1、1荆州中学高三上学期第 5 次双周考理科数学测试卷一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ，集合 ，且 ，若集合 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”B. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”D. “若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题3.中国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱） ，3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共
2、入 510 贯” ，则该人 12 月营收贯数为（ ）A. 35 B. 65 C. 70 D. 604.为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度5.下列函数中既是奇函数又在区间 1,上单调递减的是（ ） A 1xy B C xysin D2log()yx)2(.6. 已知函数 ，若 互不相等，且 ，则)1(log0sin(28xxf,abc()()fabfc的取值范围是 ( )abcA(1,2018) B(1,2019) C(2,2019) D(2,2018) 7.已知数列 的前 n
3、 项和为 ， 且对于任意 满足nS12,a1,nN2则 =( )121,nnSS0A.91 B.90 C.55 D.1008. 已知函数 yf（x）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若 0 D不能确定1xf2f9. 设函数 的导函数 的最大值为 3，则 的图象)0(1)6sin()xf )(xf )(xf的一条对称轴的方程是 （ ）A B C. D9x 3210.在平面直角坐标系中， 、 、 、 是单位圆上的四段ACDEFAGH弧（如图） ，点 在其中一段弧上，角 以 为始边， 为终边，POxP若 ，则 所在的圆弧是（ ）tancosin ABACDEFDAGH11.已知 表示正整
4、数 n 的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有()f1,2,3,4,6,12，则 ；21 的因数有 1,3,7,21，则 那么 的值为(12)3f(21),f105()if( )A.2488 B.2495 C.2498 D.250012.已知函数 则下列关于函数 的零点个2(0),()ln.xef1(0)yfkx数的判断正确的是( )A.当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点；当 k0 时，有 3 个零点 C.无论 k 为何值，均有 3 个零点 xyOBADCFEHG3D.无论 k 为何值，均有 4 个零点二、填空题：每小题 5 分，共 20 分；直接将答案填写在答卷
5、上，不用写计算过程13.在 ， ，则 的值为 ABC120,7ABCsinB14. 设 x， y， z 是实数，9 x，12 y，15 z 成等比数列，且 ， ， 成等差数列，则1xyz的值是_z15设 ( 是两两不等的常数),则()()fxaxbc,a的值是_.)()( fff16.已知函数 ，若存在 ，使得42x1231,4nxx 1()fx+2f，则正整数 的最大值为 +1()nf=(nfn三、解答题：共 70 分；要求在答卷上写出详细的计算与推演过程17.（本题满分 12 分）已知函数 23()cosincos,fxxxR（1）求函数 的最小正周期；()fx（2）求函数 在 上的最值及
6、相应 的值f,4x18.(本小题满分 12 分)已知 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 ，且 为na nS与 的等差中项.na1（1）求数列 的通项公式；n（2）设 求 的前 n 项和 .1,nbabT19 （本题满分 12 分）已知函数 ()3xxfR（1）是否存在实数 使得 为奇函数？若存在，求出实数 ，若不存在，请说明理由；4（2）在（1）的结论下，若不等式 在 上恒成立，求实(41)(2)0ttffm1,t数 的取值范围m20. （本大题满分 12 分） 如图所示，已知 是半径为 1，圆心角为 的扇形， 是扇OPQA形弧 上的动点， ， 与 交于点 ， ， 与 交于PQ/ABAB
7、/COPQC点 .记 .C=O(1).若 ，如图 1，当角 取何值时，能使矩形 的面积最大；2(2).若 ，如图 2，当角 取何值时，能使平行四边形 的面积最大.并求出3 ABC最大面积.21 （本小题满分 12 分） 已知函数 .（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求实数的值；（2）设 ，若对任意两个不等的正数 ， 恒成立，求实数 a的取值范围；（3）若在 上存在一点 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围. 图 1 图 256荆州中学高三上学期第 5 次双周考理科数学测试卷参考答案一：选择题 CDCCB， CACAC， DC二：填空题 13. 14. 15.0 16. 8 3514三：解
8、答题： 17解：（1） 2 分cos23()sin23sin(2)xfx x 4 分=T（2） ， 6 分,4x5,36x当 即 时， 9 分36max1()sin2f当 即 时， 12 分2x1xi()18.解：（1）由题意知， ，即 nnSa21,nSa当 n=1 时，由式可得 1;当 时,有 带入式，得2n,nnaS2112()(),nnnS整理得21.所以 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，2n 2.nS因为 各项都为正数，所以 4 分a,nS所以 1(2)nnS又 所以 6 分1, 1.（2）()()1,1nnnnba当 n 为奇数时， 1()3221;Tnnn当 n 为偶数时，
9、71(2)32121.nTnnn所以 的前 n 项和 12 分b1.nT19解：（1）若 为奇函数，则 ，1 分()fx(0)f即 ，解得 ，2 分+=0，则存在 ，使得 为奇函数4 分()3(3)(xxf fx 1()fx（2） （ ） ， ，5 分R3)ln0x则 在 上为增函数，6 分()fxR 为奇函数， ，(41)(2)0ttffm即 ，7 分(41)t tfm又 在 上为增函数， ，8 分xRtt则 恒成立，2()1,(,)ttt令 ，则 ，10 分12,tn254mn令 ，25()4g，11 分min 12 分120. 解（1）如图，连结 OA，设AOP=，矩形 ABOC 的面积
10、为 S，则 OB=cos,AB=sin.所以 S=OBAB=sincos= 2 分1sin2,当 ,即 时， 24maxS所以矩形 ABOC 的面积最大时， ； 5 分 4（2）如图，连结 OA，设AOP=，过 A 作 AHOP，垂足为 H，在 RtAOH 中，AH=sin,OH=cos.8在 RtABH 中， 所以AHtan3,B3BHsin,所以 Ocosi.设平行四边形 ABOC 的面积为 S，则 = 3SOBAH(cosin)s= = =23sincosin13i(1cos2)6in269 分 i()6因为 所以 所以当0,352,6626,即 时， ,6maxS所以当 时，平行四边形
11、 ABOC 的面积最大， . 12 分max3S621.解：（1）由 ，得 . 由题意， ，所以 . （2） .因为对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，设 ，则即 恒成立. 问题等价于函数 ，即 在 上为增函数， 所以 在 上恒成立.即 在 上恒成立.所以 ，即实数 a 的取值范围是 . （3）不等式 等价于 ，整理得9.构造函数 ，由题意知，在 上存在一点 ，使得 .因为 ，所以 ，令 ，得 .当 ，即 时， 在 上单调递增.只需 ，解得 .当 即 时， 在 处取最小值.令 即 ，可得 .令 ，即 ，不等式 可化为 .因为 ，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立.当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得.综上所述，实数 a 的取值范围是 .10
