1、2018 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=x|1x2，x N，集合 B=2，3，则 AB 等于（ ）A2 B1，2，3 C 1，0，1，2，3 D0，1，2，32 （5 分）若向量 =（1， 1） ， =（2，5） ， =（3，x）满足条件（8 ） =30，则 x=（ ）A6 B5 C4 D33 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，已知 a2=3，a 6=11，则 S7 等于（ ）A13 B35 C49 D634 （5 分）按下面
2、的流程图进行计算若输出的 x=202，则输入的正实数 x 值的个数最多为（ ）A2 B3 C4 D55 （5 分）设 F1，F 2 分别是椭圆 C： + =1（a b0）的左、右焦点，点 P在椭圆 C 上，线段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF 1F2=30，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D6 （5 分）已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）A把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2B把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2C把 C1 向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
3、 C2D把 C1 向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 C27 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 1 丈） ，那么该刍甍的体积为（ ）A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D12 立方丈8 （5 分）曲线 f（x ）=x 3 （x 0）上一动点 P（ x0，f（x 0） ）处的切线斜率的最小值为（ ）A B3 C2 D69 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若
4、AB=3，AC=4，ABAC ，AA 1=12，则球 O 的直径为（ ）A13 B C D10 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 的取值范围m，n恰好是函数 y=2sinx（0）的一个单调递增区间，则 的值为（ ）A B C D11 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 =1（a0，b 0）的左右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A （2 ，+） B （ ， 2） C （ ， ） D （1， ）12 （5 分）对于函数 f（ x）和 g（x ） ，设 xR|f
5、（x）=0， xR|g（x）=0，若存在 、，使得|1，则称 f（x）与 g（x）互为“零点关联函数”若函数 f（x）=e x1+x2 与 g（x ）=x 2axa+3 互为“零点关联函数”，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C2，3 D2，4二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若角 的终边经过点 P ，则 sintan的值是 14 （5 分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“ 是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说： “是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是
6、 15 （5 分）设 l，m 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是 若 l m，m，则 l 或 l 若 l ，则 l 或 l若 l ，m，则 lm 或 l 与 m 相交 若 l ，则 l 或 l16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=e x（x0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所
7、对的边分别为 a，b ，c ，已知，（I）求角 A 的大小；（II）若 a=2，求的面积 S 的最大值18 （12 分）数列a n满足 （1）证明：数列 是等差数列；（2）若 ，求 T2n19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ABD=90，EB 平面 ABCD，EFAB，AB=2，EB= ，且 M 是 BD 的中点（1）求证：EM 平面 ADF；（2）求二面角 AFDB 的余弦值的大小20 （12 分）已知抛物线 E：y 2=2px（p0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆 C：（ x5） 2+y2=9 的两条切线，切点为 （1）求抛物线 E 的方程；
8、（2）若直线 AB 是讲过定点 Q（2，0）的一条直线，且与抛物线 E 交于 A，B两点，过定点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值21 （12 分）已知函数 ，记 F（x）=f（x）g （x ） （1）求证：F（x）在区间（1，+）内有且仅有一个实根；（2）用 mina，b表示 a，b 中的最小值，设函数 m（x）=minf（x ） ，g （x ），若方程 m（x）=c 在区间（1，+）内有两个不相等的实根 x1，x 2（x 1x 2） ，记F（x）在（1，+）内的实根为 x0求证： 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
