1、单科标准练 (二)(满分：150 分 时间：120 分钟)(对应学生用书第 148 页)第卷一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 M x|x2，Nx|x 2x0，则下列关系中正确的是( )AM NR BM( RN)RCN( RM)R DMNMB N x|0 x1，MNx|x2， RN x|x0，或 x1，M( RN)R .故选 B.2已知 i 为虚数单位，实数 x，y 满足(x2i)iyi ，则|xy i|( )A1 B. C. D.2 3 5D (x2i)iyi，2xiyi，Error!，则|xy i|1
2、2i|.故选 D.53在矩形 ABCD 中，AB1，AD 2，点 E 满足 2 ，则 的值BC BE AE AB 为( )A1 B3 C. D.1092A 由四边形 ABCD 为矩形，由数量积几何意义知： ( )21.故选 A.AE AB AB 4函数 f(x) x2xsin x 的大致图象可能是( )12A BC DC 由 f(x)f( x)，x R ，得函数 f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称又 f 0，因此结合各选项知 C 正确，故(6) 12 (6)2 6 12 6 12 (6 1)选 C.5甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利甲、乙、丙让丁猜他
3、们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利 ”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )A吉利，奇瑞 B吉利，传祺C奇瑞，吉利 D奇瑞，传祺A 因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾， “丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选 A.6如图 1，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为( )图 1A8 B12 C18 D24B 由题意得，根
4、据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为V1 4324，三棱柱的体积为 V22V 1248，所以该几何体的13 12体积为 V12，故选 B.7甲、乙等 4 人参加 4100 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A. B. C. D.29 49 23 79D 由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有 C A 18 个，甲不跑第一棒，13 3乙不跑第二棒的基本事件有 C A A A 14.由古典概型的概率公式得在甲不13 3 12 2跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是 P .故选 D.1418 798已知实数 x，y
5、满足约束条件 Error!，则 z 的取值范围为( )x 5yA. 23，43B. 43，23C. ( ， 32 34， )D. ( ， 34 32， )C 作出的可行域为三角形(图略)，把 z 改写为 ，所以 可看x 5y 1z y 0x 5 1z作点( x，y) 和 (5,0)之间的斜率，记为 k，则 k ，23 43所以 z， ，.32 349元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图 2 所示，即最终输出的 x0，则一开始输入 x 的值为( )图 2A. B. C. D
6、.34 78 1516 3132C i 1，(1)x2x1，i2，(2)x2(2 x1)14x 3，i3，(3)x2(4 x3)18x 7，i4，(4)x2(8 x7)116x 15，i5，所以输出 16x150，得 x ，故选 C.151610若双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线被抛物线 y4x 2 所x2a2 y2b2截得的弦长为 ，则双曲线 C 的离心率为( )32A. B1 14C2 D4C 双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线方程不妨设为x2a2 y2b2bxay0，与抛物线方程联立， Error!，消去 y，得 4ax2bx 0，所以Error!，所以所截得的弦长为
7、，化简可得(1 b2a2)( b216a2) 32 ，bc 2 a2，(c 2a 2)c212a 4，e 4e 2120，得 e24 或3(舍)，bc4a2 32 3所以双曲线 C 的离心率 e2.11设函数 f(x)sin(x )(0， 0)的最小正周期为 ，且 f(x)f ，则下列说法不正确的是( )(8)Af(x) 的一个零点为8Bf(x)的一条对称轴为 x8Cf(x)在区间 上单调递增(38，58)Df 是偶函数(x 8)C 由 f(x) sin(x) 的最小正周期为 ，得 ，则 2.又 f(x)f ，2 (8)f(x) maxf ，即 2 2k (kZ)，(8) 8 2得 2k，kZ
