1、第3章 正弦交流电路,3.2 正弦量的相量表示法,3.3 电阻、电感和电容元件,3.4 单一参数的交流电路,第3章 目录,3.6 复杂交流电路的计算,3.7 交流电路的功率,3.1 正弦交流电的基本概念,3.8 电路中的谐振,3.5 简单交流电路的分析, t,i,0,正弦波,一、学习本章的意义,二、本章内容,三、学习本章要注意的问题,正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分 所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。,概 述,交流电路 的分类,单相正弦交流电路（第三章）,三相正弦交流电路（第四章）,非正弦交流电路（第五章）,交流电路与直流电路的最主要差别：具有相位差。,交流电
2、路的分析方法：用相量表示后，即可用直流电路的分析方法。,3.1 正弦电压与电流, t,i, u,0,正弦电流和电压,t,I, U,0,直流电流和电压,电路图上所标的方向均为电压、电流 的参考方向,即代表正半周时的方向。,实际 方向,第3章 3 1,正弦量的三要素,i = Imsin( t+i),3.1.1 频率与周期,T,周期T：正弦量变化 一周所需要的时间,i,0,= 2 f,第3章 3 1,例：我国和大多数国家的电力标准频率是 f = 50Hz，试求其周期和角频率。,解：, = 2 f =314 rad/s ( 弧度/秒 ),3.1.2 幅值与有效值,瞬时值 是交流电任一时刻的值。 用小写
3、字母表示如: i, u, e分别表示电流、电压电动势的瞬时值。,最大值是交流电的幅值。 用大写字母加下标表示, 如: Im, Um, Em,有效值 交流电流通过一个电阻时在一个 周期内消耗的电能, 与某直流电流在同一 电阻、相同时间内消耗的电能相等, 这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，用大写字母表示, 如: I、U、E。,i,0,Im,第3章 3 1,i = Imsin( t+i),Ri2dt = RI2T, t,i,0,t = 0 时的相位角称为初相位角或初相位。,第3章 3 1,3.1.3 初相位,i = Imsin( t +),i = Imsin t,正弦量所取计时起点不同，其初始
4、值(t=0)时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。,i (0)= 0,i (0) = Imsin, t 和 ( t+) 称为正弦量的相位角或相位,它表明正弦量的进程。,若所取计时时刻不同，则正弦量的初相位不同。,0, t,i,第3章 3 1,3.1.4 相位差,u = Umsin( t +1),u,i = Imsin( t +2),两个同频率正弦量的相位角 之差或是初相角之差，称为 相位差，用 表示。, = ( t +1) ( t +2)= 1 2,u 和 i 的相位差,当两个同频率的正弦量计时 起点改变时，它们的初相位 角改变，但相位差不变。,i,u,2,1,图中1 2,u 超前 i,
5、角,或称 i 滞后 u, 角,i1,i2,i3,i1与i3反相,i1与i2同相,0,t = t1, i(t1) = Imsin ( t1+), t1+, t1,A, t1,A,A,有向线段长度是Im，t=0时，与横轴的夹角是，以 角速度逆时针方向旋转，它在虚轴上的投影，即为正弦电流的瞬时值,3.2 正弦量的相量表示法,第3章 3 2,1. 正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。,a,A,0,b,r,a = r cos ,b = r sin ,cos +jsin =e j,由欧拉公式，得出：,A= a + jb = r (cos +jsin) = r e j = r ,代数式,三角式,指数式
6、,极坐标式,复数在进行加减运算时应采用代数式， 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。,复数在进行乘除运算时应采用指数式或 极坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角 相加减。,2. 有向线段可用复数表示,第3章 3 2,模,幅角,= Ia + jIb = I (cos +jsin) = I e j = I,最大 值相量,有效 值相量,0,= Ia m + jIbm = Im(cos + jsin) = Ime j = Im ,相 量 图,第3章3 2,相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电 是时间的函数，所以二者之间并不相等。,3. 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量可以用
