1、54O 62 108 xAy-5CB-41O x2AyPQB面积与一次函数将一次函数与面积综合在一起进行考查，是目前比较热点的一类题型，充分体现了数形结合思想的具体应用，现举例加以说明一、由一次函数图象求面积例 1 已知直线 y=kx+b 过点 A（1，5），且平行于直线 y=x+2（1）求直线 y=kx+b 的关系式；（2）若 B（m，5）在这条直线上，O 为原点，求 m 的值及 AOBS分析：（1）由 y=kx+b 与直线 y=x+2 平行可得 k=1，再将点 A 代入，即可求出直线关系式；（2）将点 B 代入（1）中直线关系式，可求得 m，再把AOB 化为AOC 与BOC 的和，利用三角
2、形面积公式可求出面积解：（1）由两直线平行，得 k=1，由此得 y=x+b，将点 A 代入，得 5=（1）+ b，所以 b=4，故直线关系式为 y=x+4（2）为了方便求解，我们可以在直角坐标系中画出符合条件的示意图，如图 1，把B（m，5）代入 y=x+4，得 m=9，因此 B 点坐标为（9，5）。由 y=x+4 可求得与 y轴交点 C 坐标为（0，4）所以 AOBS= C+ BOS= 21 4+ 94=20点评：涉及一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，在解题过程中，应先画出符合题意的草图，把复杂图形以图形与坐标轴的交点为界，分割成若干个以坐标轴为底的小三角形来求解二、由面积关系求一次函数关
3、系式例 2 如图 2，直线 PA 是一次函数 y=x+n(n0)的图象，直线 PB 是一次函数y=2x+m(mn) 的图象（1）用 m、n 表示 A、B、P 的坐标；（2）设 PA 交 y 轴于点 Q，若 AB=2，四边形PQOB 的面积为 65，求 P 点坐标和直线 PA、PB 的关系式分析：（1）分别令 y=0，代入两个一次函数，可求出 A、B 两点的坐标；要求 P 的坐标，只要把 y=x+n 与 y=2x+m 联立，得到关于 x、y 的二元一次方程组，可求得含有 m、n的 x、y 值，即可得 P 点的坐标；（2）由四边形 PQOB 的面积等于PAB 的面积减去AOQ的面积，可求出 m、n
4、，从而求出 P 点坐标和直线 PA、PB 的关系式解：（1）在 y=x+ n 中，令 y=0，得 x=n，所以 A（n，0）；在 y=2x+m 中，令y=0，得 x= 2m，所以 B（ 21m，0）；由 mxy2，解得 32nyx，所以 P（3n， ） （2）由 y=x+ n，得 Q（0，n），所以 QO=n。因为 A（n，0），所以 OA= n= n。所以 PQOBS四 边 形 = A OS= 212 3m 21n2= 65，即 2m+4n3n 2=5。又OA+OB= n+ 21m=2，即 m=42n。所以 2（42n）+4n 3n2=5，所以 n2=1，所以 n=1（负值舍去），所以 m=421=2，所以 P（ ， ）。所以直线 PA 的关系式为 y=x+1；PB 的关系式为 y=2x+2点评：对于不规则的几何图形的面积，可以通过转化的思想，化不规则为规则，如本题中将四边形 PQOB 的面积，转化为两个规则图形PAB 与AOQ 面积的差去解决的通过以上两道例题可以看出，解决一次函数与面积问题的基本步骤是：（1）确定交点坐标（有时可用待定系数表示）；（2）求出有关线段的长度；（3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解
