1、1第 8 节 习题课 动能定理的应用基 础 梳 理应用功的公式无法解决变力做功的问题，而应用动能定理就非常方便，应用动能定理求变力做的功的关键是对全过程运用动能定理列式，通过动能的变化求出合力做的功，进而间接求出变力做的功。典 例 精 析【例 1】 如图 1 所示，木板长为 l，木板的 A 端放一质量为 m 的小物体，物体与板间的动摩擦因数为 。开始时木板水平，在绕 O 点缓慢转过一个小角度 的过程中，若物体始终保持与板相对静止。对于这个过程中各力做功的情况，下列说法中正确的是( )图 1A.摩擦力对物体所做的功为 mglsin (1cos )B.弹力对物体所做的功为 mglsin cos C
2、.木板对物体所做的功为 mglsin D.合力对物体所做的功为 mglcos 解析 重力是恒力，可直接用功的计算公式，则 WG mgh；摩擦力虽是变力，但因摩擦力方向上物体没有发生位移，所以 Wf0；因木块缓慢运动，所以合力 F 合 0，则 W 合0；因支持力 FN为变力，不能直接用公式求它做的功，由动能定理 W 合 Ek知，WG WN0，所以 WN WG mgh mglsin 。答案 C变力所做的功一般不能直接由公式 W Flcos 求解，而是常采用动能定理求解。解题时须分清过程的初、末状态动能的大小以及整个过程中力做的总功。即 学 即 练21.质量为 m 的物体以初速度 v0沿水平面向左开
3、始运动，起始点 A 与一轻弹簧 O 端相距 s，如图 2 所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为 ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为 x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短的过程中，物体克服弹簧弹力所做的功为( )图 2A. mv mg (s x) B. mv mgx12 20 12 20C.mgs D.mg (s x)解析 设物体克服弹簧弹力所做的功为 W，则物体向左压缩弹簧过程中，弹簧弹力对物体做功为 W，摩擦力对物体做功为 mg (s x)，根据动能定理有 W mg (s x)0 mv ，所以 W mv mg (s x)。12 20 12 20答案 A基 础 梳 理1.分段应用动能定理时
4、，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。2.全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。典 例 精 析【例 2】 半径 R1 m 的 1/4 圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度 h1 m，如图 3 所示，有一质量 m1.0 kg 的小滑块自圆轨道最高点 A 由静止开始滑下，经过水平轨道末端 B 时速度为 4 m/
5、s，滑块最终落在地面上， g 取 10 m/s2，试求：图 33(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度大小；(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功。解析 (1)从 B 点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有mgh mv2 mv ，12 12 2B代入数据解得 v6 m/s。(2)设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为 Wf，对 A 到 B 这一过程运用动能定理有mgR Wf mv 0，12 2B解得 Wf2 J。答案 (1)6 m/s (2)2 J即 学 即 练2.如图 4 所示， MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段 MN 与水平段 NP 相切于 N， P 端固定一竖直挡板。
6、M 相对于 N 的高度为 h， NP 长度为 s。一物块从 M 端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次弹性碰撞(碰撞后物块速度大小不变，方向相反)后停止在水平轨道上某处。若在 MN 段的摩擦可忽略不计，物块与 NP 段轨道间的动摩擦因数为 ，求物块停止的地方距 N 点的距离的可能值。图 4解析 设物块的质量为 m，在水平轨道上滑行的总路程为 s，则物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，由动能定理得 mgh mgs 0解得 sh第一种可能：物块与挡板碰撞后，在 N 前停止，则物块停止的位置距 N 点的距离d2 s s2 sh第二种可能：物块与挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，然后滑下，在
