1、中档大题规范练( 一)(建议用时：60 分钟)1已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn2a n2 n 1.(1)求数列a n的通项公式；(2)若不等式 2n2n3(5 )an 对nN *恒成立，求实数 的取值范围解 (1)当 n1 时，S n 2an2 n1 ，即 S1a 12a 12 2，得 a14.当 n2 时，有 Sn1 2a n1 2 n，则 an2a n2a n1 2 n，得 an2a n1 2 n，所以 1，所以数列 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列an2n an 12n 1 an2n所以 n1，即 an(n1)2 n.an2n(2)原不等式即(n1)(2 n 3)
2、(5)( n1)2 n，等价于 5 .2n 32n记 bn ，则 5 bn对nN *恒成立，所以 5(b n)max.2n 32nbn1 b n ，当 n1,2 时，52n0，b n1 b n，即2n 12n 1 2n 32n 5 2n2n 1b1b 2b 3；当 n2，nN *时，52n0，b n1 b n，即 b3 b4b 5；所以数列b n的最大项为 b3 ，所以 5 ，解得 .38 38 378(教师备选)1在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin(AC)2sin Acos(AB)，且 C .34(1)求证：a， b,2a 成等比数列；(2)若ABC 的面
3、积是 2，求各边的长解 (1)证明：AB C，sin(AC)2sin Acos(AB)，sin B2sin Acos C，在ABC 中，由正弦定理得，b2acos C, C ，b a，34 2则 b22a 2a2aa，b,2a 成等比数列(2) S absin C ab2，则 ab4 ， 12 24 2由(1)知，b a，联立两式解得 a2，b2 ， 2 2由余弦定理得，c 2a 2b 22abcos C48222 20，2 ( 22)c2 .52在 2018 年 3 月郑州第二次模拟考试中，某校共有 100 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 130 的占 95%，数学成绩的频率分布直
4、方图如图 61图 61(1)如果成绩不低于 130 的为特别优秀，这 100 名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有 3 人从(1)中的这些同学中随机抽取 2 人，求这两人两科成绩都特别优秀的概率；根据以上数据，完成 22 列联表，并分析是否有 99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考数据：K 2 ；nad bc2a bc da cb dP(K2k 0) 0.50 0.40 0.010 0.005 0.001k0 0.455 0.708 6.635 7.879
5、10.828解 (1)共有 100 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 130 的占95%，语文成绩特别优秀的概率为 P110.950.05 ，语文特别优秀的同学有1000.055 人，数学成绩特别优秀的概率为 P2 0.002200.04，数学特别优秀的同学有 1000.044 人(2)语文数学两科都特别优秀的有 3 人，单科特别优秀的有 3 人，记两科都特别优秀的 3 人分别为 A1，A 2，A 3，单科特别优秀的 3 人分别为B1，B 2，B 3，从中随机抽取 2 人，共有：( A1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，
6、 B3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3， B1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)共 15 种，其中这两人两科成绩都特别优秀的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)这 3 种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：P .315 1522 列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 3 1 4数学不特别优秀 2 94 96合计 5 95 100K 2 42.9826.635，100394 122496595 2 45057有 99%的把握认为语文特别优秀的同学，
7、数学也特别优秀2在四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD，ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点为 M，又 PA AB4，ADCD，点 N 是 CD 中点图 62(1)求证：MN 平面 PAD；(2)求点 M 到平面 PBC 的距离解 (1)证明：在正三角形 ABC 中，ABBC，在ACD 中，ADCD，又 BD BD，所以ABD CBD，所以 M 为 AC 的中点，又点 N 是 CD 中点，所以 MNAD，又 AD 平面 PAD，MN 平面 PAD，所以 MN平面 PAD；(2)设 M 到平面 PBC 的距离为 h，在 RtPAB 中， PAAB 4，所以PB4 ，2在 Rt PAC
8、 中，PAAC4，所以 PC4 ，2在PBC 中，PB 4 ，PC4 ，BC4，所以 SPBC 4 ，2 2 7由 VMPBCV PBMC，即 4 h 2 4，解得 h ，13 7 13 3 2217所以点 M 到平面 PBC 的距离为 .22173某高校在 2018 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号 分组 频数 频率第一组 145,155) 5 0.05第二组 155,165) 35 0.35第三组 165,175) 30 a第四组 175,185) b c第五组 185,195) 10 0.1(1)请写出频率分布表中 a、
9、b、c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；(2)为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名考生进入第二轮面试求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；在(2)的前提下，学校要求每个学生需从 A、B 两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题 B 的概率解 (1)由题意知，a0.3 ，b20，c0.2，1500.05 1600.35 1700.31800.21900.1169.5.x(2)第 3、4 、5 组共 60 名学生，现抽取 6 名，因此第三组抽取的人数为
10、303 人，660第四组抽取的人数为 202 人，第五组抽取的人数为 101 人660 660所有基本事件如下：(A，A，A ，A)，(B，A，A，A)，(A ，B，A，A )，(A，A，B，A) ，(A，A，A，B) ，(B，B，A，A)，(B，A ，B，A )，(B ，A，A ，B)，(A，B，B，A) ，(A，B，A，B) ，(A，A，B，B)，(B，B ，B，A )，(B ，B，A ，B)，(B，A，B，B) ，(A，B，B，B) ，(B，B，B，B)基本事件总数有 16 个，其中第三组和第五组恰有两个学生选到问题 B 的基本事件如下： (B，B，A ，A)，(B，A，B，A) ，(B
11、，A，A，B) ，(A，B，B，A)，(A，B ，A，B )，(A ，A，B ，B)，共包含 6 个基本事件故第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题 B 的概率 P .616 384选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，A (2,0)，B(0， 2)，M 是曲线 C 上任意一点，求ABM 面积的最小值解 (1)由Error!，得(x3) 2( y4) 24，将Error!代入得 26cos 8sin 210，即为
12、曲线 C 的极坐标方程(2)设点 M(32cos ，42sin )到直线 AB：xy20 的距离为 d，则d ，|2sin 2cos 9|2 |22sin( 4) 9|2当 sin 1 时，d 有最小值 .( 4) 9 222所以ABM 面积 Smin |AB|d92 .12 2选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x 2|.(1)解不等式 f(x)4|x 1|；(2) 已知 a b2(a0，b0) ，求证 f(x ) .|x 52| 4a 1b解 (1)不等式 f(x)4|x1| ，即|x1| x2|4，当 x2 时，不等式化为(x 1)(x2)4，解得 x3.5；当2x 1 时，不等式化为 (x1)(x2)4，无解；当 x1 时，不等式化为(x 1)(x2)4，解得 x0.5；综上所述：不等式的解集为x| x3.5 或 x0.5(2) (ab) 4.5，4a 1b 12(4a 1b) 12(4 4ba ab 1)当且仅当 a ，b 时等号成立43 23由题意知， f(x) |x2| 4.5，|x 52| |x 52| |x 52 x 2|所以 f(x) .|x 52| 4a 1b
