1、第 14 课时 函数奇偶性的简单应用课时目标1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式2能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题识记强化1奇函数函数图象关于原点对称2偶函数函数图象关于 y 轴对称课时作业(时间：45 分钟，满分：90 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )Af(x)3x1 Bf(x)1xCf(x)1 Df(x)x1x答案：D解析：A.f(x)3x1 在定义域 R 上是增函数但不是奇函数B.f(x) 是奇函数但不1x是增函数C.f(x)1 不是奇函数且在定义域上不是增函数
2、，只有 D 符合1x2奇函数 yf(x)(xR)的图象必定经过点( )A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D. (a， f(1a)答案：C解析：f(a)f(a)，C 正确，故选 C.3若函数 f(x)x 2 (aR)，则下列结论正确的是( )axA对任意实数 a，f(x)在(0，)上是增函数B对任意实数 a，f(x)在(0，)上是减函数C存在实数 a，使 f(x)是偶函数D存在实数 a，使 f(x)是奇函数答案：C解析：对于 A，取 a4.5，则 f(1)1 2 5.5，f(1.5)1.5 2 5.25，显然4.51 4.51.5f(1)f(1.5)，所以 A 错误；对于 B，
3、取 a0，则 f(x)x 2在(0，)上是增函数，所以B 错误；对于 C，取 a0，则 f(x)x 2，定义域为(，0)(0，)，且 f(x)(x) 2x 2f(x)，则 f(x)是偶函数，所以 C 正确；对于 D，假设存在实数 a 使得 f(x)是奇函数，则 f(1)f(1)，又 f(1)1a，f(1)1a，f(1)1a，显然f(1)f(1)，即假设不成立，所以 D 错误故选 C.4设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x 2 x，则 f(1)( )12A B32 12C. D.32 12答案：A解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(1)f(1) .
4、325若 f(x)(xa)(x3)为 R 上的偶函数，则实数 a 的值为( )A3 B3WWWC6 D6答案：B$来&源： 解析：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x)，即(xa)(x3)(xa)(x3)，化简得(62a)x0. 因为 xR，所以 62a0，即 a3.6已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af(1)f(3)f(4)Bf(4)f(3)f(1)Cf(3)f(4)f(1)Df(1)f(4)f(3)答案：D解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)0，又 f(x)满足 f(x4)f(x)，则
5、f(4)f(0)0.又 f(x)f(x)且 f(x4)f(x)，所以 f(3)f(3)f(14)f(1)又 f(x)在区间0,2上是增函数，所以 f(1)f(0)，即 f(1)0，所以 f(1)f(1)0，f(3)f(1)0，于是 f(1)f(4)f(3)二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)7已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)x1，则 x0 时，f(x)_.答案：x1解析：当 x0 时，x0，f(x)x1，又 f(x)为偶函数，f(x)x1.8已知 yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域均为2,2，且它们在x0,2上图象如图所示，f(
6、x)g(x)的解集是_答案： 2,0)(0,1)解析：做出函数 f(x)，g(x)在2,2上的图象若 f(x)g(x)，f(x)图象应位于 g(x)图象上方，结合图象，f(x)g(x)解集为2,0)(0,1)$来&源：9若奇函数 f(x)(x0)在 x(0，)时，f(x)x1，则满足不等式 f(x1)x 20.F(x1)F(x 2) .1f x1 1f x2 f x2 f x1f x1 f x2f(x)是奇函数，f(x 1)x 20，f(x 1)f(x 1)0，f(x 2)f(x 2)0.f(x 1)f(x2)0，F(x 1)F(x 2)0.即 F(x1)F(x2)F(x)在(，0)上是增函数
7、11(13 分)奇函数 f(x)是定义在(1,1)上的减函数，若 f(m1)f(32m)0，求实数 m 的取值范围解：原不等式化为 f(m1)f(32m)因为 f(x)是奇函数，所以 f(m1)f(2m3)因为 f(x)是减函数，所以 m12m3，所以 m2.又 f(x)的定义域为(1,1)，所以1m11 且132m1，所以 0m2 且 1m2，所以 1m2.综上得 1m2.故实数 m 的取值范围是(1,2)能力提升12(5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，则 f(6)的值为( )A1 B0C1 D2答案：B解析：f(x)是 R 上的奇函数f(0)0.f(2)
8、f(0)0.f(4)f(2)0.f(6)f(42)f(4)0.13(15 分)已知函数 f(x) 是定义在(1,1)上的奇函数，且 f( ) .ax b1 x2 12 25(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的值域解：(1)因为 f(x) 是定义在(1,1)上的奇函数，所以 f(x)f(x)，即ax b1 x2 ，求得 b0.a x b1 x 2 ax b1 x2资*源%库 又 f( ) ，即 ，求得 a1.12 2512a1 12 2 25故所求函数解析式为 f(x) (x(1,1)x1 x2(2)当 x0 时，f(0)0；当 x0 时，f(x) x1 x2 1x 1x
9、令 u(x)x ，x(1,1)，且 x0，设任意的 x1，x 2(0,1)，且 x1x 2，则1xu(x1)u(x 2)x 1 (x 2 )(x 1x 2)(1 )1x1 1x2 1x1x2因为 0x 1x 21，所以 0x 1x21,1 0.1x1x2又 x1x 20，所以 u(x1)u(x 2)0，即 u(x1)u(x 2)，故 u(x)在(0,1)上单调递减同理可得 u(x)在(1,0)上单调递减所以当 x(1,0)时，u(x)u(1)2,0f(x) ；12当 x(0,1)时，u(x)u(1)2,0f(x) .12又 x0 时，f(0)0，所以当 x(1,1)时，函数 f(x)的值域为( ， )12 12
