1、专题四 立体几何 第 三 讲 空间向量与立体几何 考点二 考点三 考点一 目 录 ONTENTS C 4 课后训练 提升能力 考情分析 明确方向 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养 卷 面面垂直及线面角求法 T18 卷 线面垂直及线面角求法 T202018 卷 面面垂直及二面角求法 T19命题分析 高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主 学科素养 几何中的向量方法主
2、要是通过向量法求解空间角问题，重点考查了学生直观想象与数学运算素养能力 . 考情分析 明确方向 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养 卷 面面垂直与二面角求法 T18异面直线所成角求法 T10 卷 线面平行与二面角求法 T19线与线所成角问题 T162017 卷 面面垂直与二面角求法 T19命题分析 高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主 学科素养 几何中的向量方法主
3、要是通过向量法求解空间角问题，重点考查了学生直观想象与数学运算素养能力 . 考情分析 明确方向 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养 卷 面面垂直的证明及二面角的求解 T18 卷 线面垂直证明及二面角的求解 T192016 卷 线面平行的证明及线面角的求解 T19命题分析 高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主 学科素养 几何中的向量方法主要是通过向量法求解空间角问题
4、，重点考查了学生直观想象与数学运算素养能力 . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 悟通 方法结论 1 用向量证明平行的方法 (1) 线线平行：证明两直线的方向向量共线 (2) 线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；直线 的 方向 向量 与平面内两不共线向量共面 (3) 面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 2 用向量证明垂直的方法 (1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 (2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线
5、，或将线面垂直的判定定理用向量表示 (3) 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 全练 快速解答 1 在直三棱柱 AB C A1B1C1中， ABC 90 ， BC 2 ， CC1 4 ，点 E 在线段 BB1上，且 EB1 1 ， D ， F ， G 分别为 CC1，C1B1， C1A1的中点 求证： (1) B1D 平面 AB D ； (2) 平面 EGF 平面 AB D . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 证明： (1) 以 B 为坐标原点， BA ， BC ， BB1所在的直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建
6、立如图所示的空间直角坐标系 B x yz ，则B (0,0,0) ， D (0,2,2) ， B1(0,0,4) ， 设 BA a ，则 A ( a, 0,0) ， 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 所以 BA ( a, 0,0 ， ) ， BD (0,2,2) ， B1D (0,2 ， 2) ， B1D BA 0 ， B1D BD 0 4 4 0 ， 所以 B1D BA， B1D BD， 即 B1D BA， B1D BD. 又 BA B D B ， BA 平面 AB D ， B D 平面 AB D ， 因此 B1D 平面 AB D . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 (2) 由 (
7、1) 知， E (0,0,3 ) ， G (a2， 1,4) ， F (0,1, 4) ， 则 EG (a2， 1,1) ， EF (0,1 ,1) ， B1D EG 0 2 2 0 ， B1D EF 0 2 2 0 ， 所以 B1D EG， B1D EF， 即 B1D EG ， B1D EF . 又 EG EF E ， EG 平面 EGF ， EF 平面 E GF ， 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 因此 B 1 D 平面 E GF . 结合 (1) 可知平面 E GF 平面 AB D . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 2 如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P ABC D 中，
8、PA 底面 ABC D ， E ， F 分别是 PC ， P D 的中点， PA AB 1 ， BC 2. (1) 求证： EF 平面 P AB ； (2) 求证：平面 PA D 平面 P D C . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 证明： 以 A 为原点， AB ， A D ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A (0,0,0) ， B (1,0, 0) ，C (1,2,0) ， D (0,2,0) ， P (0,0,1) ， 所以 E12， 1 ，12， F0 ， 1 ，12， EF12， 0 ， 0 ， AP (0,0,1) ， A
9、D (0, 2,0) ， DC (1,0,0) ， AB (1,0,0) 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 (1) 因为 EF12AB，所以 EF AB， 即 EF AB . 又 AB 平面 P AB ， EF 平面 P AB ， 所以 EF 平面 P A B . (2) 因为 AP DC (0,0,1) (1,0,0) 0 ， AD DC (0,2,0) (1,0,0) 0 ， 所以 AP DC， AD DC， 即 AP D C ， A D D C . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 又因为 AP A D A ， AP 平面 PA D ， A D 平面 PA D ， 所以 D C
