1、 【考纲解读】考点 考纲内容 5年统计 分析预测立体几何中的向量方法(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2015浙江文 18；理17；2016浙江理 17;2018浙江 19.1.以几何体为载体，综合考查平行或垂直关系证明，以及角与距离的计算.2.利用几何法证明平行、垂直关系，利用空间向量方法求角或距离.3.利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的
2、能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.浙江卷对空间向量方法考题较少，较为注重几何法的考查.4.备考重点：(1)掌握空间向量的坐标运算；(2)掌握角与距离的计算方法.【知识清单】1. 利用空间
3、向量证明平行问题1.直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量： l是空间一直线 ， A， B是直线 l上任意两点，则称 为直线 l的方向向量，与 平行的任AB AB 意非零向量也是直线 l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设 a， b是平面 内两不共线向量， n为平面 的法向量，则求法向量的方程组为Error!2.用向量证明空间中的平行关系设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1 l2(或 l1与 l2重合) v1 v2.设直线 l的方向向量为 v，与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l 或 l 存在两个实数x， y，使 v xv1 yv2.设直线
4、 l的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或 l v u.设平面 和 的法向量分别为 u1， u2，则 u1 u2.2. 利用空间向量证明垂直问题1. 用向量证明空间中的垂直关系设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1 l2v1v 2v1v20.设直线 l的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l vu .设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，则 u1u 2u1u20.2.共线与垂直的坐标表示设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 a ba b a1 b 1， a2 b 2， a3 b 3( R)，a bab0 a1b1 a2
5、b2 a3b30( a， b均为非零向量)3. 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作直线 aa，bb，则 a与 b所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角范围：两异面直线所成角 的取值范围是 (0,2向量求法：设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 ，则有 cos|ab.4. 直线与平面所成角1直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .|en|e|n|5.二面角1求二面角的大小(1)如图 1
6、，AB、CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB， CD(2)如图 2、3， 12,n分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 12,n(或1,) 6 .利用向量求空间距离1空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则ab( a1b1，a 2b2，a 3b3)；a( a1，a 2，a 3)；aba 1b1a 2b2a 3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则 ababa 1b 1，a 2b 2，a 3b 3(R)，a
7、bab0a 1b1a 2b2a 3b30(a，b 均为非零向量) (3)模、夹角和距离公式设 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则|a | ，aa a21 a2 a23cosa，b .ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23 b21 b2 b23设 A(a1，b 1，c 1)，B( a2，b 2，c 2)，则 222111|()()()ABdabc .2. 点面距的求法如图，设 AB 为平面 的一条斜线段， n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离 d .|AB n|n|【重点难点突破】考点 1 利用空间向量证明平行问题【1-1】 【选自
8、2017天津，理 17】如图，在三棱锥 P-ABC中，PA底面 ABC， 90BAC.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面 BDE；【答案】 （）证明见解析 【1-2】(1)如图所示，在长方体 OAEB O1A1E1B1中，| OA|3，| OB|4，| OO1|2，点 P在棱 AA1上，且|AP|2| PA1|，点 S在棱 BB1上，且| SB1|2| BS|，点 Q、 R分别是 O1B1、 AE的中点，求证： PQ RS.【答案】 PQ RS【解析】证明：方法一，如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(3,
9、0,0)， B(0,4,0)， O1(0,0,2)， A1(3,0,2)，B1(0,4,2)， E(3,4,0)| AP|2| PA1|， 1123AP.即 P (0,0,2)(0,0， )23 43 P点坐标为(3,0， )同理可得 Q(0,2,2)， R(3,2,0)， S(0,4， )43 23 2(,QRS. P S.又 RPQ， PQ RS.方法二：设 ,OAaBbCc，则11113232POABcab，113RSS c .Q,/R.又 RPQ， PQ RS.【领悟技法】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量
10、共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题【触类旁通】【变式一】 【湖北卷】如图，在棱长为2的正方体 1DCBA中， NMFE,分别是棱1,DAB的中点，点 QP,分别在棱 1, 上移动，且 20QP.（1）当 时，证明：直线 /1BC平面 EF.【答案】直线 /1BC平面 EFPQ.【解析】以 D为原点，射线 1,DCA分别为 zyx,轴的正半轴建立如图 3的空间直角坐标系 xyzD，由已知得 ),0(),1)2,0(),2(1 PFCB，所以 ,1， ,， ,1E，（1）证明：当 1时， )1,0(FP，因为 )2,0(1BC，所以 BC21，即 /，而 F
11、P平面 EQ，且 1BC平面 EQ，故直线 /1平面 FP.考点 2 利用空间向量证明垂直问题【2-1】 【2017 届江西省上饶市二模】如图，在长方体 1ABCD中， 133ABDA，点 P为线段 1AC上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_当 3时， 1/DP平面 1B；当 15时， 平面 A； AP的最大值为 90； 1D的最小值为 5.【答案】12223131,cos,PAD ，其分子化简得 25，当 5时， 1cos,0，故 1AP的最大值可以为钝角，错误.对于，根据计算的数据， 1331,PAD,2221 215，在对称轴 15，即 时取得最小值为 425，故错误.【2-2】
12、 【云南大理州宾川县第四高级中学】在边长是 2的正方体 ABCD- 1中， ,EF分别为1,ABC的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. xzy(1)求 EF的长(2)证明： /EF平面 1AD；(3)证明: 平面 C.【答案】 （1） 2； （2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)如图建立空间直角坐标系xzy【领悟技法】1.证明直线与直线垂直， 只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础3.
