正确的是( )A.做自由落体运动的物体，机械能一定守恒B.人
21、乘电梯加速上升的过程，机械能守恒C.物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒D.合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒解析 做自由落体运动的物体，只受重力作用，机械能守恒，A 正确；人乘电梯加速上升的过程，电梯对人的支持力做功，故人的机械能不守恒，B 错误；物体在只有重力做功时，其他力也可存在，但不做功或做功之和为 0，机械能守恒，故 C 错误；合外力对物体做功为零，物体的动能不变，机械能不一定守恒，D 错误。答案 A2.(多选)如图 10 所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是( )图 10A.图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动B.图乙中运动员在蹦床上越跳越高C.图丙中小车上放
22、一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右振动时，木块相对12于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)D.图丙中如果小车振动时，木块相对小车有滑动解析 可以通过以下表格对各项逐一分析选项 分析 判断A 弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒 B 运动员越跳越高，表明她不断做功，机械能不守恒 C由于一对静摩擦力做的总功为零，故系统中只有弹簧弹力做功，机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒D滑动摩擦力做功，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，小物块光滑时，机械能守恒答案 AC3.(201510 月浙江学考)质量为 30 kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是 2.5
23、m。小孩的父亲将秋千板从最低点拉起 1.25 m 高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( )A.0 B.200 N C.600 N D.1 000 N解析 小孩子从最高点运动到最低点，由机械能守恒定律可得 mgh mv2， h1.25 m，由12牛顿第二定律可得 FN mg m ， R2.5 m，解以上两式得 FN600 N，再由牛顿第三定律v2R可知，小孩对秋千板的压力为 600 N。答案 C4.在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论，如图 11 所示，他们将选手简化为质量 m60 kg 的质点，选手抓住绳由静止
24、开始摆动，此时绳与竖直方向夹角 53，绳的悬挂点 O 距水面的高度为 H3 m。不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度 g10 m/s2，sin 530.8，cos 530.6。求选手摆到最低点时对绳拉力的大小 F。13图 11解析 由机械能守恒定律得： mgl(1cos ) mv212由圆周运动的知识得： F mg mv2l解得 F(32cos )mg人对绳的拉力 F F，则 F1 080 N。答案 1 080 N1.下列物体在运动过程中，可视为机械能守恒的是( )A.飘落中的树叶B.乘电梯匀速上升的人C.被掷出后在空中运动的铅球D.沿粗糙斜面匀速下滑的木箱
25、解析 A 项中，空气阻力对树叶做功，机械能不守恒；B 项中人的动能不变，重力势能变化，机械能变化；C 项中，空气阻力可以忽略不计，只有重力做功，机械能守恒；D 项中，木箱动能不变，重力势能减小，机械能减小。答案 C2.(201610 月浙江选考)如图 1 所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是( )图 1A.动能B.动能、重力势能C.重力势能、机械能D.动能、重力势能、机械能解析 无人机匀速上升，所以动能保持不变，所以选项 A、B、D 均错；高度不断增加，所以重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人机做正功，所以无人机机械能不断增加，所以选项 C 正确。答案 C143.下列四个选项的图
26、中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项 A、B、C 中斜面是光滑的，选项 D 中的斜面是粗糙的，选项 A、B 中的 F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项 A、B、D 中的木块向下运动，选项 C 中的木块自由向上滑行运动。在这四个图所示的运动过程中木块机械能守恒的是( )解析 根据机械能守恒条件：只有重力(或弹力)做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B 均有外力 F 参与做功，D 中有摩擦力做功，故 A、B、D 均不符合机械能守恒的条件，故选项 C 正确。答案 C4.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速
27、度大小( )A.一样大 B.水平抛的最大C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大解析 由机械能守恒定律 mgh mv mv 知，落地时速度 v2的大小相等，故 A 正确。12 21 12 2答案 A5.弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图 2 所示，橡皮筋两端点 A、 B 固定在把手上，橡皮筋处于 ACB 时恰好为原长状态，在 C 处( AB 连线的中垂线上)放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至 D 点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标。现将弹丸竖直向上发射，已知 E 是 CD 中点，则( )图 2A.从 D 到 C 过程中，弹丸的机械能守恒B.从 D 到 C 过程中，
28、弹丸的动能一直在增大15C.从 D 到 C 过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小D.从 D 到 E 过程橡皮筋对弹丸做功大于从 E 到 C 过程解析 A 项，从 D 到 C 除重力外还有橡皮筋弹力做功，弹丸的机械能不守恒，A 错；B 项，D 到 C 的过程，先弹力大于重力，弹丸加速，后重力大于弹力，弹丸减速，所以弹丸的动能先增大后减小，B 错；从 D 到 C，橡皮筋的形变量一直减小，所以其弹性势能一直减小，C 错误； D 到 E 的橡皮筋弹力大于 E 到 C 的橡皮筋弹力，弹丸位移相等，所以从 D 到 E 过程橡皮筋对弹丸做的功大于从 E 到 C 过程橡皮筋对弹丸做的功，D 正确。答案 D6.
29、某娱乐项目中，参与者抛出一小球去撞击触发器，从而进入下一关。现在将这个娱乐项目进行简化，假设参与者从触发器的正下方以速率 v 竖直上抛一小球，小球恰好击中触发器。若参与者仍在刚才的抛出点所在水平面上，沿下列四个不同的光滑轨道分别以速率 v抛出小球，则小球能够击中触发器的是( )图 3解析 假设抛出点到触发器的高度为 h，竖直上抛恰好击中，则根据动能定理有mgh mv2。若小球能到达 h 高度处，则其速度均为 0。分析 A、C，上升高度 h 到达圆弧轨12道最高点时，应该有 mg FN ，得 v ，所以小球不可能到达最高点，A、C 错mv 2R gR误；B 中小球离开斜面后速度斜向上做斜抛运动，
30、有水平速度且水平方向做匀速运动，因此最高点速度不可能为 0，根据机械能守恒，小球不能到达触发器，B 错误；D 中内外轨道可提供向内或者向外的弹力，轨道最高点向心力可以为零，因此最高点速度可以为 0，小球可以击中触发器，D 正确。答案 D7.如图 4 所示，质量、初速度大小都相同的 A、 B、 C 三个小球，在同一水平面上， A 球竖16直上抛， B 球以倾斜角 斜上抛，空气阻力不计， C 球沿倾角为 的光滑斜面上滑(斜面足够长)，它们上升的最大高度分别为 hA， hB， hC，则( )图 4A.hA hB hC B.hA hBhB D.hAhBhC解析 A 球和 C 球上升到最高点时速度均为零，而 B 球上升到最高点时仍有水平方向的速度，即仍有动能。对 A、 C 球而言 mgh mv 得 h ，对 B 球： mgh mv mv ，12 20 12 2t 12 20所以 h Rm0.4 m 时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到 B 点答案 (1)0.1 J 2 m/s (3)0.5 (3)见解析
