1、高三数学有效教学策略的思考,一、明确目标定位，实施有效教学 一是内容上的目标定位：哪些考、考到什么程度？怎样考？比如，对照这么多年的高考试卷，我们有大量的题目花费大量时间，增加学习难度，却从未考过，有没有思考过：为什么不考？（教学内容和选择、教学方法的选择、教学过程的优化等）,教什么比怎么教更重要,所强调的是要准确把握教学方向的问题。上月初在姜堰二中举行的全市高中数学教研组长、备课组长命题、解题培训会上，南师大葛军博士向教师们提出了这样的问题：为什么有些内容、题目我们讲了这么多年、花了如此大的精力，但高考就是不考？为什么有些内容我们认为不应该考，但高考却考了？究竟是我们的思路错了还是高考命题专
2、家们的思路出了问题？这样的内容在数学中是大量存在的。,教什么还要充分研究江苏命题规律：惯性1.前一年反响较大的问题后一年往往矫枉过正；2.分类讨论问题特别青睐；3.“新定义”成为热点（数学语言的理解能力变得非常重要）；4.结构的“模式化”导致命题的固定化；5.最后两题保持较高的创新性。,6.高等数学的下放主要是高等数学的思想的下放如2010年第19（2）就是极限思想2010年陕西理科第21题是高等数学知识的下放：曲线相切、凸函数。递推能不能考？从哪个角度考？教学定位在什么地方？,7.重视主干，关注本质函数考什么？从近几年的考题看到什么？解析几何考什么？ 8.从单元向多元拓展的趋势单一知识向复合
3、型：一个函数的单调区间到两个函数的单调区间；两个函数组合（分段）后的单调区间；单调区间上具有的性质（几何性质用代数关系表示）等等。,二是学生知识结构的缺陷从这几年高考解析几何题可以看出：二元二次方程组（09年、10年、11年）繁分式（11年等）。其实在其它内容中也还存在：如无理不等式,学生能力的差距运算能力（如09年、10年、11年）（多字母、繁冗的式子心理也 是一方面）2011年第19题：分类繁、式子繁， 其实并不难。,全面、准确地了解学生的学习现状，并将教学的起点基于学生的认知起点、教学的定位基于学生的能力基础，使学生得到其能够达到的发展水平。 过难与过易都是无效教学。案例1：教师讲了一节
4、课，学生却不会做。案例2：没讲先做，发现基本都会。,二、深入分析教学内容,挖掘教材中的思想方法，拓展教材内容的外延知识形成过程中的思想方法；例题、习题中的思想方法；章节的基本思想。解析几何的基本思想决定了命题的 价值取向。重要题型的拓展、延伸，如：,“挖”透，即对基础知识、基本题目本质深刻揭示，用途充分拓展。如必修3算法中的“ax=b”的算法、对数的功能、教材中“无理项”问题、曲线方程的功能、推导正、余弦定理时的向量等式数量化的思想与方法等等。,细化要求，分层实施辐射状的知识结构图。如：平面向量,形成章、节的基本思维模式如：圆锥曲线如：导数(今年高考填空题、第19题）,三、 教学计划、复习过程
5、的架构一轮、二轮的时间、内容；课时安排科学合理；讲、练、评合理搭配；不同学生的区别对待、分类教学。,四、重视教学过程的精心设计 高三数学教学的特点： 一是复习课性质（知识学生基本懂了、知识具有综合性）； 二是较多评讲课； 三是高考背景（高考要求的层次性、 高考要求与学生现状如何协调）。,1.高三数学复习的整体设计一是内容的合理安排：课时的合理安排、内容的渐进层次（变式)的合理安排、重要思想方法的不断强化性的安排(不断加深，如分类讨论问题）、有关联知识的复习顺序的安排、知识综合的时机及层次要求的确定等。二是一轮、二轮、综合训练等的整体设计（阶段性目标）。,2.课时设计 （1）讲什么？准确定位，精
6、选内容从课前预习、例题到作业，都要精心设计。在设计前要列提纲、知识题型结构图。,（2）怎么讲？课的结构（模式）复习课的定位。教学习惯的影响（个性风格）。内容的影响（与新授课相比影响较小）。“五严”背景下的课堂模式需要改变（拓展时间和空间）,为了提高课堂的效率，建议：提前一到两天发讲义，讲义上给出对基础知识的预习要求，要求学生自主预习，再做讲义上的基础题（必须足够基础），而这些基础题对基本的知识与方法已经包括其中。例题也印在讲义上，并是基础题的变式与发展（要有层次），例题也可以让学生先做。这样，到上课时，通过小组合作、交流即可解决大多数问题，最后教师用25分钟到30分钟进行总结、提升与拓展。,模
7、式1：直线与圆的位置关系：课前练习：1.已知圆C:x2+y2-4x=0，则直线y=x+2与圆C的位置关系是 ；直线x=4与圆C的位置关系是 ；直线y=x-1与圆C的位置关系是 。2.直线x+2y=0被圆x2+y2-6x-2y-15=0截得的弦长等于 。,3.自点（-1，1）作圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线，则切线长为 。 4.已知直线l：5x+12y+a=0，圆C：x2+y2-2x=0。 （1）若l与圆C相切，求a的值； （2）若l与圆C相切，求a的取值范围； （3）若l与圆C相离，求a的取值范围；（4）若l被圆C截得的弦长为 ，求a的值。,说明：课前练习不能过多，因为还有当天作业。只