8、.4故 f(x)sin sin .(2x 4 2k) (2x 4)f 0， f( x)的一个零点为 ，故 A 项正确；( 8) 8f 1， f(x)的一个对称轴为 x ，故 B 项正确；(8) 8当 x 时，2x ，(38，58) 4 (，32)f(x)在区间 上单调递减，故 C 项错误；(38，58)f sin sin cos 2x ，(x 8) 2(x 8) 4 (2x 2)f 是偶函数，故 D 项正确故选 C.(x 8)12已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P，Q ，使得以 PQ
9、为直径的圆过点 D(2，t) ，则实数 t 的取值范围为( )A( ，1 1， )B1,3C(，2 2 ，)7 7D2 ，2 7 7D 由题意可得直线 AB 的方程为 xy1，与 y24x 联立消去 x，可得y24y40，设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，则 y1y 24，y 1y24，设 E(xE，y E)，则 yE 2，x Ey E13，又|AB| x 1x 22y 11y 2128，所y1 y22以圆 E 是以(3,2) 为圆心， 4 为半径的圆，所以点 D 恒在圆 E 外圆 E 上存在点P，Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(2，t) ，即圆 E 上存在点 P，Q，使得D
10、PDQ ，设过 D 点的两直线分别切圆 E 于 P，Q点，要满足题意，则PDQ ，2所以 ，整理得 t24t 30，解得|EP |DE| 43 22 2 t2 222 t2 ，故实数 t 的取值范围为2 ，2 ，故选 D.7 7 7 7第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13(2 x)(x1) 4 的展开式中，x 2 的系数是_16 (x1) 4的展开式中，T 3C x2(1) 2，T 2C x1(1) 3，故 x，x 2的
11、系24 14数分别为4,6，从而(2x)( x1) 4的展开式中 x2的系数为 26(1)(4)16.14奇函数 f(x)的图象关于点 (1,0)对称，f(3)2，则 f(1)_.2 由题设得 f(x )f (x)，f(2x )f(x)0，从而有 f(2x )f(x)，f(x )为周期函数且周期为 2，所以 f(1)f (3)2.15已知圆锥的高为 3，侧面积为 20，若此圆锥内有一个体积为 V 的球，则 V 的最大值为_ 设圆锥的母线长 l，底面的半径为 r，则 rl20，即 rl20，又25681l2r 2 9，解得 l5，r 4.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为 R
12、，则(55 8) R 38，故 R ，所以 Vmax 3 .12 12 43 43(43) 2568116已知 a，b，c 是锐角 ABC 的内角 A，B ，C 所对的边，b ，且满3足 cos Bcos A ，则 ac 的取值范围是_ 2c ab cos Bcos A，由正弦定理得(3，232c ab(2sin Csin A)cos BsinBcos A0，即 sin C(2cos B1) 0，sin C0， cos B .12B 为ABC 的内角，B .3b ， 2，3asin A bsin B csin Cac2sin A2sin C2sin 2sin C(23 C)2 sin ，3 (
13、C 6)ABC 是锐角三角形， C ， C ，6 2 3 6 23ac 的取值范围为 .(3，23三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列a n满足a 3a 2a nan1 ，且 a2a 43(a 33)，其中 nN *.2n 1 2n(1)证明：数列a n是等比数列，并求其通项公式；(2)令 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Sn.解 (1)由 a 3a 2anan1 ，2n 1 2n得 a 2a nan1 3a 0，2n 1 2n即(a n 1a n)(an1 3a n) 0，由已知 an0，得 an1 a n0，所
14、以 an1 3a n.所以数列 an是公比为 3 的等比数列由 a2a 43(a 33) ，得 3a127a 13(9a 13) ，解得 a13，所以 an3 n.(2)由(1)知，b nna nn3 n，则 Snb 1b 2b 3b n1 b n323 233 3(n1)3 n1 n3 n，3Sn3 223 333 4(n1)3 nn3 n1 ，得2S n33 23 33 nn3 n1 n3n1 3n1 .31 3n1 3 (12 n) 32所以 Sn 3n1 .(n2 14) 3418(本小题满分 12 分) 如图 3(1)，在四边形 ABCD 中，ADBC ，BAD 90，AB2 ，BC