9、第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为，且 l 过点 A，曲线 C1 的参考方程为 （ 为参数）（1）求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值；（2）过点 B（2，2）与直线 l 平行的直线 l1 与曲 C1 线交于 M，N 两点，求|BM|BN|的值选修 4-5：不等式选讲23设 a0，b0 ，且 求证：（1）a+b 2 ；（2）a 2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立2018 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一
10、、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=x|1x2，x N，集合 B=2，3，则 AB 等于（ ）A2 B1，2，3 C 1，0，1，2，3 D0，1，2，3【解答】解：A=x|1x2，x N=0，1，2，集合 B=2，3，AB=0，1，2，3，故选：D2 （5 分）若向量 =（1， 1） ， =（2，5） ， =（3，x）满足条件（8 ） =30，则 x=（ ）A6 B5 C4 D3【解答】解：向量 =（ 1，1） ， =（2，5） ，x=4故选：C3 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的
11、前 n 项和，已知 a2=3，a 6=11，则 S7 等于（ ）A13 B35 C49 D63【解答】解：因为 a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选：C4 （5 分）按下面的流程图进行计算若输出的 x=202，则输入的正实数 x 值的个数最多为（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当 x 100 时结束循环，输出 x 的值为 202：当 202=3x+1，解得 x=67；即输入 x=67 时，输出结果 202202=3（3x+1）+1，解得 x=22；即输入 x=22 时，输出结果 202202=3（3（3x+1）+1）+1即 201=3（3（3x+1）
12、+1） ，67=3（3x+1）+1，即 22=3x+1，解得 x=7，输入 x=7 时，输出结果 202202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1解得 x=2，输入 x=2 时，输出结果 202202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1解得 x= ，输入 x= 时，输出结果202共有 5 个不同的 x 值，故选：D5 （5 分）设 F1，F 2 分别是椭圆 C： + =1（a b0）的左、右焦点，点 P在椭圆 C 上，线段 PF1 的中点在 y 轴上，若PF 1F2=30，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D【解答】解：线段 PF1 的中点在 y 轴上设 P 的横坐标为
13、 x，F 1（ c，0） ，c+x=0 ， x=c；P 与 F2 的横坐标相等，PF 2x 轴，PF 1F2=30，PF 2= ，PF 1+PF2=2a，PF 2= ，tanPF 1F2= = = ， = ， e= = 故选：A6 （5 分）已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）A把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2B把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2C把 C1 向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 C2D把 C1 向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到
14、曲线 C2【解答】解：根据曲线 =sin（ x ） ，把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得 y=sin（ x）的图象；再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 C2：y=sin（ x ） 的图象，故选：B7 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 1 丈） ，那么该刍甍的体积为（ ）A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D12 立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为 3，高为 1 的等腰三角形三棱柱的高为2三棱柱的体积 V= 两个
15、相同的四棱锥合拼，可得底面边长为 2 和 3 的矩形的四棱锥，其高为 1体积 V= =2该刍甍的体积为：3+2=5故选：B8 （5 分）曲线 f（x ）=x 3 （x 0）上一动点 P（ x0，f（x 0） ）处的切线斜率的最小值为（ ）A B3 C2 D6【解答】解：f（x）=x 3 （x 0）的导数 f（x ）=3x 2+ ，在该曲线上点（x 0，f（x 0） ）处切线斜率 k=3x02+ ，由函数的定义域知 x00，k2 =2 ，当且仅当 3x02= ，即 x02= 时，等号成立k 的最小值为 2 故选：C9 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上
16、，若AB=3，AC=4，ABAC ，AA 1=12，则球 O 的直径为（ ）A13 B C D【解答】解：因为直三棱柱中，AB=3 ，AC=4，AA 1=12，ABAC，所以 BC=5，且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径取 BC 中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1，矩形 BCC1B1 的对角线长即为球直径，所以 2R= =13故选：A10 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 的取值范围m，n恰好是函数 y=2sinx（0）的一个单调递增区间，则 的值为（ ）A B C D【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 z 的几何意义为区域内的点
