1、17.概率与统计1随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样问题 1 某社区现有 480 个住户，其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户，其他为高收入家庭在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了 6 户，则该社区本次抽取的总户数为_答案 24解析 设本次抽取的总户数为 x，由抽样比例可知， ，则 x24.6x 480 200 1604802对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率茎叶图没有原始数
2、据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了问题 2 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x y 的值为_.2答案 8解析 依题意，甲班学生的平均分为85 ，故 x5.78 79 85 80 x 80 92 967乙班学生成绩的中位数为 83，故其成绩为 76,81,81,83,91,91,96，所以 y3， x y8.3在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值平均数的估计值等于频率分布直方图中
3、每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标问题 3 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了 40 个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为_答案 77.5解析 由直方图估计评分的平均值为550.05650.2750.35850.25950.1577.5.4互斥事件的概率公式 P(A B) P(A) P(B)(1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥(2)P( )1 P(A)A问题 4 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为出现奇数点，事件 B 为出现 2 点，已知 P(A) ， P(B) ，则出现奇数点或
4、2 点的概率之和为_12 163答案 235古典概型P(A) (其中， n 为一次试验中可能出现的结果总数， m 为事件 A 在试验中包含的基本事件mn个数)问题 5 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为_答案 25解析 设袋中 1 个红球用 a 表示，2 个白球分别用 b1， b2表示，3 个黑球分别用 c1， c2， c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为( a， b1)，( a， b2)，( a， c1)，( a， c2)，( a， c3)，(b1， b2)，( b1， c1)，( b1， c2)
5、，( b1， c3)，( b2， c1)，( b2， c2)，( b2， c3)，( c1， c2)，(c1， c3)，( c2， c3)，共 15 个两球颜色为一白一黑的基本事件为( b1， c1)，( b1， c2)，( b1， c3)，( b2， c1)，( b2， c2)，(b2， c3)，共 6 个其概率为 .615 256几何概型一般地，在几何区域 D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率为 P(A) .此处 D 的测度不为 0，其中“测度”的意义依 D 确定，d的 测 度D的 测 度当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应
6、的测度分别为长度、面积和体积等即 P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 问题 6 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_答案 112解析 记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A，P(A) 1 .23 1243 1323 124易错点 1 抽样方法理解不准例 1 一个总体中 100 个个体的编号为 0,1,2,3，99，并依次将其
7、分为 10 个小组，组号为 0,1,2，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果第 0 组(号码09)随机抽取的号码为 l，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第 k 组中抽取的号码的个位数为 l k 或 l k10(如果 l k10)若 l6，则所抽取的第 5 组的号码是_易错分析 本题易错点有两个：一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码 6 为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为 10，所以每组抽取号码的个位数都为 6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样解析 由题意，第 0 组抽取的号码为 6，则第一组抽取的号
8、码的个位数为 617，所以选17.因为 718，第二组抽取号码的个位数为 8，故选 28.因为 819，第三组抽取号码的个位数为 9，故选 39.因为 911010,91100，第四组抽取号码的个位数为 0，故选 40.因为 011，第五组抽取号码的个位数为 1，故选 51.答案 51易错点 2 误解基本事件的等可能性例 2 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率为_易错分析 解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为
9、11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为 4 的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错解析 将先后掷 2 次出现向上的点数记作点坐标( x， y)，则共可得点坐标的个数为6636，而向上点数之和为 4 的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共 3 个，故先后掷 2 次，出现向上的点数之和为 4 的概率 P .336 1125答案 112易错点 3 几何概型中“测度”确定不准例 3 在等腰直角三角形 ABC 中，直角顶点为 C.(1)在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM90，83 83 87 99 90 x5解得 x8x9，所以
10、所求概率为 .1106某中学部分学生参加高中数学竞赛，指导老师统计了本校所有参赛学生的成绩(成绩均为整数，满分 120 分)，并且按60,70)，70,80)，80,90)，90,100)，100,110)，8110,120绘制了如图所示的频数分布图，如果不低于 90 分则获奖，那么该校参赛学生的获奖率为_答案 43.75%解析 由题意知，参赛人数为 46875232，获奖人数为 75214，所以该校参赛学生的获奖率为 43.75%.14327一组数据中的每一个数据都减去 80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是 1.2，方差是 4.4，则原来数据的平均数和方差分别是_答案 81.2,4.4
11、解析 设这组数据为 x1， x2， xn，都减去 80 后，得到新数据为 12x， nx，则12nx1.2，所以 1280nxx1.28081.2.x1 x2 xnn因为方差是刻画数据离散程度的，所以各数据减去(或加上)同一个数后，方差的大小不变8袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_答案 35解析 方法一 从 5 只球中一次随机摸出 2 只球，有 10 种取法，摸出 2 只颜色不同球的情况有 236(种)，故其概率为 .610 35方法二 从 5 只球中一次随机摸出 2 只球，有 10 种取法，摸出 2
12、只颜色相同的情况有314(种)，故摸出 2 只颜色不同的球的概率为 1 .410 359设复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x 的概率为_9答案 14 12解析 由| z|1，可得( x1) 2 y21，表示以(1,0)为圆心，半径为 1 的圆及其内部，满足 y x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式，可得所求概率为P .14 12 1212 12 4 12 14 1210在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人” 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是_(填序号)甲地：总体均值为 3，中位数为 4；乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0；丙地：中位数为 2，众数为 3；丁地：总体均值为 2，总体方差为 3.答案 解析 根据信息可知，连续 10 天内，每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数，中，中位数为 4，可能存在大于 7 的数；同理，在中也有可能；中的总体方差大于 0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于 7 的数；中，根据方差公式，如果有大于 7 的数存在，那么方差不会为 3，故填.