13、证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直【触类旁通】【变式一】 【广东省广州市普通高中毕业班综合测试】如图 5，在棱长为 a的正方体 1ABCD中，点E是棱 1D的中点，点 F在棱 1B上，且满足 12FB.（1）求证： 1AC；（2）在棱 1上确定一点 G，使 、 E、 、 四点共面，并求此时 1CG的长.图5D1 C1B1A1FED CBA【答案】 （1） 1EA；（2）故当 16Ga时， A、 E、 G、 F四点共面.【解析】 （1）证明：以点 D为坐标原点， 、 DC、 1所在直线分别为 x轴、 y轴、
14、 z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ,0a、 1,a、 10,、 1,02a、 1,3a，zyxD1 C1B1A1FED CBA所以 1,0Ca， 1,6Ea，因为 210ACEFa，所以 1AF，所以 1ACF；（2）设 0,Gah，因为平面 1/D平面 1B，平面 1D平面 E，平面 C平面 AEGF，所以 /AE，所以存在实数 ，使得 FA，因为 ,02Aa， 1,03Gah，所以 11,0,032aha，所以 1， 56h，所以 1156C，故当 16CGa时， A、 E、 G、 F四点共面.考点 3 异面直线所成的角【3-1】 【2018 年理数全国卷 II】在长方体 中，
15、， ，则异面直线 与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C【3-2】正方体 1ABCD中，点 P在 1AC上运动（包括端点） ，则 BP与 1AD所成角的取值范围是（ ）A. ,43 B. ,42 C. ,62 D. ,63【答案】D【解析】以点 D为原点，DA、DC、 1D 分别为 xyz、 、 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，设点 P坐标为 ,1x ，则 ,01BPxBC 设 1BPC、的夹角为 ，所以12 2cos 3Cx，所以当 3x 时， cos 取最大值3,26.当 1x 时， cos 取最小值 1,2.因为 1/BCAD .故选 D.【领悟技法】1.求一对异面
16、直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定 2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面 直线所成的角【触类旁通】【变式一】如图，正四面体 ABCD中， E、 F分别是棱 BC和 AD的中点，则直线 AE和 CF所成的角的余弦值为（ ）A. 13 B. 2 C. 14 D. 3【答案】B【解析】如图所示，作 AO底面 BCD，垂足为 O，O 为底面等边BCD 的中心
17、，建立空间直角坐标系不妨取CD=2则： 3323131,0,1,0,0,06CDBE，设点 M是线段 CD的中点，则： 233,6,6130,3126,.2AOMFAEC利用空间向量求解余弦值有：cos, 3FCAE.异面直线 AE与 CF所成角的余弦值为 2 .考点 4 直线与平面所成角【4-1】 【2018 浙江卷】如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值【答案】 （）见解析（）【解析】方法一：（）
18、由 得 ，所以 .由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，所以 是 与平面 所成的角.由 得 ，所以 ，故 . 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.【4-2】如图，在长方体 1CDA中， 1A， D2， 、 F分别是 A、 C的中点证明 1、 、 F、 四点共面，并求直线 C与平面 1F所成的角的正弦值大小.【答案】15故0uvw，解得 uvw取 1，得平面 1CFA的一个法向量 )1,(n又 1CD0,2，故 1D5n因此直线 1C与平面 FEA1所成的角的
19、正弦值大小为15【领悟技法】1.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角( 或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角( 钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【触类旁通】【变式一】如图，三棱柱 1ABC中， 01116,4BACAC， 2AB， ,PQ分别为棱 1,A的中点.（1）在平面 内过点 作 /M平面 1PQ交 于点 M，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面 1C侧面 1AB，求直线 AC与平面 1B所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析（2） 391【解析】
20、P为 1A的中点， 1PCA，又侧面 侧面 B，且面 1C面 11AB，1C平面 1， 1平面 ，在平面 AB内过点 P作 RA交 1于点 R，分别以 1,R的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz，则02,0,04,23PC， 10,23C.考点 5 二面角【5-1】 【2018 年江苏卷】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA 1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1 ）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值【答案】 （1） （2）【5-2】 【2017 课标 II，理