17、D（2，0）的斜率，由图象知 DB 的斜率最小，DA 的斜率最大，由 ，解得 A（1，2） ，则 DA 的斜率 kDA= =2，由 ，解得 B（1，2） ，则 DB 的斜率 kDB= =2，则2 z2，目标函数 的取值范围2，2恰好是函数 y=2sinx（0）的一个单调递增区间，可得 2= ，解得 = ，故选：C11 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 =1（a0，b 0）的左右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A （2 ，+） B （ ， 2） C （ ， ） D （1，
18、 ）【解答】解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= （x c） ，与 y= x 联立，可得交点 M（ ， ） ，点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，|OM|OF 2|，即有 + c 2， 3，即 b23a 2，c 2a23a 2，即 c2a则 e= 2双曲线离心率的取值范围是（2，+） 故选：A12 （5 分）对于函数 f（ x）和 g（x ） ，设 xR|f（x）=0， xR|g（x）=0，若存在 、，使得|1，则称 f（x）与 g（x）互为“零点关联函数”若函数 f（x）=e x1+x2 与 g（x ）=x 2axa+
19、3 互为“零点关联函数”，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C2，3 D2，4【解答】解：函数 f（x） =ex1+x2 的零点为 x=1设 g（ x）=x 2axa+3 的零点为 ，若函数 f（x ）=e x1+x2 与 g（x ）=x 2axa+3 互为“ 零点关联函数 ”，根据零点关联函数，则|1|1，02，如图由于 g（x ）=x 2axa+3 必过点 A（ 1，4） ，故要使其零点在区间0，2上，则g（ 0）g（2）0 或 ，解得 2a3，故选：C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若角 的终边经过点 P ，则 sintan的值是 【解答
20、】解：OP=r= =1，点 P 在单位圆上，sin= ，tan= ，得 sintan=（ ）（ ）= 故答案为 14 （5 分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“ 是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说： “是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 丙 【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故答案为：丙15 （5 分）设 l，m 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是
21、 若 l m，m，则 l 或 l 若 l ，则 l 或 l若 l ，m，则 lm 或 l 与 m 相交 若 l ，则 l 或 l【解答】解：若 lm，m，则 l或 l，故错；由面面垂直的性质定理知，若 l，则 l 或 l，故对；若 l ，m，则 lm 或 l 与 m 相交，或 l 与 m 异面，故错；若 l ，则 l 或 l或 l 或 l，或 l 与 相交故错故答案为：16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=e x（x0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为
22、 t，则 t 的最大值是 （e+e 1） 【解答】解：设切点坐标为（m，e m） 该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 yem=em（xm） 令 x=0，解得 y=（1m）e m过点 P 作 l 的垂线的切线方程为 yem=em（x m） 令 x=0，解得 y=em+mem线段 MN 的中点的纵坐标为 t= （2m ）e m+memt= em+（2m）e m+emmem，令 t=0 解得：m=1当 m（0，1）时，t0 ，当 m（1，+）时，t0当 m=1 时 t 取最大值 （e +e1） 故答案为： （e+e 1） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程
23、或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知，（I）求角 A 的大小；（II）若 a=2，求的面积 S 的最大值【解答】解：（I）已知 ，正弦定理化简可得： ，即 sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC0C，sinC0， cosA=1即 cosA= A= （II）a=2， A= 余弦定理：a 2=b2+c22bccosA可得：b 2+c2=4+ bc4+ bc2bc，当且仅当 b=c 时取等号解得：bc 2（2+ ）那么三角形面积 S= bcsinA = 18 （12 分）数列a n满足 （1）证明：数列 是等差数
24、列；（2）若 ，求 T2n【解答】证明：（1）由已知可得 ，即 ， 是以 为首项，1 为公差的等差数列解：（2）由（1）得 ， ， ，T 2n=a1a2+a3a4+a2n1a2n=1222+3242+（2n 1） 2（2n） 2，=（2 1） （2+1）+（43） （4+3）+ +（2n +2n1） （2n 2n+1） ，=（3 +7+2n1） ，= ，=2n2n19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ABD=90，EB 平面 ABCD，EFAB，AB=2，EB= ，且 M 是 BD 的中点（1）求证：EM 平面 ADF；（2）求二面角 AFDB 的余弦值的大小