7、水平轨道上停止，则物块停止的位置距 N 点的距离为： d s2 s 2 s。所以物块停止的位置距hN 点的距离可能为 2s 或 2 s。h h4答案 物块停止的位置距 N 点的距离可能为 2s 或 2 sh h基 础 梳 理动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，特别是在曲线运动中更显示出其优越性，所以动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量。(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐含的临界条件：有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为
8、vmin0。没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为 vmin 。gR典 例 精 析【例 3】 如图 5 所示，质量 m0.1 kg 的金属小球从距水平面 h2.0 m 的光滑斜面上由静止开始释放，运动到 A 点时无能量损耗，水平面 AB 是长 2.0 m 的粗糙平面，与半径为R0.4 m 的光滑的半圆形轨道 BCD 相切于 B 点，其中圆轨道在竖直平面内， D 为轨道的最高点，小球恰能通过最高点 D，求：( g10 m/s 2)图 5(1)小球运动到 A 点时的速度大小；(2)小球从 A 运动到 B 时摩擦阻力所做的功；(3)小球从 D 点飞出后落点 E 与 A 的距离
9、。解析 (1)根据题意和题图可得：小球下落到 A 点时由动能定理得：W mgh mv ，12 2A所以 vA m/s2 m/s2gh 2102 10(2)小球运动到 D 点时mg ， vD 2 m/sgR当小球由 B 运动到 D 点时由动能定理得： mg2R mv mv12 2D 12 2B5解得 vB 2 m/s5所以 A 到 B 时： Wf mv mv 0.1(2040) J1 J12 2B 12 2A 12(3)小球从 D 点飞出后做平抛运动，故有2R gt2， t 0.4 s12 4Rg水平位移 xBE vDt0.8 m所以 xAE xAB xBE1.2 m。答案 (1)2 m/s (
10、2)1 J (3)1.2 m10即 学 即 练3.如图 6 所示，质量为 m 的小球自由下落 d 后，沿竖直面内的固定轨道 ABC 运动， AB 是半径为 d 的 光滑圆弧， BC 是直径为 d 的粗糙半圆弧( B 是轨道的最低点)。小球恰好能运动到14C 点。求：图 6(1)小球运动到 B 处时对轨道的压力大小；(2)小球在 BC 上运动过程中，摩擦力对小球做的功。(重力加速度为 g)解析 (1)小球下落到 B 的过程由动能定理得 2mgd mv2，在 B 点： FN mg m ，得12 v2dFN5 mg，根据牛顿第三定律 FN FN5 mg。(2)在 C 点， mg m 。小球从 B 运
11、动到 C 的过程： mgd Wf mv mv2，得12 2C 12Wf mgd。34答案 (1)5 mg (2) mgd341.如图 7 所示，滑块从光滑曲面轨道顶点 A 由静止滑至粗糙的水平面的 C 点而停止。曲面轨道顶点离地面高度为 H，滑块在水平面上滑行的距离为 s，求滑块与水平面之间的摩擦因数 。6图 7解析 当滑块在水平面上滑行时可分析受力得f F N mg对滑块滑行的全过程运用动能定理可得mgH fs Ek0联立可得 Hs答案 Hs2.如图 8 所示，质量 m1 kg 的木块静止在高 h1.2 m 的平台上，木块与平台间的动摩擦因数 0.2，用水平推力 F20 N，使木块产生位移
12、l13 m 时撤去，木块又滑行 l21 m 后飞出平台，求木块落地时速度的大小。( g 取 10 m/s2)图 8解析 木块的运动分为三个阶段，先是在 l1段匀加速直线运动，然后是在 l2段匀减速直线运动，最后是平抛运动。考虑应用动能定理，设木块落地时的速度为 v，整个过程中各力做功情况分别为推力做功 WF Fl1，摩擦力做功 Wf mg (l1 l2)，重力做功 WG mgh，对整个过程由动能定理得Fl1 mg (l1 l2) mgh mv20，12代入数据解得 v8 m/s。2答案 8 m/s23.如图 9 所示，竖直平面内的 圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心线到圆心的34距离为
13、 R， A 端与圆心 O 等高， AD 为水平面， B 点在 O 的正下方，小球自 A 点正上方由静止7释放，自由下落至 A 点时进入管道，从上端口飞出后落在 C 点，当小球到达 B 点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的 9 倍。求：图 9(1)释放点距 A 点的竖直高度；(2)落点 C 与 A 点的水平距离。解析 (1)设小球到达 B 点的速度为 v1，因为到达 B 点时管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的 9 倍，所以有 9mg mg 从最高点到 B 点的过程中，由动能定理得mg(h R) mv 12 21由得： h3 R(2)设小球到达圆弧最高点的速度为 v2，落点 C 与 A 点