7、复数来表示，称之为相量。用大写字母上打“”表示。,45,4. 正弦量与相量的关系,欧拉公式 e j=COS +jsin ,i = Imsin(t+)=Im Ime j e jt=Im Ime j(t+),取虚部,例 1 写出有效值相量，作出相量图,i = sin(t+45) A,u = 7.07cos314 t V,相量是正弦量的表示, 但不相等。 i I I,结论,.,第3章 3 2,e1,u,e2,+j,120,30,+1,e1 = 220sin(100t-120 ) V,e2 = 220sin(100t+120 ) V,例 2 已知：电路如图,求：u =？,u = 380 sin(100
8、t - 90 ) V,u = e1 - e2,解：,= 220-120 - 220120,第3章 3 2,若已知 i1= I1 msin( t+ i1)、 i2= I2 msin( t+ i2)， 求 i1 + i2,解：（1）用相量图法求解,i1,i2,正弦电量（时间函数）,正弦量运算,所求正弦量,变换,相量 (复数),相量结果,反变换,相量运算 （复数运算),（2）用复数式求解,第3章 3 2,3.3 电阻元件、电感元件与电容元件,电阻、电感与电容元件都是组成电路模型的理想元件。,电阻元件：消耗电能,电感元件：通过电流要产生磁场而储存磁场能量,电容元件：加上电压要产生电场而储存电场能量,耗
9、能元件,储能 元件,本节讨论不同参数的元件中电压与电流的一般 伏安关系及能量的转换问题。,3.3.1 电阻元件,Ri2dt = u i dt,u = iR,或,第3章 3.3,3.3.2 电感元件,e,若感应电动势的参考方向与磁通 的参考方向符合右手螺旋定则，则,当通过线圈的磁通发生变化时， 线圈中要产生感应电动势，其 大小等于磁通的变化率，即：,单位： e 伏 (V)t 秒 (S) 韦伯(Wb),即其实际方向与参考方向相反。,即其实际方向与参考方向相同。,第3章 3.3,i, =N =Li,若电路的某一部分只具 有储存磁场能量的性质 称它为理想电感元件。,若L为大于零的常数则称为线性电感,N
10、,电感,磁链,3.3.2 电感元件,线圈的电感与线圈的尺寸 匝数及介质的导磁性能等 有关。一密绕的长线圈,S 横截面积(m2)l 长度 (m) N 匝数(匝) 磁导率(H/m),符 号,第3章 3.3,WL=,瞬时功率,电压电流关系,P0, L把电能转换为磁场能，吸收功率。,P0，L把磁场能转换为电能，放出功率。,储存的磁场能,在直流稳态时，电 感相当于短路。,L为储能元件, =L i,u + e = 0,3.3.2 电感元件,i,L,第3章 3.3,u,C,q,q,若电路的某一部分只具有 储存电场能量的性质时， 称它为理想电容元件。,若C为大于零的常数, 则称为线性电容。,3.3.3 电容元
11、件,电容器的电容与极板的尺寸 及其间介质的介电常数有关。,S 极板面积(m2) d 板间距离 (m) 介电常数(F/m),符 号,第3章 3.3,i,u,C,瞬时功率,电压电流关系,P 0，C把电能转换为电场能，吸收功率。,P 0 ，C把电场能转换为电能，放出功率。,储存的电场能,在直流稳态时，I=0 电容隔直流。,C为储 能元件,3.3.3 电容元件,+,第3章 3.3,电压与电流同频率、同相位,设 i = Imsin t 则 u = R i = R Imsin t = Umsin t,1.电压电流关系,R,电压与电流大小关系 U=R I,i,波形图,电压与电流相量表达式,3.4 单一参数的
12、交流电路,u,i,+,u = R i,相量图,3.4.1 电阻元件的交流电路,第3章 3.4,瞬时功率,i = Imsin t u = Umsin t,平均功率 P = I U = I2 R,3.4.1 电阻元件的交流电路,2.功率,R,u,i,+,P = U I,p = u i =UI(1 cos2 t ),转换成的热能,W= P t,第3章 3.4,设 i = Imsin t,XL,XL=2 fL,u = L Imcos t = Umsin( t + 90),Um= Im L,XL = L = 2 f L,感抗,= Im XL,1.电压电流关系,i,L,电感线圈对高频电流的阻碍作 用很大，
