1、济南外国语学校 2018 年 12 月月考数学(文科）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知全集 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则下列结论正确的是A B C D 2已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）17a16log7b17log6cabcA B C D cabc3下列命题中错误的是A 命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题B 命题“ ”的否定是“ ”C 若 为真命题，则 为真命题D 使“ ”是“ ”的必要不充分条件4 i 为虚数单位，A i B C 1 D 5已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位，所得函数的部分图象如图所示，则 的值为（ ）A B C D 6已知点 分
2、别在正方形 的边 上运动，且 ，设 ， ，若，则 的最大值为（ ）A 2 B 4 C D 7某几何体的三视图如图所示（单位：cm ） ，则该几何体的体积 （单位：cm 3）是A 8 B C 16 D 168我国古代数学著作孙子算经 中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 102（mod4） 现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A 13 B 11 C 15 D 89已知数列 为等差数列，且 ，则 （
3、 ）A B C D 10在 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，则（ ）A B C D 11函数 在 上的图像大致为（ ）A B C D 12已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题13已知直线 与 互相垂直，且 经过点 ，则 _14曲线 在点 处的切线方程是_.15已知 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时 ，则 _。16已知实数 满足 则目标函数 的最大值为_三、解答题17设 ，命题 “方程 有实数根” ， 命题 “对任意实数， 恒成立”.（1）若 为真命题，求的最大值；（2）若 为真命题，且 为假命题，求的取值范围.18在 中，角 的对边分别是 ，
4、且 .（）求角 的大小；（）若 ，求 面积的最大值19已知首项为 的等差数列 中， 是 的等比中项.(1) 求数列 的通项公式；(2) 若数列 是单调数列，且数列 满足 ，求数列 的前项和 .20如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是正方形，点 是 的中点，且交 于点 ， .（1）求证： ；（2）若 ，求三棱锥 的体积.21在平面内，已知点 ，圆 C： ，点 P 是圆 C 上的一个动点，记线段 PA 的中点为 Q求点 Q 的轨迹方程；若直线 l： 与 Q 的轨迹交于 M， N 两点，是否存在直线 l，使得 为坐标原点，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由22已知函数 .ln1xfme（
5、）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1yf1f，（）当 时，证明： .1m1fx参考答案1 A【解析】【分析】先求函数 的定义域 ，再求集合 ，再结合选项判断即可.【详解】函数 的定义域为 , ,结合选项 正确，选 A.【点睛】本题考查了对数函数的定义域以及集合的运算，属基础题.2 A【解析】由题易知： ，1716161717log7loglog6log0222abc， ， ， ， c故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来
6、进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小0,13 C【解析】【分析】由原命题与逆否命题真假性相同判断 A，由特称命题的否定形式判断 B,由复合命题的真假判断 C，由充分性必要性条件判断 D.【详解】A.“若 ，则 ”为真命题，则其逆否命题为真命题，A 正确.B.特称命题的否定需要将存在量词变为全称量词，再否定其结论，故 B 正确.C. 为真命题，包含 有一个为真一个为假和 均为真， 为真则需要两者均为真，故若 为真命题， 不一定为真.C 错.D.若 ， ，使 成立，反之不一定成立.故 D 正确。故本题选 C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，充分必要条
7、件的判断方法，全称命题与特称命题的否定，以及逆否命题等基础知识，是基础题.4 D【解析】【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果【详解】，故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，i 的幂的运算，是基础题5 A【解析】由题意得 = ,则,由图知 ,则 ,由 ,得 ,解得 的值为 ,故选 A.6 C【解析】 ,又因为 , ,当且仅当 x=y 时取等号, ,即的最大值为 ,故选 C.7 B【解析】【分析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可【详解】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为： =8故选 B【点睛】本题是基