14、的水平距离为 x从 B 到最高点的过程中，由动能定理得 mg2R mv mv 12 2 12 21由平抛运动的规律得 R gt212R x v2t联立解得 x(2 1) R。2答案 (1)3 R (2)(2 1) R21.如图 1 所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点 A 的速度为 v，压缩弹簧至 C 点时弹簧最短， C 点距地面高度为h，则从 A 到 C 的过程中弹簧弹力做功是( )图 18A.mgh mv2 B. mv2 mgh12 12C. mgh D.( mgh mv2)12解析 由 A 到 C 的过程运用动能定理可得： mgh
15、W0 mv2，12所以 W mgh mv2，故 A 正确。12答案 A2.(2018绍兴一中期末)一人用力踢质量为 0.1 kg 的静止皮球，使球以 20 m/s 的速度飞出。假设人踢球瞬间对球平均作用力是 200 N，球在水平方向运动了 20 m 停止。那么人对球所做的功为( )A.5 J B.20 JC.50 J D.400 J解析 在踢球的过程中，人对球所做的功等于球动能的变化，则 W mv20 0.1202 12 12J20 J，故 B 正确。答案 B3.如图 2 所示，小球以初速度 v0从 A 点沿粗糙的轨道运动到高为 h 的 B 点后自动返回，其返回途中仍经过 A 点，则经过 A
16、点的速度大小为( )图 2A. B.C. D.解析 在从 A 到 B 的过程中，重力和摩擦力做负功，根据动能定理可得 mgh Wf mv ，12 20从 B 到 A 过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)根据动能定理可得 mgh Wf mv2，两式联立得再次经过 A 点的速度为 ，选12项 B 正确。答案 B94.(多选)质量为 m 的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率 P 和汽车受到的阻力 Ff均恒定不变，在时间 t 内，汽车的速度由 v0增加到最大速度 vm，汽车前进的距离为 s，则此段时间内发动机所做的功 W 可表示为( )A.W PtB.W
17、Ff sC.W mv mv Ff s12 2m 12 20D.W mv Ff s12 2m解析 由题意知，发动机功率不变，故 t 时间内发动机做功 W Pt，所以 A 正确；车做加速运动，故牵引力大于阻力 Ff，故 B 错误；根据动能定理 W Ff s mv mv ，所以 C12 2m 12 20正确，D 错误。答案 AC5.如图 3 所示 ，一质量为 m 的质点在半径为 R 的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的 A 点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压力为 FN。重力加速度为 g，则质点自A 滑到 B 的过程中，摩擦力对其所做的功为( )图 3A. R(FN3 mg) B.
18、R(3mg FN)12 12C. R(FN mg) D. R(FN2 mg)12 12解析 质点到达最低点 B 时，它对容器的正压力为 FN，根据牛顿第二定律有FN mg m ，根据动能定理，质点自 A 滑到 B 的过程中有 Wf mgR mv2，故摩擦力对其v2R 12所做的功 Wf RFN mgR，故 A 项正确。12 32答案 A6.如图 4 所示，一物体由 A 点以初速度 v0下滑到底端 B，它与挡板 B 做无动能损失的碰撞后又滑回到 A 点，其速度正好为零。设 A、 B 两点高度差为 h，则它与挡板碰前的速度大小为( )10图 4A. B. 2ghC. D.解析 下滑过程由动能定理，
19、mgh fs mv2 mv ，12 12 20碰撞无动能损失，物块上升过程，由动能定理，得 mgh fs0 mv2，12得 v ，故选项 C 正确。答案 C7.一艘由三个推力相等的发动机推动的气垫船在湖面上，由静止开始加速前进 s 距离后，关掉一个发动机，气垫船匀速运动，当气垫船将运动到码头时，又关掉两个发动机，最后它恰好停在码头，则三个发动机都关闭后，气垫船通过的距离是多少？解析 设每个发动机的推力是 F，湖水的阻力是 Ff。当关掉一个发动机时，气垫船做匀速运动，则：2F Ff0， Ff2 F。开始阶段，气垫船做匀加速运动，末速度为 v，气垫船的质量为 m，应用动能定理有(3F Ff)s m
20、v2，得 Fs mv2。12 12又关掉两个发动机时，气垫船做匀减速运动，应用动能定理有 Ffs10 mv2，得 2Fs112mv2。12所以 s1 ，即关闭发动机后气垫船通过的距离为 。s2 s2答案 s28.一个人站在距地面 20 m 的高处，将质量为 0.2 kg 的石块以 v012 m/s 的速度斜向上抛11出，石块的初速度方向与水平方向之间的夹角为 30， g 取 10 m/s2，求：(1)人抛石块过程中对石块做了多少功？(2)若不计空气阻力，石块落地时的速度大小是多少？(3)若落地时的速度大小为 22 m/s，石块在空中运动过程中克服阻力做了多少功？解析 (1)根据动能定理知， W
