1、【课时作业】(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A 级1已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 M，N 两点，且|MF|2|NF| ，则直线 l 的斜率为 ( )A B22 2C D22 24解析： 依题意得 F(1,0)设直线 MN 的方程为 xmy1.由Error!消去 x 并整理，得y24my40.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 y1y 24m ， y1y24.因为|MF| 2|NF| ，所以 y12y 2.联立和，消去 y1，y 2，得 m ，所以直线 l 的斜率是2 .故选 B.24 2答案： B2(2018全国卷)已
2、知双曲线 C： y 21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过x23F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN| ( )A. B332C2 D43解析： 由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线夹角为 2，则有 tan ，所以 30.13 33所以 MON260.又OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON，如图所示在 RtONF 中，|OF|2，则| ON| .3则在 RtOMN 中，|MN| |ON|tan 2 tan 603.3故选 B.答案： B3(2018益阳市，湘潭市调研试卷) 已知圆 C1：x 2(y
3、2) 24，抛物线C2：y 2 2px(p0)，C 1 与 C2 相交于 A，B 两点，| AB| ，则抛物线 C2 的方程为855_解析： 由题意，知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点，不妨记为 B，设A(m，n) |AB| ，855Error!Error!即 A .将 A 的坐标代入抛物线方程得 22p ，p ， 抛(85，165) (165) 85 165物线 C2的方程为 y2 x.325答案： y 2 x3254已知点 A 在椭圆 1 上，点 P 满足 ( 1) (R)( O 是坐标原点)，且x225 y29 AP OA 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为
4、_OA OP 解析： 因为 ( 1) ，AP OA 所以 ，即 O，A，P 三点共线，因为 72，OP OA OA OP 所以 | |272，OA OP OA 设 A(x，y)，OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的投影长度为| |cos OP | |x| 15，72|x|OA |2 72|x|x2 y2721625|x| 9|x|72216925当且仅当|x| 时取等号154答案： 155已知椭圆 C1： 1(ab0)的离心率 e 且与双曲线 C2： 1 有x2a2 y2b2 32 x2b2 y2b2 1共同焦点(1)求椭圆 C1 的方程；(2)在椭圆 C1 落在第一象
5、限的图象上任取一点作 C1 的切线 l，求 l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值解析： (1)由 e ，可得： ，32 ca 32即 ，所以 ，a 24b 2，c2a2 34 a2 b2a2 34又因为 c22b 21，即 a2b 22b 21，联立解得：a 24，b 21，所以椭圆 C1的方程为 y 21.x24(2)因为 l 与椭圆 C1相切于第一象限内的一点，所以直线 l 的斜率必存在且为负，设直线 l 的方程为 ykxm(k0，解得 kb0)的离心率为 ，短轴长为 2.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O
6、 为坐标原点，若 kOMkON ，求54原点 O 到直线 l 的距离的取值范围解析： (1)由题知 e ，2b2，又 a2b 2c 2，ca 32b 1，a2，椭圆 C 的标准方程为 y 21.x24(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立方程，得Error!得(4k 2 1)x28kmx4m 240，依题意， (8 km)24(4k 21)(4m 24)0，化简得 m24k21，x1x 2 ，x 1x2 ，8km4k2 1 4m2 44k2 1y1y2(kx 1m)( kx2m )k 2x1x2km( x1x 2)m 2，若 kOMkON ，则 ，即 4y1y25x 1x2，
7、54 y1y2x1x2 544k2x1x24km(x 1x 2)4m 25x 1x2，(4k25) 4km 4m 20，4m2 14k2 1 ( 8km4k2 1)即(4k 2 5)(m21)8k 2m2m 2(4k21) 0，化简得 m2k 2 ，54由得 0m 2 ， k2 ，65 120 54原点 O 到直线 l 的距离 d ，|m|1 k2d2 1 ，m21 k2 54 k21 k2 941 k2又 k2 ，120 540 d2 ，原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是 .87 0，2147 )2已知 F(1,0)，直线 l：x 1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足
8、为点Q，且 .QP QF FP FQ (1)求动点 P 的轨迹 G 的方程；(2)点 F 关于原点的对称点为 M，过点 F 的直线与 G 交于 A，B 两点，且 AB 不垂直于x 轴，直线 AM 交曲线 G 于点 C，直线 BM 交曲线 G 于点 D.证明直线 AB 与直线 CD 的倾斜角互补；直线 CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由解析： (1)设点 P(x，y)，则 Q(1，y)，由 F(1,0)及 ，得QP QF FP FQ (x1,0)(2，y )(x1，y)( 2，y) ，化简得 y24x，所以动点 P 的轨迹 G 的方程为 y24x .(2)由题易知点 F
9、 关于原点的对称点为 M(1,0)，设过点 F 的直线 AB 的方程为 xny1( n0)，联立方程得Error!消去 x，得 y24ny40，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y24.设直线 AM 的方程为 xmy1，联立方程得Error!消去 x，得 y24my 40，设 C(x3，y 3)，则 y1y34，即 y3 ，4y1易得 A ，C ，同理可得 B ，D .(y214，y1) (4y21，4y1) (y24，y2) (4y2，4y2)k AB ，k CD ，y1 y2y214 y24 4y1 y24y1 4y24y21 4y2 y1y2y1 y2 4y1 y2kABk CD0，设直线 AB，CD 的倾斜角分别为 ，则 tan tan ( )，又 0，0，且 ， ，2 ，即 .直线 AB 与直线 CD 的倾斜角互补易知直线 CD 的方程 y ，4y1 y2(x 4y21) 4y1令 y0，得 x 1，y1 y2y1 4y21 y21 y1y2 4y21 y21y21直线 CD 过定点(1,0)
