1、秘密 启用前 试卷类型： A2019 届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
2、求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则集合|02Mx2|30NxMNA B C D| | |12x|01x2若复数 ( 是虚数单位 )为纯虚数，则实数 的值为i1azaA B C D1123已知 为等差数列，其前 项和为 ，若 ，则公差 等于nannS36,SdA1 B C2 D3534若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为 (,)P260xyMNNA B C D230xy210xy230xy210xy5已知实数 ， ，
3、，则 的大小关系是ln2alnblc,abcA B C D caacb6下列命题中，真命题的是A00,xReB2C 的充要条件是0ab1abD若 ，且 ，则 中至少有一个大于 1,xyR2xy,xy7由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的()f32 倍得到 的图象，则1sin6yx()fxA B C D3i1sin631sin2x1sin63x8. 已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球现随机地从甲袋中取出 1 个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出 1 个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A B C D31259299已知抛
4、物线 与双曲线 有相同的焦点 ，点20ypx21(0,)xyabF是两曲线的一个交点，且 轴，则双曲线的离心率为AFxA B C D213151210. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的前 项和nanS3763Sna为A B C D3(1)2n(1)2n1()2n1()2n11如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A6 B7 C D232312已知过点 作曲线 的切线有且仅有两条，(,0)a:xye则实数 的取值范围是A B,4+， 0+，C D1， ,1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量 的夹角为 ，且 ，则 _,abr ,2abr
5、abr14已知 ，则 = 4234012xxx220413a15已知实数 , 满足 则 的最小值为_ xy20,35,xy142xyz16已知在四面体 中， ，则该四面体的体积的最大值ABCDBAC为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且ABCCabc.BAsinsincos222（1）求角 的大小；（2）若 ， 的面积为 ， 为 的中点，求 6AC34MCAM18（本小题满
6、分 12 分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则为不20,4)合格品图 1 是设备改造前样本的频率分布直方图，表 1 是设备改造后样本的频数分布表表 1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值 15,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 2 18 48 14 16 2（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在 5,30)内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在 20,5
7、)或 3,)内的定为二等品，每件售价 180 元；其它的合格品定为三等品，每件售价 120 元根据表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元），求X的分布列和数学期望X19. （本小题满分 12 分）如图，多面体 中，四边形 为矩形，二面角 为 ，ABCDEFABCDACDF60， ， ， E ,236（1）求证： 平面 ；BF ADE（2）在线段 上求一点 ，使锐二面角 的余弦值为 CGBEGD1420（本题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上2:1(
8、0)xyCab123,2PC（1）求椭圆 的方程；（2）设 分别是椭圆 的左, 右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，12,F2Fl ,AB求 的内切圆的半径的最大值1AB21（本小题满分 12 分）已知函数 R.21ln,xfxaa（1）讨论 的单调性；f（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围xa（二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 ，直线 C=23cosin1:()6lR以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐
9、标系2:()3lROx（1）求直线 的直角坐标方程以及曲线 的参数方程；12,l C（2）若直线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 交于 两点，求 的面C,A2l,OBA积23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数13fxaR（1）当 时，解不等式 ；2a13xf（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围xfM1,32a2019 届广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的
10、解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分131 1416 15 1616237三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：(1) 由 ，BACBsinsincos222得 2 分ACiinsi2由正弦定理，得 ，即 ， 3 分abc22 abc22所以 5 分1o
11、sba题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D B D B B A D B A因为 ，所以 6 分0C23(2) 因为 ，所以 7 分6A6B所以 为等腰三角形，且顶角 C23C因为 ， 8 分43sin212aabSAB所以 9 分4在 中， ，MC2,3C所以 11 分22 1cos164228AAM解得 12 分718解：（1）根据图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值 5,20),5)2,30),5)3,40),5)频数 4 16 40 12 18 10417.6.7.1.87.12.025205230504 1 分3样本的质量指标