21、 mv 14.4 J12 20(2)不计空气阻力，根据动能定理得 mgh mv12 20解得 v1 23.32 m/s(3)由动能定理得 mgh Wf 解得 Wf mgh( )6 J答案 (1)14.4 J (2)23.32 m/s (3)6 J9.在温州市科技馆中，有个用来模拟天体运动的装置，其内部是一个类似锥形的漏斗容器，如图 5 甲所示。现在该装置的上方固定一个半径为 R 的四分之一光滑管道 AB，光滑管道下端刚好贴着锥形漏斗容器的边缘，如图乙所示。将一个质量为 m 的小球从管道的 A 点静止释放，小球从管道 B 点射出后刚好贴着锥形容器壁运动，由于摩擦阻力的作用，运动的高度越来越低，最
22、后从容器底部的孔 C 掉下，(轨迹大致如图乙虚线所示)，已知小球离开 C孔的速度为 v， A 到 C 的高度为 H。求：图 5(1)小球达到 B 端的速度大小；(2)小球在管口 B 端受到的支持力大小；(3)小球在锥形漏斗表面运动的过程中克服摩擦阻力所做的功。解析 (1)滑块在 A 端运动到 B 端的过程中，由动能定理 mgR mv12 2B得： vB 2gR12(2)设小球受到的支持力为 F，F mg m ，得： F3 mg(3)设克服摩擦阻力做的功为 W，根据动能定理：mgH W mv2，得 W mgH mv212 12答案 (1) (2)3 mg (3) mgH mv22gR1210.如
23、图 6 所示，质量为 m 的物体从高度为 h、倾角为 的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为 ，求：图 6(1)物体滑至斜面底端时的速度；(2)物体在水平面上滑行的距离。(不计斜面与平面交接处的动能损失)解析 (1)物体下滑过程中只有重力做功，且重力做功与路径无关，由动能定理：mgh mv2，可求得物体滑至斜面底端时速度大小为 v ；12 2gh(2)设物体在水平面上滑行的距离为 l，由动能定理： mgl 0 mv2，解得： l 。12 v22 g h答案 (1) (2)2ghh11.如图 7 所示，一个质量为 m0.6 kg 的小球以某一初速度
24、 v02 m/s 从 P 点水平抛出，从粗糙圆弧 ABC 的 A 点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)且恰好沿圆弧通过最高点 C，已知圆弧的圆心为 O，半径 R0.3 m， 60， g10 m/s2。试求：图 7(1)小球到达 A 点的速度 vA的大小；(2)P 点与 A 点的竖直高度 H；13(3)小球从圆弧 A 点运动到最高点 C 的过程中克服摩擦力所做的功 W。解析 (1)在 A 处由速度的合成得 vAv0cos 代入数值解得 vA4 m/s(2)P 到 A 小球做平抛运动，竖直分速度 vy v0tan 由运动学规律有 v 2 gH，由以上两式解得 H0.6 m2y(
25、3)恰好过 C 点满足 mg由 A 到 C 由动能定理得 mgR(1cos ) W mv mv12 2C 12 2A代入解得 W1.2 J。答案 (1)4 m/s (2)0.6 m (3)1.2 J12.(201711 月选考)如图 8 甲所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如图乙的示意图，倾角 37的两平行倾斜轨道 BC、 DE 的下端与水平半圆形轨道 CD 顺滑连接，倾斜轨道BC 的 B 端高度 h24 m，倾斜轨道 DE 与圆弧 EF 相切于 E 点，圆弧 EF 的圆心 O1、水平半圆轨道 CD 的圆心 O2与 A 点在同一水平面上， DO1的距离 L20 m。质量 m1 000 kg
26、的过山车(包括乘客)从 B 点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上另一倾斜轨道，到达圆弧顶端 F 时乘客对座椅的压力为自身重力的 0.25 倍。已知过山车在 BC、 DE 段运动时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数 ， EF 段摩擦力不计，整个运动过132程空气阻力不计。(sin 370.6，cos 370.8， g10 m/s 2)甲 乙图 8(1)求过山车过 F 点时的速度大小；(2)求从 B 到 F 整个运动过程中摩擦力对过山车做的功；(3)如果过 D 点时发现圆轨道 EF 段有故障，为保证乘客的安全，立即触发制动装置，使过山车不能到达 EF 段并保证不再下滑，则过山车受
27、到的摩擦力至少应多大？14解析 (1)对运动到 F 点的过山车受力分析，根据向心力公式可得 mg0.25 mg m ，r Lsin 代入已知数据可得 vF 3 m/s34gr 10(2)从 B 点到 F 点，根据动能定理，mg(h r) Wf mv 012 2F解得 Wf7.510 4 J(3)触发制动后能恰好到达 E 点对应的摩擦力为 Ff1 Ff1Lcos mgrcos 0 mv 12 2D未触发制动时，对 D 点到 F 点的过程，有 mg cos L cos mgr mv mv 12 2F 12 2D由两式得 Ff1 103 N4.610 3 N7316要使过山车停在倾斜轨道上的摩擦力为 Ff2Ff2 mgsin 610 3 N综合考虑两式，得 Ffm610 3 N答案 (1)3 m/s (2)7.510 4 J (3)6.010 3 N10