8、要通过几个最简单的问题，让学生对本节课的基本概念、方法进行复习，以节省课堂上通常的知识罗列的过程。这样，在上课时直接对课前练习进行检查，进而归纳出相应的知识结构。如“直线与圆的位置关系”一课，通过上述几个问题总结出判断直线与圆的位置关系的几种常用方法、求弦长、切线长的基本方法。,例题：例1.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l：（2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0。 （1）求证：不论m取何实数值，直线l与圆C恒交于两点； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及取得最小值时的直线l的方程。,例2.直线y=kx+2与曲线 有且只有一个公共点，求k的取值范围。 例3 求圆x2+
9、y2+2x+2y-2=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的公切线的长。 例4 过点M（2，4）向圆C:(x-1)2+(y+3)2=1引切线，切点分别为P、Q。 （1）求直线PQ的方程； （2）求切点弦PQ的长。,小结： 1.基础知识与基本方法：判断或处理直线与圆的位置关系的方法；处理弦长、切线长、公切线长、切点弦长的方法。 2.基本思想：数形结合的思想，表现为两个方面：一是运用图形几何性质研究问题；二是运用方程研究问题。不变性思想，挖掘隐含性质。运动与变化的思维策略.,模式2：“平行关系”： 基础训练：1如果直线a平行于平面，判断下列命题的真假： 平面内有且只有一条直线与直线a平行； 平面内
10、有无数条直线与直线a平行； 平面内不存在与直线a垂直的直线； 平面内有且只有一条直线与直线a垂直。,2以下六个命题，判断真假： 垂直于同一条直线的两个平面平行； 平行于同一条直线的两个平面平行； 平行于同一个平面的两个平面平行； 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； 两个平面分别与第三个平面相交所得的两条直线平行，则这两个平面平行； 如果一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。 （说明：在小题中可以用，但在解答题中不能直接运用）,3若直线a与平面内的无数条直线平行，则a与的关系是 。 4若，表示平面，a,b表示直线，则在下面
11、四个说法中，可作a的一个充分条件是 。 ，a；b，ab；ab，b；，a。,例1（必修2P38第11题）如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是AB、PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN平面PAD。 （学生课前已做。）师：你怎么想的？生：找线线平行。学生板演。 点评，并将书写不全的进行补充、修改。,教师在完成解题过程后问：关键是在平面PAD中找到与MN平行的直线。这条直线是通过面面相交得到的。（强调线用面面相交得到）。师：是否还有其他的线？也就是其他的过MN且与平面PAD相交的平面所得交线？提问时学生用的是转化为面面平行的方法。教师让学生叙述了其方法，并板演。再问上面的问题。最后有学生
12、想到：连CM并延长交DA的延长线与E点，连接PE，则可证明：MNPE。当然还有其他作交线的方法。,例2 在正方体AC1中，P，Q分别是棱A1B1和BC上的动点（不与端点重合），点M是AB1的中点，点N是PQ的中点，点G是BB1的中点。求证：平面GMN平面ABCD。,迁移练习 1两个平面，直线a平面，下列命题：与内的所有直线平行；与内的无数直线平行；与内的任何一直线都不垂直；与无公共点。其中正确命题是 。 2过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平面的直线共有 条。,3如图，ABCD与ABEF是两个全等矩形，且不在同一平面内，点P、Q分别是对角线AE、
13、BD上的点，当P，Q满足什么条件时，PQ平面CBE？说明理由。,模式3：预习检测提升总结,模式4：案例教学法 从解决问题开始，对需要的知识在解决问题时直接给出（板书）；对运用知识时的注意点也在解决问题的过程中边发现边解决；对知识的功能在解决问题的过程中逐步总结和提炼。,如：数列求和 做题：1+2x+3x2+nxn-1。 在做题的过程中逐步地将等比数列求和公式、分类的形式、错位相差法、等比数列求和公式逆用、乘法公式及推导等比数列求和公式的几种思路，等差数列求和公式（x=1时）、倒排相加等方法列出。,讲评课,3 微观设计 一是选题（包括题串）；关键。二是分析题目；考查内容、设计背景、思路与方法。三