12、平均值为 230.21分根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 330.2分（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为 ，12， ，136故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为 ， ， 4 分1236随机变量 的取值为：240，300，360，420，4805 分X， ，1(240)63P12(30)69PXC， ，1215(3)8XC12(4)3，10 分(480)4P所以随机变量 的分布列为：X11 分所以 12151()240360428046983EX分19解：（1）因为四边形 为矩形，ABCD所以 .BC因为 平面 ， 平面 ，ADE
13、E所以 平面 1 分同理 平面 2 分CF AE又因为 ，所以平面 平面 3BBCF ADE分240 300 360 420 480P119513因为 平面 ，所以 平面 4BFCBF ADE分（2）法一：因为 ，,CDAE所以 是二面角 的平面角，即 5 分CDF60ADE因为 ，所以 平面 .AE因为 平面 ,CDF所以平面 平面 .EA作 于点 ，则 平面 . 6 分AOOCDEF由 , 得 ， 2,3DE12以 为原点，平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，CxEyOAz建立如图所示的空间直角坐标系 ，则Oxyz，0,3,1,0,(0,2)(3,50)ACDEF，7
14、 分3,OBA设 ， ，30Gt， ， 15t则 ，32BE， ， 03BGt， ，设平面 的法向量为 ， xyz， ，m则由 得 ，取0,BEG:320,xyzt2,3,xtyzt得平面 的一个法向量为 ， 8 分,tm又平面 的一个法向量为 ， 9 分DE(0,1)n所以 ， 10 分2341cost， m所以 ，2314t=解得 或 （舍去）， 11 分tt此时 ，得 .14CGF32CF即所求线段 上的点 满足 12 分G法二：作 于点 ，作 的延长线于点 ，连结 BOCFOHEHB因为 ，,DBCF所以 平面 ， 5 分CO MHABC ED FG为二面角 的平面角， 6 分BCFA
15、DF60CF所以 O因为 ，CF所以 平面 ， 7 分BDBEH因为 ，,OHEO所以 平面 8 分B所以 ， 为二面角 的平面角 9 分EBEGD在 中， ，RtBCO2,60CO所以 3,1又因为 ，所以 ， 10cos4BHOtan15BHOH分作 于 ，则 ， ，EMCFGEM:3,3CDE设 ，则 ，即 ， 11 分OGxHE259xx解得 ，即所求线段 上的点 满足 12 分12CFG32C20解：（1）依题意有 解得 3 分221,3,4cab,31.abc故椭圆 的方程为 4 分C21xy（2）设 ，设 的内切圆半径为 ，12(,),AB1FABr的周长为 ，1F1248a所以
16、 5 分142ABSar解法一：根据题意知，直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，6 分l l1xmy由 ，得 7 分2143xym2(4)690ym， ，2(6)0R由韦达定理得 ，8 分1212,3434yy，10 分1 221212112134FAB mS y 令 ，则 ， 2tm1t1243FABtSt令 ，则当 时， ， 单调递增，()3fttt2()0ftt()ft， ， 11 分4()1ft13FABS即当 时， 的最大值为 3，此时 ,0tm1FABmax34r故当直线 的方程为 时， 内切圆半径的最大值为 12 分l1x1FAB34解法二：当直线 轴时， . .6 分lx
17、31,2AB1123FABS当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，l()ykx由 ，得 . 7 分2143()xyk22(43)8410kxk， 281由韦达定理得 ，8 分22121,4343kkxx11221212()FABSyyx. 10 分269443kkxx令 ，则 ， ,243tkt103t12269914FAB tSt.23t173t2713综上，当直线 的方程为 时， 的最大值为 3， 内切圆半径的最大值lx1FABS1FAB为 3412 分21解：(1) 的定义域为 ，fx0,. 1 分233()12()1xafxa(i)当 时， 恒成立，020x时， ()f， 在 上
18、单调递增；,xfx0,2时， ， 在 上单调递减； 22分(ii) 当 时，由 得， （舍去），0a()0fx1231,xa当 ，即 时， 恒成立， 在 (0,)上单调递增；312x4()ff分当 ，即 时，12x14a或 时， 恒成立， 在 ， 单调0,()0fxfx10,a2,递增；时， 恒成立， 在 上单调递减；4 分1,2xa()0fxfx1,2a当 即 时，1214或 时， 恒成立， 在 单调递,xa0,2x()0fxfx1(0,2),a增；时， 恒成立， 在 上单调递减；5 分12,xa()0fxfx12,a综上，当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；0, 2,当 时， 单
19、调递增区间为 ，无单调递减区间；14afx0,当 时， 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；14afx10,a2,1,2a当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 0f(,),6 分(2)由(1)知，当 0a时， 单调递增区间为 (0,2)，单调递减区间为 (2,)，fx又因为 ， 7 分1f取 0max,5，令 1()2lnfxx， 21()fx，则 1()0fx在 (2,)成立，故 单调递增，105ln2(ln5)fx，0002200011()lfaxaxxx，（注：此处若写“当 时， ”也给分）f所以 有两个零点等价于1(2)ln2)04fa，得 ，fx18ln2a所以 8 分10
20、8lna当 时， 2()xf，只有一个零点，不符合题意； 当14a时， 在 (0,)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9fx分当 0a且14时， 有两个极值，fx(2)ln2)0f， ，12lnfa记 lgxx， 10 分11()2(ln)lngxxx，令 ，则 .()lhx33221hxx当14时， ， ()g在 单调递增；()01,4当0x时， ， ()x在 单调递减()hx0,故 ， ()g在 ,)单调递增1()2ln4g0x时， ()0x，故 11 分12ln0fa又(2)ln24fa，由(1)知， 至多只有一个零点，不符合题意fx综上，实数 的取值范围为 . 12 分1,08l
21、n2（二）选考题：共 10 分请在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22解：(1) 依题意，直线 的直角坐标方程为 ， 的直角坐标方程1l3yx2l为 3yx2 分由 得 ，=2cosin2=3cos2in因为 ，3 分2,ixyxy所以 ，4 分(3)(1)4所以曲线 的参数方程为 （ 为参数） 5 分C32cosinxy（2）联立 得 ， 6 分6=23cosin14OA同理， 7 分OB又 ， 8 分6A所以 ， 9 分11sin4232AOBSAOB即 的面积为 10 分323解：（1）当 时，原不等式可化为 ， 1 分2a3123x当 时， ，解得 ，所以 ； 2 分3xx0当 时， ，解得 ，所以 ； 3121231x2x分当 时， ，解得 ，所以 4 分2x3123x2xx综上所述，当 时，不等式的解集为 5 分a|01或（2）不等式 可化为 ，3xfx33xa依题意不等式 在 上恒成立， 6 分1a1,2所以 ，即 ，即 ，8 分33xx1ax所以 ，解得 ，12a43a故所求实数 的取值范围是 10 分a1,2
