1、平行四边形的判定一、选择题1. （郴州）如图，下列四组条件中不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）A、AB=DC，AD=BC B、ABDC，ADBCC、ABDC，AD=BC D、ABDC，AB=DC考点：平行四边形的判定。分析：平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答：根据平行四边形的判定，A、B、D 均符合是平行四边形的条件，C 则不能判定是平行四边形故选：C点评：此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况对于
2、判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形2. （泰州）四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四组条件：ABCD，ADBC；AB=CD，AD=BC；AO=CO，BO=DO；ABCD，AD=BC其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）A、1 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组考点：平行四边形的判定。专题：几何综合题。分析：根据平行四边形的判断定理可做出判断解答：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知能判断这个四边形是平行四边形；
3、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知能判断这个四边形是平行四边形；根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知能判断这个四边形是平行四边形；根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，能判断这个四边形是平行四边形，故选：C，点评：此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键3. （柳州）如图，在平行四边形 ABCD 中，EFAD，HNAB，则图中的平行四边形的个数共有（ ）A、12 个 B、9 个C、7 个 D、5 个考点：平行四边形的
4、判定与性质。专题：证明题。分析：根据平行四边形的定义即可求解解答：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF 和 ABCD 都是平行四边形，共 9 个故选 B点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复4. （江苏苏州）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，AC、BD 相交于点 O若AC=6，则线段 AO 的长度等于_考点：平行四边形的判定与性质专题：计算题分析：根据在四边形 AB
5、CD 中，ABCD，ADBC，求证四边形 ABCD 是平行四边形，然后即可求解解答：在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=6，AO= 12AC= 6=3故答案为：3点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题5.（湖南张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等所以是平行四边形解答：解：根据三角
6、形中位线定理，可知连接后的四边形的两组对边相等，再根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形故选 A点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、填空题1. （天津）如图，点 D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，连接 DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为 3 考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。专题：推理填空题。分析：由已知点 D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，根据三角形中位线定理，可以推出 EFAB 且 EF=AD，EF=DB，DFBC 且 DF=CE，所以得到 3 个平行四边形解答：已知点 D、E、F
7、 分别是ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，EFAB 且 EF=AD，EF=DB，DFBC 且 DF=CE，四边形 ADEF、四边形 BDFE 和四边形 CEDF 为平行四边形，故答案为：3点评：此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是有三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形2.（辽宁沈阳）如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，且 BEDF，若EBF=45，则EDF 的度数是 度考点：平行四边形的判定与性质。分析：由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC，又由 BEDF，即可证得四边形 BFDE 是平行四边形，根据平行四边
8、形的对角相等，即可求得EDF 的度数解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，BEDF，四边形 BFDE 是平行四边形，EDF=EBF=45故答案为：45点评：此题考查了平行四边形的判定与性质注意平行四边形的对角相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形三、解答题1. （江苏徐州，23，8）如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分别为 E，F（1）求证：ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。分析：（1）由 BF=DE，可得 BE=CF，由 AEBD，CFBD，可
9、得AEB=CFD=90，又由 AB=CD，在直角三角形中利用 HL 即可证得：ABECDF；（2）由ABECDF，即可得ABE=CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得ABCD，又由 AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形 ABCD 是平行四边形，则可得 AO=CO解答：证明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即 BE=CF，AEBD，CFBD，AEB=CFD=90，AB=CD，RtABERtCDF（HL）；（2）ABECDF，ABE=CDF，ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四
10、边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用2.（宁夏）已知，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE=CF，BE=DF，BEDF求证：四边形 A BCD 是平行四边形考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：因为 AE=CF，DF=BE，DFBE，所以可根据 SAS 判定ADFCBE，即有AD=BC，ADBC，故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定解答：证明：DFBEDFA=BECDF=BE，EF=EFAF=CEAE=CFADFCBE（SAS）AD=BCDAC=BCAADBC四边形 ABCD 是平行四边形点评：
11、此题主要考查平行四边形的判定以及全等三角形的判定平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法3. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，并延长 DE 至F，使 EF=DE连接 BF、CD、AC （1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形；（2）如果 DE2=BECE，求证四边形 ABFC 是矩形考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）连接 BD，利用等腰梯形的性质得到 AC=BD，再根据垂直平分线的性质
12、得到DB=FB，从而得到 AC=BF，然后证得 ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形解答：证明：（1）连接 BD，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC，AC=BF，ACB=CBFACBF，四边形 ABFC 是平行四边形；（2）DE 2=BECE ，DEB=DEC=90，BDEDECBDC=BFC=90，四边形 ABFC 是矩形点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的
13、判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大4. （新疆建设兵团）请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形考点：平行四边形的判定；反证法专题：证明题分析：（1）做出草图，连接一条对角线，然后证明三角形全等，根据全等三角形的对应角相等在证明另一组对边也平行，然后根据平行四边形的定义即可证明；（2）不正确，可以做出一个“筝形”图形说明解答：（1）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABCD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形
14、，证明：连接 BD，ABCD，ABDBDC，在ABD 和CDB 中， ，AB CD ABD BDCBD BD )ABDCDB（SAS），ADBDBC（全等三角形对应角相等），ADBC（内错角相等，两直线平行），四边形 ABCD 是平行四边形；（2）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形不正确如图，BADBCD，对角线 AC 被 BD 平分，但四边形 ABCD 不是平行四边形点评：本题主要考查了平行四边形的判定定理的证明，连接对角线构造出全等三角形是解题的关键5. （河池）如图 1，在ABO 中，OAB=90，AOB=30，OB=8以 OB 为一边，在OAB 外作等边三角
15、形 OBC，D 是 OB 的中点，连接 AD 并延长交 OC 于 E（1）求点 B 的坐标；（2）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；（3）如图 2，将图 1 中的四边形 ABCO 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，求 OG 的长考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质。分析：（1）由在ABO 中，OAB=90，AOB=30，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得 AB 与 OA 的长，即可求得点 B 的坐标；（2）首先可得 CEAB，D 是 OB 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得 BD=AD，ADB=60，又由O
16、BC 是等边三角形，可得ADB=OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得 BCAE，继而可得四边形 ABCD 是平行四边形；（3）首先设 OG 的长为 x，由折叠的性质可得：AG=CG=8x，然后根据勾股定理可得方程（8x） 2=x2+（4 ） 2，解此方程即可求得 OG 的长解答：（1）在OAB 中，OAB=90，AOB=30，OB=8，OA=OBcos30=8 =4 ，AB=OBsin30=8 =4，点 B 的坐标为（4 ，4）；（2）证明：OAB=90，ABx 轴，y 轴x 轴，ABy 轴，即 ABCE，AOB=30，OBA=60，D 是 OB 的中点，DA=DB，即DAB=DBA=6
17、0，ADB=60，OBC 是等边三角形，OBC=60，ADB=OBC，即 ADBC，四边形 ABCE 是平行四边形；（3）设 OG 的长为 x，OC=OB=8，CG=8x，由折叠的性质可得：AG=CG=8x，在 RtAOG 中，AG 2=OG2+OA2，即（8x） 2=x2+（4 ） 2，解得：x=1，即 OG=1点评：此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系6.（安顺）如图，在ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于E，F 在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形 ACEF 是平行四边形；