14、是教学过程设计。怎么教？,一是选题根据本节课的目标定位：知识；方法（技能）；思想（策略）；学生。题型,题1：已知实数a,b满足2a+2b=2a+b，又2a+2b+4c=4a+b+c，求c的最大值。,题2：已知函数,在-a，a上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m= 。这题该不该出？如果 +sinx (a0,a1)，如何？,二是分析题目：考查内容、设计背景、思路与方法、学生情况。,原题： 已知实数p，q，r满足p+q+r=1，p2+q2+r2=1， （1）求r的取值范围； （2）若pr，qr，求r的取值范围。,例：2011年第20题：设M为部分整数组成的集合，数列an的首项a1=1，前n项和为
15、Sn.已知对任意的整数kM，当整数nk时，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立。 （1）设M=1，a2=2，求a5的值； （2）设M=3，4，求数列an的通项公式。,背景题：an+1=an+d ; 变形：Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+d 变式（都变成和之间的关系，增加隐蔽性）：Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)， 一般化： Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk) 包装：用符号语言表述。,教学过程（思维过程）：an+1=an+d ;Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+dSn+1+Sn-1=2(Sn+S1)，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk) 符号语言表述。,分析题目的目的： 学生情况：能不
16、能讲？必须讲时，应该怎样讲？哪些要讲？哪个步骤要讲？（包括补差，也不是都差）学生可能的问题？（国外研究的风格与中国教育研究的区别）,分析题目还包括对题目的多角度理解。这种多角度理解对训练学生的分析问题、解决问题的能力同样非常重要。,例：若不等式x2 + ax +10对一切x(0,1/2成立，求a的最小值。,理解1：即不等式的解集包含集合 （0，1/2,从而分析函数f(x)= x2 + ax +1的图像与x轴交点位置得解法；,理解2：即函数f(x)= x2 + ax +1的在区间（0,1/2上的最小值都不小于0,再用图像探索这个最小值；,理解3：将不等式等价变换为x2 +1 -ax,从而作出函数
17、y1 = x2 +1 与y2 =-ax在区间（0,1/2上的图像（定曲线，动直线）；,理解4：将不等式等价变换为ax+1/x (0x1/2),三是过程设计 （某学生前面的题1的解题过程的反思）设计原则：要讲透、讲到位。不要陷于技巧，在是自然的思维过程，且是适合学生的思维特点的。如,（a0,a1）在R上单调递增，求a的取值范围,已知等差数列 、 的前n项 和分别为 、 ，且,求,讲透！最本质的方法！,揭示多个问题的共同点、一般规律。例：已知sin(x-/6)=1/3,求cosx。学生的习惯思路；教师的技巧解法；内在的思维过程：原始题：已知sin=1/3，求cos(/3+).更一般化的问题。,多个
18、问题的共同点恰恰是迁移能力的体现，也是解高考题的主要策略。教学过程中要多选择此类题组成题组进行变式训练。如：（1）求过已知三点的圆的方程；（2）三点可以求出来的情况下圆的方程（今年全国卷、08年江苏卷等）,（3）已知两个点再加另外一个条件：由简单到复杂，说明基本想法是一致的。如2011年湖北八校第一次联考：,已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：y= x- 被圆M截得的弦长为 ，且圆心M在直线l的下方。 （1）求圆M的方程； （2）设A（0，t），B（0，t+6)，若圆M是ABC的内切圆，求ABC的面积S的最大值和最小值。,从基本题中挖掘思想，进行拓展 对关于x的方程ax=0的解的讨论，
19、中等学生不会成问题，但遇到：关于k的方程 有无数多个解的问题就束手无策了 。为什么？(后面还要说明：运算能力是一个重要方面）,全面认识数学知识的教学价值也不排除对其应用价值的揭示。对数的价值何在？除了对数函数是刻画现实世界的重要数学模型外，从数学史的角度看，对数的起因在于三角函数的积化和差公式的启发。,已知,求 的最大值与最小值。,取对数的功能,重点在“怎样想到的？”上下功夫,如果运用不等式的性质，则就是数式变形问题，此思路更加依赖于思维能力：目标分析、目标导向：y4、x3如何构造出来？,不要动不动就是“思想方法”，应该在思维过程的揭示中“自然流淌”如这两个都出现的填空题中的分段函数题：今年：