13、而对直流可视为短路。,3.4.2 电感元件的交流电路,第3章 3.4,1.电压电流关系,电压超前电流90 ,i = Imsin t,u = Umsin( t+90),i,L,电压与电流大小关系 U = I XL,3.4.2 电感元件的交流电路,i,波形图,相量图,第3章 3.4,i,2.功率,i,L,p = u i =UI sin2 t,瞬时功率,i = Imsin t,u= Umsin( t+90),u, t,0,+,+,当u、i 同号时（i 增长）p0 , 电感吸收功率；,当u、i 异号时（i 减小）p0, 电感提供功率。,波形图,第3章 3.4,2.功率,i,L,p = u i =UI
14、sin2 t,瞬时功率,i = Imsin t,u = Umsin( t + 90),i,0,u,+,+,平均功率 P =0,无功功率,电感与电源之间能量交换的规模 称为无功功率。其值为瞬时功 率的最大值，单位为(Var) 乏。,Q =UI=XLI2 =,电感不消耗功率，它是储能元件。,波形图,第3章 3.4, t,XC=1 / 2 fC,i = C Umcos t = Imsin( t +90),容抗,= Im XC,设u = Umsin t,1.电压电流关系,i,u,C,+,电容对高频电流的所呈现的容 抗很小，而对直流可视作开路。,3.4.3 电容元件的交流电路,第3章 3.4,u,1.电
15、压电流关系,电流超前电压 90 ,电压与电流大小关系 U = I XC,i = Imsin( t + 90),u = Umsin t,i,u,C,+,电压与电流相量式 = XC,3.4.3 电容元件的交流电路,波形图,相量图,第3章 3.4,波形图,2.功率,p = u i =U I sin2 t,瞬时功率,u = Umsin t,i = Imsin( t+90),i, t,0,+,+,当 u、i 同号时（u 增长）p0 , 电容吸收功率；,当 u、i 异号时（u 减小）p0, 电容提供功率。,i,u,C,+,u,第3章 3.4,2.功率,p = u i =UI sin2 t,瞬时功率,平均功
16、率 P =0,无功功率,电容与电源之间能量交换的规模 称为无功功率。其值为瞬时功 率的最大值，单位为(Var) 乏。,Q =UI=XC I2 =,电容不消耗功率，它是储能元件。,i,u,C,+,u = Umsin t,i = Imsin( t+90),第3章 3.4,i,0,u,+,+,波形图, t,3.4 单一参数的交流电路,3.4.4 相量模型,C,u,i,u,i,R,u,i,L,u = iR,第3章 3.4,3.5.1 克希荷夫定律的相量形式,i1= I1 mSin( t+1),i2= I2 mSin( t+2),i3= I3 mSin( t+3),由KCL，对节点Ai1 + i2 i3
17、 = 0,节点A的电流 相量表达式为,克希荷夫定律 相量形式 KCL,注意,3.5 简单交流电路的分析,KVL, I 0 ，即,第3章 3.5,设 i = I msin t,uR,uL,uc,根据KVL,1.电压电流关系,i,u,+,+,+,+,u = uR + uL + uC,uL = Im Lsin( t + 90)= ULm sin( t + 90),uR = uR msin t,= UCm sin( t 90),则,u = uR + uL + uC,= Um sin( t + ),用相量图可求出Um 和 ,3.5.2 RLC串联交流电路,第3章 3.5,uR,uL,uC,1.电压电流关
18、系,i,u,+,+,+,+,相量图,阻抗模,阻抗三角形,XL- XC,R,阻抗角,若 0，则电压超前电流，电路呈电感性。,若 0，则电流超前电压，电路呈电容性。,(1) 用相量图法分析电路,第3章 3.5,j L,R,X = XL XC,1.电压电流关系,uR,uL,uC,i,u,+,+,+,+,+,+,+,+,= |Z |,定义:阻抗,其中,(2) 用相量法分析电路,单位: ,Z是复数运算量,第3章 3.5,解： 1. 感抗,XL= L=314127 10-3 = 40 ,= 50 ,复阻抗模,uR,uL,uC,i,u,+,+,+,+,复阻抗模,第3章 3.5,第3章 3.5,解：1.,XL
19、=40 ,XC= 80 ,2.,=22045 V,电压相量,=,=,=,=,4.498 A,I =4.4 A,i =4.4 sin(314 t+98 )A,电流有效值,瞬时值,I,j L,R,+,+,+,+,求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和 瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。,第3章 3.5,解：1.,XL=40 ,XC= 80 ,2.,= 22045 V,电压相量,=,=,=,=,4.498 A,I,j L,R,+,+,+,+,求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和 瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。, = 45 98 = 5