25、【解答】 （1）证明：法一、取 AD 的中点 N，连接 MN，NF，在 DAB 中，M 是 BD 的中点，N 是 AD 的中点， ，又 ，MNEF 且 MN=EF四边形 MNFE 为平行四边形，则 EMFN，又FN 平面 ADF，EM 平面 ADF，故 EM平面 ADF法二、EB平面 ABD，AB BD ，故以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 BxyzAB=2，EB= ，B（0，0，0） ，D （3，0，0 ） ，A （0，0，2） ，E（0，0， ） ，F （0，1， ） ，M（ ，0，0 ） ， ， ，设平面 ADF 的一个法向量是 由 ，令 y=3，得 又 ， ，又 EM平面
26、ADF，故 EM平面 ADF（2）解：由（1）可知平面 ADF 的一个法向量是 ， ，设平面 BFD 的一个法向量是 ，由 ，令 z=1，得 ，cos = = ，又二面角 AFDB 为锐角，故二面角 AFDB 的余弦值大小为 20 （12 分）已知抛物线 E：y 2=2px（p0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆 C：（ x5） 2+y2=9 的两条切线，切点为 （1）求抛物线 E 的方程；（2）若直线 AB 是讲过定点 Q（2，0）的一条直线，且与抛物线 E 交于 A，B两点，过定点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G，D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值【解答】解：（1）
27、根据题意，抛物线的 E 的方程为 y2=2px（p0） ，则设 MN 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知， 于是 ，所以CMR=30，MCR=60，所以|CK|=6，所以 p=2故抛物线 E 的方程为 y2=4x（2）设直线 AB 的方程为 x=my+2，设 A=（x 1，y 1） ，B= （x 2，y 2） ，联立 得 y24my8=0，则 y1+y2=4m，y 1y2=8设 G=（x 3，y 3） ，D= （x 4，y 4） ，同理得 ，则四边形 AGBD 的面积=令 ，则 是关于 的增函数，故 Smin=48，当且仅当 m=1 时取得最小值 4821 （12 分）已知函数 ，记 F（
28、x）=f（x）g （x ） （1）求证：F（x）在区间（1，+）内有且仅有一个实根；（2）用 mina，b表示 a，b 中的最小值，设函数 m（x）=minf（x ） ，g （x ），若方程 m（x）=c 在区间（1，+）内有两个不相等的实根 x1，x 2（x 1x 2） ，记F（x）在（1，+）内的实根为 x0求证： 【解答】证明：（1） ，定义域为 x（0，+） ，当 x1 时，F （x）0，F（x）在（1，+）上单调递增，又 ，而 F（x）在（1，+）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+）有且仅有一个实根（2）当 0x1 时，f（ x）=xlnx0，而 ，故此时有 f（x
29、 ）g （x ） ，由（1）知，F（x）在（1，+）上单调递增，有 x0 为 F（x ）在（1，+）内的实根，所以 F（x 0）=f（x 0）g（x 0）=0，故当 1xx 0 时，F（x）0，即 f（x）g（x） ；当 xx 0 时， F（x ）0 ，即 f（x ）g（x） 因而 ，当 1xx 0 时，m（x ）=xlnx，m（x）=1 +lnx0，因而 m（x ）在（ 1，x 0）上递增；当 xx 0 时， ，因而 m（x ）在（ x0，+）上递减；若方程 m（x）=c 在（1，+）有两不等实根 x1，x 2，则满足 x1（ 1，x 0） ，x 2（x 0，+）要证： ，即证：x 1+x2
30、2x 0，即证：x 22x 0x1x 0，而 m（x ）在（ x0，+）上递减，即证：m（x 2）m （2x 0x1） ，又因为 m（x 1）=m（x 2） ，即证：m（x 1）m （2x 0x1） ，即证：记 ，由 F（x 0）=0 得： ，h（x 0）=0 ，则 ，当 0x1 时，g （x）0；当 x1 时，g（x）0故 ，所以当 x0 时， ，2x 0x0， ，因此 ，即 h（x）在递增从而当 1x 1x 0 时，h（x）h（x 0）=0，即 ，故 得证请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标
31、系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为，且 l 过点 A，曲线 C1 的参考方程为 （ 为参数）（1）求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值；（2）过点 B（2，2）与直线 l 平行的直线 l1 与曲 C1 线交于 M，N 两点，求|BM|BN|的值【解答】解：（1）点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为，且 l 过点 A，由直线 l 过点 A 可得 ，故 ，直线 l 的极坐标方程为 sin+cos=8，直线 l 的直角坐标方程为 x+y8=0曲线 C1 的参考方程为 （ 为参数） 根据点到直线的距离方程
32、可得曲线 C1 上的点到直线 l 的距离：， （2）由（1）知直线 l 的倾斜角为 ，则直线 l1 的参数方程为 （t 为参数） 又曲线 C1 的普通方程为 把直线 l1 的参数方程代入曲线 C1 的普通方程可得：， ，依据参数 t 的几何意义可知 选修 4-5：不等式选讲23设 a0，b0 ，且 求证：（1）a+b 2 ；（2）a 2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立【解答】证明：（1）由 ，得 ab=1，由基本不等式及 ab=1，有 ，即 a+b2（2）假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立，则 a2+a2 且 b2+b2，则 a2+a+b2+b4，即：（a+b） 2+a+b2ab4，由（1）知 ab=1 因此（ a+b） 2+a+b6而 a+b2 ，因此（ a+b） 2+a+b6，因此矛盾，因此假设不成立，原结论成立