15、4，AD6，E 是 AD 上的点，3AE AD，P 为 BE 的中点，将ABE 沿 BE 折起到 A 1BE 的位置，使得13A1C4，如图 3(2)(1) (2)图 3(1)求证：平面 A1CP平面 A1BE；(2)求二面角 BA1PD 的余弦值解 (1)证明：在四边形 ABCD 中，ADBC， BAD90，AB2 ，BC4，AD 6，E 是 AD 上的点，AE AD，313BE4，ABE30 ，EBC60，BP2，BP 2PC 2BC 2，BPPC，A 1PAP2，A 1C4，A 1P2PC 2A 1C2，PCA 1P，BPA 1PP，PC平面 A1BE，PC平面 A1CP，平面 A1CP
16、平面 A1BE，(2)以 P 为原点，PB 为 x 轴，PC 为 y 轴，过 P 作平面 BCDE 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，A 1(1,0， )，P(0,0,0)，D(4，2 ，0)，所以 (2,0,0)，3 3 PB ( 1,0， )， (4，2 ，0)PA1 3 PD 3设平面 A1PD 的法向量为 n(x，y ，z)，则Error!取 x2 ，得 n(2 ，4,2)，3 3平面 A1PB 的法向量 n(0,1,0)，设二面角 BA1PD 的平面角为 ，则 cos .|mn|m|n| 432 22二面角 BA1PD 的余弦值为 .2219(本小题满分 1
17、2 分) 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 y(g)与尺寸 x(mm)之间近似满足关系式 ycx b(b、c 为大于 0 的常数) 按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等(e9，e7)品现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下：尺寸 x(mm) 38 48 58 68 78 88质量 y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比yx 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(1)现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望；(2)根据测
18、得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：(ln xiln yi)6 i 1(ln xi)6 i 1(ln yi)6 i 1(ln xi)26 i 175.3 24.6 18.3 101.4()根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程；()已知优等品的收益 z(单位：千元 )与 x，y 的关系为 z2y0.32x，则当优等品的尺寸 x 为何值时，收益 z 的预报值最大？附：对于样本(v i，u i)(i1,2，n)，其回归直线 ubva 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ，b n i 1 vi vui u n i 1 vi v2 n i 1viui nv u n i 1v2i
19、nv2 a u b ve2.7182.解 (1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 内，即(e9，e7)(0.302,0.388) yx则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，3 件为非优等品现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数 0,1,2,3.P(0) ，P( 1) ，C03C3C36 120 C13C23C36 920P(2) ，P( 3) ，C23C13C36 920 C3C03C36 120 的分布列为： 0 1 2 3P 120 920 920 120E()0 1 2 3 .120 920 920 120 32(2)对 ycx b(b，c 0)
20、 两边取自然对数得 ln yln cbln x .令 viln x i，u iln y i，得 ub va，且 aln c.()根据所给统计量及最小二乘估计公式有： ，b n i 1viui nv u n i 1v2i nv2 75.3 24.618.36101.4 24.626 0.270.54 12 61，a u b v (18.3 1224.6)得 ln 1， e，a c c 所求 y 关于 x 的回归方程为 yex .()由() 可知 yex ，则 2e 0.32x.z x令 t ，则 (t)0.32t 22et0.32 .x z (t e0.32)2 e20.32由优等品质量与尺寸的
21、比 (7,9)，即 x(49,81)y x ex (e9，e7) x当 t 8.5(7,9)时， 取最大值xe0.32 z 即优等品的尺寸 x72.3(mm)，收益 的预报值最大z 20(本小题满分 12 分) 如图 4，椭圆 E： 1(ab0 )的左、右焦x2a2 y2b2点分别为 F1，F 2，MF 2 x 轴，直线 MF1 交 y 轴于 H 点，OH ，Q 为椭圆 E24上的动点，F 1F2Q 的面积的最大值为 1.图 4(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 S(4,0)作两条直线与椭圆 E 分别交于 A，B，C，D ，且使 ADx 轴，如图，问四边形 ABCD 的两条对角线的交点是否为