20、已知实数a0，函数f(x)=,若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为 。,“基本”的标准是基于学生的认知是否基本：要基于学生 如：已知 ， 求,基本技能的训练要基于“原点”最本质的！11题：已知函数 则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是 。,思维策略、思想方法是指导思路分析的明灯！一个学生的话：只有天才或者神经才能想到。一位教师对学生解？时的“太繁”的断语。说明什么？,2007年第20题已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1=b1,a2=b2a1.记Sn为数列bn的前n项和。（1）若bk=am(m,k是大于2的正整数），求证：Sk-1=(m-1)a1；,（2）若b
21、3=ai(i是某个正整数），求证：q是整数，且数列bn中的每一项都是数列an中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以证明；若不存在，请说明理由。,（3）若第m,n,k项成等差数列,则2bn=bm+bk， 也即：2b1qn-1=b1qm-1+b1qk-1.即：2qn-1=qm-1+qk-1。也即qm-k 2qn-k+1=0。取m-k=3,n-k=1。,如何串题？从基础到综合（变式）将综合分解为基础（思维策略）两个方面都很重要。如果总是习惯于从简单开始，复杂问题要借助简单问题的“提示”，对解题思维、心理都是不好的。,课堂教学中我更重视（尤
22、其是高三）从综合问题开始，展示分解、转化（包括向基本模式演变）等的思维过程。这一过程可以让学生经历解决问题的思维过程，学会分析问题、分解问题、结构联想等思维策略，在解题中学会解题。,组块的作用：简缩思维形式加速思维进程降低思维能耗具有知识与思维的双重性,解题知识组块积累的越多，质量越高，解题能力就越强 如：对根号下平方和的表达式，有时需要联系勾股定理，有时想到两点间的距离公式，有时则用到同角三角函数之间的关系的公式 围绕此式，可以建立起相应的组块，并建立与构造法、三角代换法等方法的联系,讲题教学三层次：第一层次：怎么做（解题过程）；第二层次：为什么这么做？（讲思路）第三层次：在第二层次的基础上
23、进行拓展、提升,教学设计中一个突出问题：忽视基础训练评价标准：好课与考试成绩的关系？“结论+训练”式教学法究竟能不能考得好？,不可忽视读题能力的训练；（普遍现象：学生没有读题的时间）读题是理解题意的过程（江苏命题新趋势：新定义），读题也是对题目进行不同“表征”的过程：表征方式是实现有效思维的重要方面：如2011年江苏第14题：设集合A=(x,y) |m/2(x-2) 2+y2 m2，B=(x,y)|2mx+y2m+1。若AB，则实数m 的取值范围是 。,不可忽视表达能力的培养；一是准确表述思维过程的能力；二是规范表达解题过程的习惯；三是对题意进行正确（恰当）表示的能力。如2011江苏第13题：
24、设1=a1 a2 a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 。,不可忽视“细节”的要求；数学归纳法证明不等式一例：证明an1时，ak+1=-1/(?+ak)不可忽视运算过程的展示。可能学生不会的就是算，2010年的高考题问题最大的就是难在“算”。2011年题算也很重要，而第19、20题的基础就是算：运算加推理。,四、测试、练习、作业的设计（1）根据目标要求，精心选择；（2）全面覆盖，突出重点；（3）分层滚动，变式递进；（4）熟练与能力并重，分量、搭配 要适当。,测试是必须的，没有测试的教学是盲目的，后果不堪设想。测试方法可以智慧
25、运用。教师要测试，学校也要测试。前测：了解学生；过程测：效果分析，教学调节；阶段测：变化分析，策略调整。珍视测试的过程与结果，精心分析，用好数据、材料。终极数据是平时教学的函数：研究关系，找出经验与问题，推广与改进相结合。,实施滚动练习，控制难度，拓宽广度每天作业有滚动，每次测试有滚动；滚动过程中逐步变式，不断强化、递进；滚动练习的讲评要突出关系与变化，揭示实质；练习要控制难度，减少花费时间太多的题目的数量；,一道题学生花了很多时间而没有思路，应该算是一种浪费(可能有不同观点），因此应提醒学生，不宜在一道题上花过多时间；基础题应该占足够比例，可以多角度地进行基础训练，在广度上做文章，难度上作控
26、制。,五、教学实施能力及效果保障教案设计转化为教学行为？同样的教学设计不同的教师上效果可能有很大差异。重要的有两点：一是对教学内容非常熟悉、理解深刻，能多角度、多途径地阐述、分析；二是能根据学生的情况进行适当、适时的调整，能对不同的学生施以不同的措施（学生思维风格）。,关键是最大限度地调动学生的学习热情、培养良好的学习习惯。,学生肯吃苦、学习投入，课堂精力集中，课后认真消化、整理、巩固提高，教学过程差一点关系不大。,为高考而高考的认识需改变。平时教学的目标定位：高一集合教学其实弱化了集合本身（片面追求一步到位）。平时教学忽视过程、思想、思维：如最近全省赛课暴露出的问题（指数函数：思维训练的价值、认知的规律；几何概型：撒豆实验的教学价值；急于综合带来的负面影响：重点被弱化、学生的空间被排挤甚至消除）其中影响高考的因素是否存在？,请提宝贵意见，谢谢！,
