1、2.函数与导数,板块四 考前回扣,回归教材,易错提醒,内容索引,回扣训练,回归教材,1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏. 对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同. 问题1 函数f(x) lg(1x)的定义域是_.,答案,(1,1)(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,2.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数.,答案,解析
2、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,解析 要使函数f(x)的值域为R，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,3.求函数最值(值域)常用的方法 (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数. (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数. (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数. (4)导数法：适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围). (6)分离常数法：适合于一次分式.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
3、1,12,14,13,15,4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响. 问题4 f(x) 是_函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”),奇,答案,f(x)f(x)，f(x)为奇函数.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,5.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|). (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0. “f(
4、0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分又不必要条件.,增,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,解析 由题意可知f(0)0，即lg(2a)0， 解得a1，,函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2是增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,6.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题. (3)对于解析式较复杂的，一般用导数. (4)对于抽象函数，一般用定义
5、法. 问题6 函数y|log2|x1|的递增区间是_.,0,1)，2，),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,作图可知正确答案为0,1)，2，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,1,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,8.函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”. (2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|). (3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称
6、点仍在图象上； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称； 函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称. 问题8 函数y 的对称中心是_.,(1,3),答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,答案,9.如何求方程根的个数或范围 求f(x)g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数yf(x)和yg(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理. 问题9 已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相
7、 等的实根，则实数k的取值范围是_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,解析 先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,答案,10.二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形. 问题10 若关于x的方程ax2x10至少有一个正根，则a的取值范围 为_.,1,2,3,4,5,6,7
8、,8,9,10,11,12,14,13,15,答案,11.指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0). 问题11 设alog36，blog510，clog714，则a，b，c的大小关系是_.,abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,答案,12.函数与方程 (1)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标. (2)yf(x)在a，b上的图象是一条连续不
9、断的曲线，且f(a)f(b)0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0(a，b)使f(x0)0.这个x0也就是方程f(x)0的根. (3)用二分法求函数零点.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,问题12 函数f(x) 的零点个数为_.,13.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)确定函数yf(x)的定义域. (2)求导数yf(x). (3)解方程f(x)0在定义域内的所有实根. (4)将函数yf(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间. (5)确定f(x)在各个小区间内的符号，由
10、此确定每个区间的单调性. 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“”连接； (2)f(x)为减函数时，f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0. 问题13 若函数f(x)x2 ln x1在其定义域内的一个子区间(k1，k 1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,利用图象(图略)可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,14.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点. 问题14 函数f(x) 的极值点是_.,答案,x1,1,2
11、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,15.利用导数解决不等式问题的思想 (1)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数h(x)f(x)g(x)，再证明h(x)max0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,13,15,易错提醒,例1 函数y (x25x6)的单调增区间为_. 易错分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x25x60.,易错点1 忽视函数的定义域,解析 由x25x60，知x3或x2
12、. 令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数， y (x25x6)的单调增区间为(，2).,答案 (，2),例2 已知奇函数f(x)是定义在(3,3)上的减函数，且满足不等式f(x3)f(x23)0，求x的取值范围. 易错分析 解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位.,f(x)是奇函数， f(x3)3x2，即x2x60， 解得x2或x3.,例3 若函数f(x) 在(，)上单调，则a的取值范围 是_. 易错分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求.,易错点2 分段函数意义不清,解析 若函数在R上单调递减，,若函数在R上单调递增
13、，,例4 若函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是_. 易错分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m0的讨论.,易错点3 函数零点求解讨论不全面,解析 当m0时，x 为函数的零点；当m0时，若0，即m1时，x1是函数惟一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)0，即m0.,答案 (，01,例5 已知曲线f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程. 易错分析 “在点”处的切线，说明点在曲线上，且点是切点.“过点
14、”的切线，说明切线经过点：当这个点不在曲线上时，一定不是切点；当这个点在曲线上时，也未必是切点.,易错点4 混淆“在点”和“过点”致误,所以切线方程为y9x16.,例6 已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值，且极值为10，则ab_. 易错分析 把f(x0)0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解.,易错点5 极值点条件不清,答案 7,当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1). 在x1两侧的符号相反，符合题意. 当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同， 所以a3，b3不符合题意，舍去. 综上可知，a4，b11， 所以ab7.,例
15、7 若函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_. 易错分析 误认为f(x)0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件，漏掉f(x)0的情况.,易错点6 函数单调性与导数关系 理解不准确,解析 f(x)ax3x2x5的导数 f(x)3ax22x1，,回扣训练,1.函数f(x)log2(x26)的定义域为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,答案,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2018江苏溧阳中学等三校联考)若f(x)是周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)x28x30，则 _.,答案,解析,24,
16、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.已知函数f(x) 其中m0，若函数yf(f(x)1有3个不同 的零点，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,(0,1),因为m0，所以只要m1，即0m1即可.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.(2018南通模拟)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_.,答案,解析,e2,解析 因为yln x1， 所以(ln 11)(ln t1)1， 所以ln t2，te2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.不等式logaxln2x0，且a1)对任意x(1,100)恒成立，则实
17、数a 的取值范围为_.,解析,答案,(0,1)( ，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,答案,即0 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.已知函数yf(x)(xR)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x03)(x01)2，则该函数的单调减区间为_.,解析,答案,(，3,解析 由导数的几何意义可知，f(x0)(x03)(x01)20，解得x03，即该函数的单调减区间是(，3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集为_.,解析,答
18、案,(5,0)(5，),解析 由x22x30，可得x1或x3， “綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 方法一 不等式f(x)x的解集，即为函数yf(x)图象在函数yx图象上方部分x的取值范围.因为函数f(x)和yx都是R上的奇函数，且方程f(x)x的根为5,0，由图象知，不等式f(x)x的解集为(5,0)(5，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,方法二 令x0， 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)f(x)(x)24(x)x24x.,解得55， 所以不等式f(
19、x)x的解集为(5,0)(5，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.已知函数f(x1)是偶函数，当10恒成立，设a ，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_.,bac,解析 因为f(x1)是偶函数， 所以f(x1)f(x1)， 所以yf(x)关于直线x1对称. 又10， 知yf(x)在1，)上是增函数，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.已知函数f(x) 若函数f(x)的图象与直线yx有 三个不同的公共点，则实数a的取值集合为_.,解析,答案,16，20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 设h
20、(x)sin xx，x(，1)，h(x)cos x10， 则h(x)单调递减，由于h(0)0， 所以f(x)x在(，1)上仅有一个根. 设g(x)x39x224xa，则g(x)3x218x24， 令g(x)3x218x240，得x12，x24. 且g(x)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，在4，)上单调递增， g(1)a16，g(2)a20，g(4)a16， 因为g(x)0有且仅有两个根， 故g(1)g(4)a160或g(2)a200， 解得a20或a16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.已知函数f(x) 在x1处取得极值2. (1)求函数f(x)的表达式；
21、,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增？,解答,由f(x)0可知，1x1， 故f(x)的单调增区间是1,1.,所以当m(1,0时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.已知函数f(x) (c0且c1，kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc. (1)求函数f(x)的另一个极值点；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由题意知f(c)0，即得c2k2cck0， (*),由f(x)0，得kx22xck0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解答,(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当c1时，k0；当00时，f(x)在(，c)和(1，)上是减函数，在(c,1)上是增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当k2时，f(x)在(，c)和(1，)上是增函数，在(c,1)上是减函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