22、定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由解 (1)设 F(c,0)，由题意可得 1，即 yM .c2a2 y2b2 b2aOH 是F 1F2M 的中位线，且 OH ，24|MF 2| ，即 ，整理得 a22b 4. 22 b2a 22又由题知，当 Q 在椭圆 E 的上顶点时，F 1F2M 的面积最大， 2cb 1，12整理得 bc1 ，即 b2(a2 b2)1，联立可得 2b6b 41，变形得(b21)(2b 4b 21)0，解得 b21，进而 a22.椭圆 E 的方程为 y 21.x22(2)设 A(x1，y 1)，C(x 2，y 2)，则由对称性可知 D(x1，y 1)，B(x 2，
23、y 2)设直线 AC 与 x 轴交于点(t,0) ，直线 AC 的方程为 xmyt (m0)，联立Error!，消去 x，得(m 2 2)y22mtyt 220，y 1y 2 ，y 1y2 ， 2mtm2 2 t2 2m2 2由 A，B ，S 三点共线 kASk BS，即 ，y1x1 4 y2x2 4将 x1my 1t，x 2my 2t 代入整理得y1(my2t4)y 2(my1t 4)0，即 2my1y2(t4)(y 1y 2)0，从而0，化简得 2m(4t2)0，2mt2 2 2mtt 4m2 2解得 t ，于是直线 AC 的方程为 xmy ， 12 12故直线 AC 过定点 .同理可得
24、BD 过定点 ，(12，0) (12，0)直线 AC 与 BD 的交点是定点，定点坐标为 .(12，0)21(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)ax 4ln x 的两个极值点 x1，x 2 满ax足 x1x 2，且 ex 23，其中 e 为自然对数的底数(1)求实数 a 的取值范围；(2)求 f(x2)f (x1)的取值范围解 (1)f(x)a ，ax2 4x ax2 4x ax2由题意知 x1， x2即为方程 ax24xa0 的两个根由根与系数的关系得Error!整理得 a .4x1 x2 4x2 1x2 4x2x2 1又 yx 2 在(e,3)上单调递增， a .1x2 (65，4
25、ee2 1)(2)f(x2)f(x 1)ax 2 4ln x 2ax 2 4ln x 1，ax2 ax1x 1 ，f(x 2)f(x 1)ax 2 4ln x2 ax 24ln 1x2 ax2 ax22a 8ln x 2，由(1)知 a ，代入得1x2 (x2 1x2) 4x2x2 1f(x2)f(x 1) 8ln x 2 8ln x 2，8x2x2 1(x2 1x2) 8x2 1x2 1令 tx (e 2,9)，于是可得 h(t) 4ln t，28t 8t 1故 h(t ) 0，16t 12 4t 4t2 2t 1tt 12 4t 12tt 12h(t)在(e 2,9)上单调递减，f(x 2
26、)f(x 1) .(325 8ln 3， 16e2 1)请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error! (t 为参数)，圆 C 的标准方程为( x3) 2( y3) 24.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；(2)若射线 (0) 与 l 的交点为 M，与圆 C 的交点为 A，B，且点 M 恰3好为线段 AB 的中点，求 a 的值解 (1)在直线 l 的参数方程中消去 t 可得，xy a0，34将 xc
27、os ， ysin 代入以上方程中，所以，直线 l 的极坐标方程为cos sin a0.34同理，圆 C 的极坐标方程为26cos 6sin 140.(2)在极坐标系中，由已知可设 M ，A ，B .(1，3) (2，3) (3，3)联立Error!可得 2(3 3 )14 0，3所以 2 3 33 .3因为点 M 恰好为 AB 的中点，所以 1 ，M .3 332 (3 332 ，3)把 M 代入 cos sin a0，(3 332 ，3) 34得 a0，31 32 1 32 34所以 a .9423(本小题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲已知 f(x)|mx3|2x n|.(1)当
28、 m2， n1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)当 m1， n0 时，f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 24，求 n 的取值范围解 (1)当 m2，n1 时，f(x)|2x3|2x 1|.不等式 f(x)2 等价于Error!或Error!或Error!解得 x 或 x 0，即 x0.32 32所以不等式 f(x)2 的解集是 (，0)(2)由题设可得，f(x)|x3|2x n|Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B(3 n,0)， C .( 3 n3 ，0) ( n2，3 n2)所以三角形 ABC 的面积为 .12(3 n 3 n3 )(3 n2) 6 n26由题设知， 24，6 n26解得 n6.
