1、回扣5 概率与统计,板块四 考前回扣,回归教材,易错提醒,内容索引,回扣训练,回归教材,1.分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理). 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称乘法原理).,3.排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2、(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A 表示. (3)排列数公式：A n(n1)(n2)(nm1). (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为 ， 这里规定0！1.,4.组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C 表示.,6.二
3、项展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.,当n是偶数时，那么其展开式中间一项 的二项式系数最大. 当n是奇数时，那么其展开式中间两项 和 的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，,10.统计中四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据. (2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数
4、据的平均数作为中位数.,11.离散型随机变量 (1)离散型随机变量的分布列的两个性质 pi0(i1,2，n)；p1p2pn1. (2)期望公式 E(X)x1p1x2p2xnpn. (3)期望的性质 E(aXb)aE(X)b； 若XB(n，p)，则E(X)np； 若X服从两点分布，则E(X)p. (4)方差公式 D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为 .,(5)方差的性质 D(aXb)a2D(X)； 若XB(n，p)，则D(X)np(1p)； 若X服从两点分布，则D(X)p(1p). (6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)P(A)P(B).,13.独立
5、性检验 利用随机变量K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大. 14.正态分布 如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2).满足正态分布的三个基本概率的值是：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.,易错提醒,1.关于两个计数原理应用的注意事项 (1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有
6、各个步骤都完成了才算完成这件事. (2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏. (4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.,2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.
7、(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价条件.,4.对于二项式定理应用时要注意 (1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细. 项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正. (2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b. 5.应用互斥
8、事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.,6.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 7.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错. 8.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别 (1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生. (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为，因而有P(A|
9、B)P(AB).,9.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误.,回扣训练,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,答案,1.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 A.224 B.112 C.56 D.28,解析 根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人， 所以抽取2名女生1名男生的方法数为 112.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,2.采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5
10、名参加测试，则所选5名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 B.5,26,27,38,49 C.2,4,6,8,10 D.5,15,25,35,45,解析,解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案.采用系统抽样间隔为 10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,3.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A.210种
11、B.420种 C.630种 D.840种,解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有， 所以共有两种情况，1男2女或2男1女. 若选出的3位教师是1男2女，,若选出的3位教师是2男1女，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,所以共有180240420(种)不同的方案，故选B.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 方法一 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字
12、之积为偶数的有7种，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为 A.62,62.5 B.65,62 C.65,63.5 D.65,65,解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数； 求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数. 最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65； 前两个矩形的面积为(0.010.02)100.3，由于0.50.30.2，,
13、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,所以中位数为60565.故选D.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,6.道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为 A.0.95 B.0.05 C.0.47 D.0.48,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,
14、16,15,解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,8.在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式 中各项系数的和为 A.32 B.32 C.0 D.1,解析 依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5. 因此，令x1，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,9.某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节.在排课时，要求
15、生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为 A.408 B.480 C.552 D.816,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 数学在第(1,2)节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，,数学在第(2,3)节，从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,当英语不在第1节时，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前
16、1节和后1节，剩下的任意排，,当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，,根据分类加法计数原理，共有965418078408(种)排法.故选A.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,10.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：,A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,11.已知等比数列an的第5项是二项
17、式 展开式中的常数项，则a3a7_.,36,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,12.书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有_种.,336,答案,解析,解析 由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有 6(种)方法； 第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔中，有 7(种)方法； 第三步：再插入第三本
18、，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有 8(种)方法，共有678336(种)不同的插入方法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,13.(x2x1)10的展开式中x3的系数为_.,210,答案,解析,令2km3且mk10，mN，kN，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,14.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p0)，射击
19、次数为，若的期望E() ，则p的取值范 围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解析 由已知得P(1)p，P(2)(1p)p， P(3)(1p)2，,15.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0p1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放. 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则
20、该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验； 方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越“优”.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解 方案一：逐个检测，检测次数为4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,
21、13,16,15,故方案二的检测次数记为2，2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,方案四：混在一起检测，记检测次数为4，4可取1,5. 其分布列如下，,比较可得E(4)E(2)4，故选择方案四最“优”.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.,解 方案三：设化验次数为3，3可取2,5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,E(3)2p35(1p3)53p3； 方案四：设
22、化验次数为4，4可取1,5.,E(4)1p45(1p4)54p4；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,16.(2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,1
23、6,15,解 记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”. 由题意知，P(A)P(BC)P(B)P(C). 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.0120.0140.0240.0340.040)50.62， 故P(B)的估计值为0.62. 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为 (0.0680.0460.0100.008)50.66， 故P(C)的估计值为0.66. 因此事件A的概率估计值为0.620.660.409 2.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,(2)填写下面列联表，并根
24、据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解 根据箱产量的频率分布直方图得列联表,由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,16,15,解 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，,