10、平面 PA D . 因为 D C 平面 P D C ， 所以平面 PA D 平面 P D C . 考点一 向量法证明线面平行、垂直关系 向量法证明 平行与垂直的步骤 (1) 建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2) 建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3) 通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4) 根据运算结果解释相关问题 考点二 向量法求空间角大小 悟通 方法结论 1 向量法求异面直线所成的 角 若异面直线 a ， b 的方向向量分别为 a ， b ，异面直线所成的角为 ，则 co
11、s | cos a ， b | a b| a| | b |. 2 向量法求线面所成的角 求出平面的法向量 n ，直线的方向向量 a ，设线面所成的角为 ，则 sin | cos n ， a | n a| n| a|. 考点二 向量法求空间角大小 3 向量法求二面角 求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1， n2，若二面角 l 所成的角 为锐角，则 co s | co s n1， n2 | n1 n2| n1| n2|；若二面角 l 所成的角 为钝角，则 co s | co s n1， n2| n1 n2| n1| n2|. 考点二 向量法求空间角大小 ( 2017 高考全国卷 )(1
12、2 分 ) 如图，四面体 ABC D 中， 考点二 向量法求空间角大小 (1) (2) 过 AC 的平面交 B D 于点 E ，若 平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C 的余弦值 考点二 向量法求空间角大小 学审题 条件 信息 想到 方法 注意什么 信息 ： ABC为正三角形， AC D 是直角三角形 特殊三角形中的特殊的边角： ABC 中三边相等， AC D 中的直角 信息 ： AB D CB D ， AB B D 边角相等关系可证两三角形全等，进而可证A D D C ， A D C 90 ( 1) 建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴 (
13、2) 两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角，也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围 考点二 向量法求空间角大小 条件 信息 想到 方法 注意什么 信息 ： 证明： 平面AC D 平面ABC 面面垂直的证明方法：几何法或定义法 信息 ：体积相等 由体积的大小关系转化到点到面的距离的大小关系，进而知点E 为 D B 的中点 (1) 建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴 (2) 两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角，也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围 考点二 向量法求空间角大小 规范解答 (1) 证明：由题设可得， AB D CB D ，从而 A D D C
14、 . 又 AC D 是直角三角形，所以 A D C 90 . 取 AC 的中点 O ，连接 D O ， BO ，则 D O AC ， D O AO . 又因为 ABC 是正三角形，所以 BO AC . 所以 D OB 为二面角 D AC B 的平面角 (2 分 ) 在 Rt A OB 中， BO2 AO2 AB2. 又 AB B D ，所以 BO2 D O2 BO2 AO2 AB2 B D2， 考点二 向量法求空间角大小 故 D OB 90 . 所以平面 AC D 平面 ABC . (4 分 ) (2) 由题设及 (1) 知， OA ， OB ， O D 两两垂直以 O 为坐标原点，OA的方向
15、为 x 轴正方向， | OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O xy z ， 则 A (1,0,0) ， B (0 ， 3 ， 0) ， C ( 1,0,0) ， D (0 ， 0,1) (5 分 ) 考点二 向量法求空间角大小 由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABC D 的体积的12， 考点二 向量法求空间角大小 从而 E 到平面 AB C 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的12，即 E为 D B 的中点，得 E0 ，32，12. 6 分 故 AD ( 1,0,1) ， AC ( 2,0,0) ， AE 1 ，32，12. 设 n ( x1， y1， z1) 是平
16、面 D AE 的法向量，则n AD 0 ，n AE 0 ，考点二 向量法求空间角大小 即 x1 z1 0 ， x132y112z1 0.可取 n 1 ，33， 1 . (8 分 ) 设 m ( x2， y2， z2) 是平面 AEC 的法向量，则m AC 0 ，m AE 0 ，即 2 x2 0 ， x232y212z2 0 ，考点二 向量法求空间角大小 可取 m (0 ， 1 ， 3 ) 则 co s n ， m n m| n | m |33 3213 277. (10 分 ) 由图知二面角 D AE C 为锐角， 所以二面角 D AE C 的余弦值为77. (12 分 ) 考点二 向量法求空
17、间角大小 1 用向量法求解空间角的四个要点： (1) “ 建系 ” ，构建恰当的空间直角坐标系，如本题利用线面垂直关系构建空间直角坐标系； (2) “ 求坐标 ” ，准确求解相关点的坐标； (3) “ 求法向量 ” ，求出平面的法向量； (4) “ 应用公式 ” ，熟记空间角的公式，即可求出空间角 考点二 向量法求空间角大小 2 利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面的法向量的夹角的关系，一定要注意线面角 与夹角 的关系为 sin | co s |. 3 求二面角 ，主要通过两平面的法向量 n ， m 的夹角求得，即先求 | co s n ， m |，再根据所求二面角是钝角还是锐角写出其余弦值若 为锐角，则 co s | co s n ， m |；若 为钝角，则 co s | c os n ， m |.