8、础题，考查几何体的体积的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键8 A【解析】【分析】按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。【详解】第一步：第二步：第三步：第四步：最后： ，输出 的值，故选 A。【点睛】程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。9 A【解析】分析：先化简 ，再求 .详解：由题得所以 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列 中，如果 ,则 ,特殊地， 时，则 ， 是 的等差中项.10 B【解析】【分析】根据三角形的面积公式求
9、得 b 的值，再根据余弦定理求得 c 的值，再根据正弦定理求解的值.【详解】，得 ，又根据余弦定理得：，即 ，所以 故选 B.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理的应用,考查了运算求解能力 ;熟练掌握公式和定理是解答本题的关键.11 B【解析】【分析】利用函数 为偶函数及特殊值的函数值对选项逐一判断.【详解】因为函数 为偶函数，排除 A、D,又 = 7,排除 C,故选 B.【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性、奇偶性与极值，利用函数的奇偶性和导数是解决本题的关键12 B【解析】【分析】由题意， 恒成立，等价于直线 始终落在函数 图象的下方，即直线夹在 过点
10、 的切线与直线 之间，从而将问题转化为求切线斜率.【详解】由题意可以作出函数 与 的图象，如图所示若不等式 恒成立，必有 ，其中是 过点 的切线斜率设切点为 ，因为 ，所以，解得 ，所以 ，故【点睛】该题考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查创新意识和推理论证能力.13 -2【解析】【分析】将点 代入直线 l1，可得 a,经检验可得直线 l1 的斜率存在，由斜率之积等于1 建立方程，解方程求得 b 的值【详解】由于 经过点 ，可得 a=1又直线 与 互相垂直， 的斜率必存在且为又 ， ，解得 b=2， 故答案为-2.【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1，注意考
11、虑斜率不存在的情况，属于基础题14 xy2 0【解析】试题分析：根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可解：y=2+3x 2y|x=1=1而切点的坐标为（1， 1）曲线 y=x32x 在 x=1 的处的切线方程为 xy2=0故答案为：xy2=015【解析】【分析】由函数的周期为 ，结合函数为奇函数，即可得解【详解】由于函数的周期为 ，故 ，由于函数为奇函数，所以.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性以及函数值的求解策略.将大的数，通过周期变为小的数来求解.属于基础题.16 14【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目
12、标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】作可行域如图所示，由图可知，当过点 时，取得最大值 14【点睛】该题考查的是线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力.17 （ 1） ；（2）【解析】【分析】（1）不等式左右变量分离，只需求解不等式 的解集即可.（2） 为真命题，且 为假命题,可知 p、q 真假情况是：一真一假，然后分类讨论求解 t 的范围.【详解】（1）若 为真命题, 则 , 解得 .故的最大值是 . （2）若命题 为真命题, 则 解得 .若 为真命题，且 为假命题，则“ 真 假”或“ 假 真” ，即或 ,解得 或故的取值范围是
13、 .【点睛】本题考查了利用复合命题的真假判断求解参数的范围、复合命题的真值表、分类讨论思想，题目综合性较强，属于中档题； 在解题中需要认真审题，仔细运算，防止一点错误而“满盘皆输”.18 （） ；（） .【解析】分析：（1）由正弦定理进行边角互化得 。（2）由余弦定理 结合基本不等式进行求解。详解：（）由正弦定理可得：从而可得： ，即又 为三角形内角，所以 ，于是又 为三角形内角，所以 （）由余弦定理： 得： ，所以 ，所以 .点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。19 （ 1） 或 （2）【解析】试题分析：（1）由首项为 ， 是 的等比中项，即
14、可求出公差，从而求出数列 的通项公式；（2）由（1 ）及数列 是单调数列得 ，再根据 ，利用错位相减法即可求出试题解析：(1) 是 的等比中项， 是等差数列或 或(2)由(1)及 是单调数列知 得 点睛：错位相减法求和的注意事项：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解20 （1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证 AM 平面 SCD，再由线面垂直的性质定理可得 AM SC，
