1、第1讲 坐标系与参数方程,专题七 系列4选讲,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图， 设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，,热点一 极坐标与直角坐标的互化,解答,解 曲线C1的
2、直角坐标方程为(xa)2y23， 化简得x2y22axa230. 又x2y22，xcos ， 所以22acos a230.,解得a2或a1(舍去). 所以曲线C1的极坐标方程为24cos 10.,解答,(2)设点M，N在C1上，点P在C2上(异于极点)，若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求l的极坐标方程.,解 由题意知，设直线l的极坐标方程为(R)， 设点M(1，)，N(2，)，P(3，)， 则132.,所以124cos ，121.,因为|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，,经检验，满足O，M，P，N四点依次在同一条直线上，,(1)在由点的
3、直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.,解答,解答,(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.,热点二 参数方程与普通方程的互化,解答,解 O的直角坐标方程为x2y21.,解答,(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，,(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等. (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若
4、x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围.,解答,解 直线l的普通方程为3xy60.,解答,(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标.,过点M作直线l的垂线，垂足为M， 则点M即为所求的直线l上到点M距离最小的点.,解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.,热点三 极坐标、参数方程的综合应用,解答,解 曲线C的普通方程为(x1)2y21，,化简得C的极坐标方程为2cos . 因为l的普通方程为xy40， 所以极坐标方程为cos sin 40，,解答,解 设A(1，)，B(2，)
5、，,(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义. (2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.,跟踪演练3 (2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos . (1)若曲线C2的参数方程为 (为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；,解答,解 2cos ，22cos ， 又2x2y2，cos x， 曲线C1的直角坐标方程
6、为x2y22x0， 曲线C2的普通方程为x2(y1)2t2.,解答,得t2(2sin 2cos )t10.,t1t210，t1，t2同号，|t1|t2|t1t2|. 由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得,真题押题精练,1.(2018全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30. (1)求C2的直角坐标方程；,真题体验,解答,解 由xcos ，ysin ，得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.,(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.,解答,解 由(1)知C2是圆心为A(1,0
7、)，半径为2的圆. 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右侧的射线为l1，y轴左侧的射线为l2. 由于点B在圆C2的外部，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，,经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；,当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，,经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；,2.(2017全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的
8、极坐标方程为cos 4. (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；,解答,解 设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)， 由题设知，,由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0). 所以C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).,解答,解 设点B的极坐标为(B，)(B0). 由题设知|OA|2，B4cos . 于是OAB的面积,押题预测,押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点.本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题.,1.已知曲线C的极坐
9、标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数). (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；,解答,押题依据,解 由4cos ，得24cos . 因为x2y22，xcos ， 所以x2y24x， 即曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24.,解答,得(tcos 1)2(tsin )24， 化简得t22tcos 30. 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，,押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势.,解答,押题依据,得a，即点P的极坐标为(a，0)； 将0(0)代入2cos ，得2， 即点Q的极坐标为(2,0).,因为|PQ|1，所以|PQ|a2|1， 所以a1或a3.,解答,