20、3, 容性电路,XC= 8 ,例2：电路如图, 已知 R=3 , 电源电压u =17 sin314 t Vj XL = j 4 。求：1 .容抗为何值 (设容抗不等于零) ？ 开关S闭合前后, 电流的有效值不变, 其值等于多少？ 2. 当S打开时, 容抗为何值使电流 I最大, 其值为多少？,I = 2.4A, XL XC = XL,第3章 3.5,Z1,Z2,Z =Z1+ Z2,若Z1= R1+jX1,Z2 = R2+jX2,则Z = R1 + jX1 + R2+jX2= (R1+ R2 )+ j(X1 + X2),一般,1. 阻抗的串联,U U1 + U2,+,3.5.3 阻抗的串联与并联,
21、第3章 3.5,2. 阻抗的并联,Z1,Z2,+,一般,I I1 + I2,定义:导纳,单位: S,第3章 3.5,b,a,6,5,3H,0.5F,Zab,例3 求电路的 Zab ，(设 = 2 rad/s),Zab = 6.210.2,R=6.1,C=0. 455F,若 =1 rad/s =5 rad/s,Zab , R, C =？,= 6.1j1.098 ,第3章 3.5,j4,Z1,3,2,1,-j7,Z2,I1,求： I1， I2,并画出相量图,解：,I2 = 10180 A,= 10 A,例4:,由KCL,第3章 3.5,jXL,R,I,U,UL,I1,I2,-jXC,U1,例5 （
22、习题3-20） 设 I1=I2=10A,U=100V，,求：I, R, XC , XL,解：用相量图法,第3章 3.5,解：Z1 = R(R jXC ),= 6.32518.4 ,= 6 j2,= 0.47245 V,= 0.33390 V,第3章 3.6,和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也可 以用支路电流法、节点电位法、叠加原理和戴维南 定理等方法来分析和计算。所不同的是电量 U、I、E、IS 应以相量表示， 元件 R、L、C 应以阻抗或导纳来表示。,3.6 复杂交流电路的分析,直流电路和交流电路的对应关系为,直流电路： U I E IS R,第3章 3.6,例7：求Va，I=？,.,.
23、,a,2,-j1,2,-,+,j20V,100A,E1,.,1,解：利用：,1. 电压源与电流源的等效变换,2. 弥尔曼定理,100V,R1,R2,第3章 3.6,= 6.7-63.4 A,解：,2. 弥尔曼定理,= 1053.1 V,100V,1,a,2,2,-,+,j20V,E1,.,-j1,-,+,E2,.,R1,R2,第3章 3.6,u = Usint,i = I sin(t ),u、i 同号，p 0，网络吸收电功率,u、i 异号，p 0，网络放出电功率,u,i,p,3.6 交流电路的功率,3.6.1 瞬时功率,p = u i=UIcos - UIcos (2t ),一个周期内，p 0
24、的面积大于p 0的面积。表明平均功率不为0。网络内部有电阻（耗能）元件。,u,第3章 3.6,i,u,u = Usint,i= I sin(t ),i,u,p,3.6.2 有功功率、无功功率和视在功率,一、有功功率、无功功率,p = ui=UIcos - UIcos (2 t - ),= UIcos ,P,第3章 3.6,u = Usint,i= I sin(t),3.6.2 有功功率、无功功率和视在功率,二、视在功率,无功功率,Q =UIsin ,视在功率,S =UI,S2 = P2 + Q2,第3章 3.6,i,u,S,Q,阻 抗 三 角 形,电 压 三 角 形,功 率 三 角 形,功率、
25、电压、阻抗 三角形,P,X = XL XC,Q = QL QC,在三个相似三角形中，只有电压三角形为相量。,第3章 3.6,功率因数低引起的问题,功率因数,1. 电源设备的容量将不能充分利用,2. 增加输电线路和发电机绕组的功率损耗,在P、U一定的情况下， cos 越低， I 越大损耗越大。,情况下，cos 越低，P越小，设备得不到充分利用。,3.7 功率因数的提高,P=UI cos ,P = r I2,电压与电流的相位差角 (功率因数角),在电源设备UN、IN一定的,第3章 3.7,提高功率因数的方法,已知感性负载的功率及 功率因数cos 1 若要求把电路功率因数 提高到cos ，则应并联