15、已知 ，可证 ，即可证明 ；（2）M 是 SD 的中点，由（1）三知：三棱锥 的体积，只需求解三棱锥 的体积.【详解】（1）证明：由已知，得 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， .又 ， 是 的中点， ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，由已知 ，易得 平面 . 平面 ， .（2）解：由题意可知，在 中， .由 ，可得 ，则 ， ，故三棱锥 的体积.【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3 ）
16、利用面面平行的性质 ；（4 ）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.21 （ 1） ；（2）存在直线 l，使得 ，此时 .【解析】【分析】设出点 Q，根据 Q 是 PA 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 P 的坐标，根据 P 在圆上，得到 Q 轨迹方程；设 ， ，将 代入圆的方程，可得 ，由 ，得 k 的取值范围，利用根与系数的关系可得 的 k 值【详解】设 ，点 P 的坐标为 ，点 ，且 Q 是线段 PA 的中点， ，在圆 C： 上运动，即 ；点 Q 的轨迹方程为 ；设 ， ，将 代入方程圆的方程，即 ， 由 ，得 ， ，即 ，解得 舍，或 存在
17、直线 l，使得 ，此时 【点睛】本题考查了直线与圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、中垂线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22 （ 1） （2）见解析yex【解析】试题分析：（）先代入 ，对 求导数，再算出 ， ，进而1mfx1ff可得曲线 在点 处的切线方程；（）先构造函数 ，yfx,f ln2xge再利用导数可得 的最小值， ，进而可证当 时， gfx试题解析：（）解：当 时， ，1mln1xfe所以 xfe所以 ， .1fe所以曲线 在点 处的切线方程为 yx1， 11yex即 .e（）证法一：当 时， .mlnlxxfee要证明 ，只需证明 .1f
18、xl20x以下给出三种思路证明 .ne思路 1：设 ，则 .lxg1xge设 ，则 ，xhe20xhe所以函数 在 上单调递增hx1xge0+（ ， ）因为 ， ，12所以函数 在 上有唯一零点 ，且xge0+（ ， ） 0x1,2因为 时，所以 ，即0 01x0ln当 时， ；当 时， 0,xg0,x0gx所以当 时， 取得最小值 xg故 0 01ln2gxex综上可知，当 时， .1mf思路 2：先证明 xeR设 ，则 h1xhe因为当 时， ，当 时， ，0x00hx所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增x所以 hx所以 （当且仅当 时取等号） 1e0x所以要证明 ，ln2x
19、只需证明 下面证明 l10x设 ，则 np1xpx当 时， ，当 时， ，0x0p所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增1x1xpx所以 10px所以 （当且仅当 时取等号） ln1x由于取等号的条件不同，所以 l20xe综上可知，当 时， .1m1fx（若考生先放缩 ，或 、 同时放缩，请参考此思路给分！）lnel思路 3：先证明 .2x因为曲线 与曲线 的图像关于直线 对称，yelyyx设直线 与曲线 ， 分别交于点 ， ，点 ， 到直线xt(0)xelnAB的距离分别为 ， ，1d2则 AB其中 ， 12ted2lntd(0)t设 ，则 th()1the因为 ，所以 0t所以
20、 在 上单调递增，则 ,0t所以 设 ，则 lngtt(0)1tgt因为当 时， ；当 时， ，01t0gt所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增tlnt1lntt所以 g所以 2ln2td所以 122ABd综上可知，当 时， .m1fx证法二：因为 ，ln1xfme要证明 ，只需证明 .1x20以下给出两种思路证明 .lnxe思路 1：设 ，则 .gm1xgme设 ，则 xhe20xhe所以函数 在 上单调递增1+，因为 ， ，1220mmgee 10gme所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .x0+， 0x,12因为 ，所以 ，即 0gx01xme0lnlm当 时， ；当 时， .0,g
21、0,x0gx所以当 时， 取得最小值 xxg故 00 01ln2ln2gmexm综上可知，当 时， 1m1fx思路 2：先证明 ，且 xeRln1(0)x设 ，则 FxFe因为当 时， ；当 时， ，0x0xFx所以 在 上单调递减，在 上单调递增,所以当 时， 取得最小值 xFx0所以 ，即 （当且仅当 时取等号） 01ex由 ，得 （当且仅当 时取等号） 1xeRx所以 （当且仅当 时取等号） ln()再证明 l20xme因为 ， ，且 与 不同时取等号，011xelnx所以 ln2xe1mx0综上可知，当 时， fx考点：1、导数的几何意义； 2、利用导数研究函数的单调性； 3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明