21、 19】如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD为等比三角形且垂直于底面 ABCD，o1,90,2ABCDBACE是 PD的中点.（1）证明：直线 /E 平面 PAB； （2）点 M在棱 PC 上，且直线 BM与底面 ABCD所成角为 o45 ，求二面角 MABD的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) 105.【解析】（1）取 PA的中点 F，连结 E， BF.则 0,A， 1,0B， ,10C， ,3P， (103)C， ， , (10)AB， ， ，设 ,01Mxyz则 1,13BMxyzPxyz，因为 BM与底面 ABCD所成的角为 45，而 0,n是底面 ABCD的法向量，所以 co
22、s,sin45B， 221zxy，即 2210xyz. 又 M在棱 PC上，设 PC,则 ,3xyz. 【领悟技法】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小， 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角【触类旁通】【变式一】 【2017 课标 1，理 18】如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C的余弦值.【解析】（1）由已知 BC，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD ，故 ABPD ，从
23、而 AB平面 PAD.又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.可取 (1,0)m.则 3cos,|n，所以二面角 APBC的余弦值为 3.考点 6 利用向量求空间距离【6-1】设正方体 的棱长为 2，则点 到平面 的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【领悟技法】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作 BH平面CMN 于 H.由 及 nn ，得| n|n | |n|，所以| | ，即 d .BH BM MH BH BM BH BM BH BH |nBM |n| |nBM |n|【触类旁通】【变式一】设正方体 ABCDA 1B
24、1C1D1的棱长为 2，则点 D1到平面 A1BD 的距离是( )A. B. 32 22C. D. 33 233【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D(0,0,0) ，B(2,2,0)，11(2,0)(2,0)(2,0)AB，设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y ，z )，则 120nDAxzBy，令 x1，则 n(1，1， 1)，点 D1到平面 A1BD 的距离是 1|23nd.【变式二】在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 和 间的距离 1ABCDE1AB1DE1BC【答案】 263【易错试题常警惕】易错典例 1.已知正三棱柱 AB
25、CA1B1C1中，AB2，AA 1 ，点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 AA1上3(1)当 AEEA 112 时，求证 DEBC 1；(2)是否存在点 E，使二面角 DBEA 等于 60，若存在求 AE 的长；若不存在，请说明理由易错分析：利用空间向量解决存在性问题时，容易出现解题不规范的情况正确解析： (1)证明：连结 DC1，因为 ABCA1B1C1为正三棱柱，所以ABC 为正三角形，又因为 D 为 AC 的中点，所以 BDAC，又平面 ABC平面 ACC1A1，所以 BD平面 ACC1A1，所以 BDDE.因为 AEEA 112，AB 2，AA 1 ，所以 AE ，AD1，333
26、所以在 RtADE 中，ADE 30，在 RtDCC 1中，C 1DC60，所以EDC 190，即 EDDC 1，所以 ED平面 BDC1，BC 1面 BDC1，所以 EDBC 1.(2)假设存在点 E 满足条件，设 AEh.取 A1C1的中点 D1，连结 DD1，则 DD1平面 ABC，所以 DD1AD ，DD 1BD，温馨提醒： 1.对于存在性问题，一般先假设存在，若能求出符合条件的解，则存在，若不能求出符合条件的解，则不存在.2.利用空间向量的方法解立体几何中开放性问题，可以化繁为简，化难为易，降低了思维难度.【学科素养提升之思想方法篇】化“生”为“熟”转化与化归的思想方法1.转化与化归
27、的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人
28、带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简 单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化
29、与化归的基本类型（1） 正与反、一般与特殊的转化；（2） 常量与变量的转化；（3） 数与形的转化；（4） 数学各分支之间的转化；（5） 相等与不相等之间的转化；（6） 实际问题与数学模型的转化.5常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推
30、理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合 A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U及补集获得原问题的解决.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.【典例】 【2017 北京，理 16】如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M在线段 PB上，PD/平面 MAC，PA=PD= 6，AB=4（I）求证：M 为 PB的中点；（II）求二面角 B-PD-A的大小；（III）求直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值【答案】 （）详见解析 ：（） 3 ；（） 269 【解析】