26、电容C为,+,u,i,iRL,1,P =UIRLcos 1,=UIcos ,IC = IRLsin 1 Isin ,第3章 3.7,解：1. 发电机提供的电流 I1,发电机额定电流 IN,发电机提供的电流 I1超过了IN，不允许。,例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机， 额定电压为220V，额定频率 f = 50Hz，今接一感性负 载，其功率为8kW，功率因数cos 1 = 0.6，试问：1. 发电机的电流是否超过额定值？2. 若要把功率因数提高到 0.95，需并多大的电容器？3. 并联电容后，发电机的电流是多大？,第3章 3.7,解：2. cos 1=0.6 1= 53.6o t
27、g 1 =1.33,cos = 0.95 =18.2o tg =0.329,3. 并联电容C后，发电机的电流 I,例：某小水电站有一台额定容量为10 kVA的发电机， 额定电压为220V，额定频率 f =50HZ，今接一感性负 载,其功率为8 kW，功率因数 cos1 = 0.6，试问：2. 若要把功率因数提高到0.95，需并多大的电容器？3. 并联电容后，发电机的电流是多大？,第3章 3.7,3.8 电路中的谐振,响应与频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。,电压和电流都是时间的函数，也是频率的函数，,谐振是一种很重要的物理现象, 只有在交流激励时 才可能发生。在无线电技术中有着非常广泛的
28、应用。谐振分为串联谐振和并联谐振两类。本节主要分析谐振条件和谐振特征。,电路的阻抗也是频率的函数 Z = Z( ) 。,在时间领域内对电路进行分析，称为时域分析， 在频率领域内对电路进行分析，称为频域分析。,第3章 3.8,在具有电感和电容的串联交流电路中，若调节 电路的参数(L或C)或电源的频率，使电压与电流同 相，则称电路发生串联谐振现象。,3.8.1 串联谐振,串联谐振条件,由阻抗 Z = R + jX = R + j (XL XC）,当 Z = R 即 XL= XC 电路谐振,串联谐振频率,或 u i 0 u与 i 同相,第3章 3.8,3.8.1 串联谐振,串联谐振电路的特征,I0,
29、R, L,(1) 阻抗模最小,为 |Z| = R。,电路电流最大, 为I0 =U / R。,当XL=XCR时，电路中将出 现分电压大于总电压的现象 称为过电压现象。,(2)电路呈电阻性,电源供给电 路的能量全部被电阻消耗掉， 没有能量转换。,f0,f0,(当电路电压有效值U =常数 ),第3章 3.8,串联谐振曲线,f0,I01,I02,容性,感性,R2,R1,R2 R1,（1）串联谐振电路的品质因数Q, 定义：,I0,0.707I0,f0,f2,f1,通频带 f2 f1,3.8.1 串联谐振,（2）通频带定义：,f = f2 f1,（3）Q与f 的关系：,表明电路 的选择性,第3章 3.8,
30、1. 如果天线上接收的信号有三个，其频率分别为：f1= 820103 Hz、f2= 620103 Hz、f3=1200103 Hz。 要收到 f1 = 820103 Hz信号节目, 电容器的电容C应 调节到多大？,对 f1发生谐振时，在L2中产生的三个信号电流各是多少毫安？对频率为 f1的信号在电感L2上产生的电压是多少伏？,2.如果接收的三个信号幅值 均为10V, 在电容调变到,例：图示电路中, 电感L2=250H, 其导线电阻 R=20。,第3章 3.8,例：下图电路中，电感L2=250H，其导线电阻R=20。,解：1.,C = 150 pF,要收听频率为f1信号的节目应该使谐振电路 对f
31、1发生谐振，即,2.,当C=150 pF， L2=250H,时， L2 C 电路对三种信号 的电抗值不同，如下表所示,第3章 3.8,UL=(XL/R)U = 645 V,其它频率在电感上的电压 不到 30 V, 而对 f1 信号则 放大了64.5 倍 !,C = 150 pF， L2=250H,第3章 3.8,3.8.2 并联谐振,电感线圈和电容器并联谐振电路,由于 L R，所以,由此可得并联谐振频率,或,L,R,C,+,u,i,i1,iC,第3章 3.8,并联谐振电路特征,(1) 阻抗模为,(2) 电路呈电阻性。,(3)支路电流可能会大于总电流。,3.8.2 并联谐振,比非,谐振情况下阻抗要大， 电流 I 为最小值。,R,f0,I,所以并联谐振又称为电流谐振。,Q值越大，谐振时阻抗模越大，选择性也就越强。,品质因数,第3章 3.8,3.8.3.带通滤波电路,R,C,C,R,U1,(j ),U2,(j ),+,+,=,第3章 3.8,R,C,C,R,U1,(j ),U2,(j ),+,+,式中,3.8.3.带通滤波电路,第3章 3.8, = 0o,=,32 +( )2,1,0,0, 0, ( ),=, arctg,3, 0,第3章 3.8,
