1、第2讲 函数的应用,专题六 函数与导数,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现. 2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.零点存在性定理 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f
2、(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.,热点一 函数的零点,解析,答案,化简得2|x|2x2，画出y12|x|，y22x2的图象， 由图可知，图象有两个交点， 即函数f(x)有两个零点.,解析,答案,(2)(2018天一大联考)关于x的方程(x22x)2e2x(t1)(x22x)ex40(tR)的不等实根的个数为 A.1 B.3 C.5 D.1或5,当x，f(x)，由此画出函数yf(x)的草图，如图所示.,关于x的方程(x22x)2e2x(t1)(x22x)ex40， 令uf(x)， 则u2(t1)u40，(t1)2160， 故有两个不同的解u1，u2，
3、,函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定. (2)零点个数的确定. (3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.,解析,答案,解析 由f(x1)f(x1)得f(x)周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象， 图中，g(3)3log231f(3)， g(5)3log251f(5)， 可得有两个交点，所以选B.,解析,答案,(2)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1，则方程f
4、(x) log2|x|在区间3,5内解的个数是 A.5 B.6 C.7 D.8,解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.,热点二 函数的零点与参数的范围,解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.,例2 (1)已知偶函数f(x)满足f(x1) ，且当x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，则实数a的取值范围是_.,(3,5),解析,答案,且当x1,0时，f(x)x2，,函数f(x)的周期为2，在区间1,3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价
5、于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1,3内有3个交点. 当0a1时，函数图象无交点，,(2)(2018全国)已知函数f(x) g(x)f(x)xa.若g(x) 存在2个零点，则a的取值范围是 A.1,0) B.0，) C.1，) D.1，),解析,答案,解析 令h(x)xa， 则g(x)f(x)h(x). 在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图， 如图所示. 若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点， 此时10a，a1. 当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点
6、，不符合题意；,当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意. 综上，a的取值范围为1，). 故选C.,(1)方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数. (2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域.,跟踪演练2 (1)(2018四川省凉山州诊断性检测)已知函数f(x) (aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是 A.(0,1 B.1，) C.(0,1)(1,2) D.(，1),解析,答案,方程2xa0在(，0上有一个解， 再根据当x(，0时，02x201，可得0a1. 故选A.,解析,答案,解析 根据题意画出函数
7、f(x)的图象.,设tf(x)，t2(m1)t1m0 有两个根t1，t2， 由图可知，对应两个x值的t值只有一个， 故可设t1对应一个x值，t2对应3个x值.,当属于第一种情况时，将0代入方程得m1， 此时二次方程t2(m1)t1m0的根是确定的，一个为0，一个为2 ，不符合第一种情况的要求；,解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数
8、学问题的结果转化成实际问题作出解答.,热点三 函数的实际应用问题,解答,例3 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50x120)的关系可近似表示为：,(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？,解 当x50,80)时，,当x80,120时，函数单调递减， 故当x120时，y有最小值10. 因为910，故当x65时每小时耗油量最低.,解答,(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？,当x50,80)时，,当x120时，l取得最小值10. 因为1016，所以当速度为120千米/时时，总耗
9、油量最少.,(1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.,解答,跟踪演练3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y x2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量
10、为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？,解 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为,才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.,解答,(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？,因为400x600， 所以当x400时，S有最大值40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损.,解 设该单位每月获利为S，,真题押题精练,真题体验,答案,解析,因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，,2.(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与y m的图象有且只有一个
11、交点，则正实数m的取值范围是_.,答案,解析,(0,13，),分两种情形：,当x0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意.,要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点， 只需g(1)f(1)，即1m(m1)2， 解得m3或m0(舍去). 综上所述，m(0,13，).,答案,解析,8,解析 由于f(x)0,1)，则只需考虑1x10的情况， 在此范围内，当xQ，且xZ时，,若lg xQ，则由lg x(0,1)，,图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内xD部分，,则在x1附近仅有1个交点， 因此方程解的个数为8.,因此lg xQ，因此lg x不可能与每个
12、周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内xD部分的交点，画出函数草图.,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法.,1.f(x)2sin xx1的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7,解析 令2sin xx10，则2sin xx1， 令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.,画出两个函数的图象，如图所示，,两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.,答案,解析,押题依据,押题依据
13、 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想.,要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，,所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)， x1(xa)，x2(xa). 再借助数轴，可得1a2. 所以实数a的取值范围是1,2)，故选D.,3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.,答案,解析,押题依据,押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点.,20,解析 如图， 过A作AHBC交BC于点H，交DE于点F，,FH40x(0x40)，,当且仅当40xx， 即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.,
