1、第2课时椭圆方程及性质的应用,类型一直线与椭圆的位置关系【典例1】对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆 +y2=1的位置关系.【解题指南】联立两个方程消去y得到关于x的二次方程求讨论得结论,【解析】联立方程组得: 将代入得: +(x+m)2=1,整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.=(8m)2-45(4m2-4)=16(5-m2).,当0,即- ,方程无实根,直线与椭圆相离.,【延伸探究】若把本例中直线方程改为“y=2x+m”,椭圆方程改为 =1,试讨论直线与椭圆的位置关系.,【解析】联立方程组得: 将代入,并整理得9x2+8mx+2m2-4=0,=(8m)2-49(2m2-4)=-
2、8m2+144.,(1)由0,得- m ,也就是当- m0,0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1.又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0m5,所以1m0,则x1+x2= x1x2=0.,方法三:由方程组 消去x得3y2+2y-8=0,因为=22+438=1000,则y1+y2=- ,y1y2=- .,【方法总结】直线被椭圆截得的弦长的求法思路(1)求两交点坐标,转化为两点间距离.(2)用公式来求.设直线斜率为k,直线与椭圆两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= |x1-x2|= |y1-y2|.,提醒:在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,常用根与系数
3、的关系,此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.,【巩固训练】椭圆 =1(ab0)的离心率为 且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,Q,且|PQ|= 求椭圆的方程.,【解析】因为e= ,所以b2= a2.所以椭圆的方程为x2+4y2=a2.与x+2y+8=0联立消去y,得2x2+16x+64-a2=0,由0,得a232,由弦长公式得10= 64-2(64-a2).所以a2=36,b2=9.所以椭圆的方程为,【补偿训练】已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点F,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.,【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由椭圆方程知a2=4,
4、b2=1,所以c= 所以F( ,0),所以直线l的方程为y=x- ,将其代入椭圆方程,并化简、整理得5x2-8 x+8=0,所以 所以,类型三与椭圆相关的中点弦问题【典例3】过椭圆 =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.,【解题指南】可以设出所求直线方程,然后代入椭圆方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;也可以考虑利用点差法求解.,【解析】方法一:由题意知过点M的弦所在直线的斜率存在,设为k,则所求直线方程为y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A(x1,
5、y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是x1+x2= 又M为AB的中点,所以 解得k=- .故所求直线的方程为x+2y-4=0.,方法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1x2.又M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,则x124y12=16，x224y22=16. 两式相减得(x12-x22)4(y12-y22)=0.,于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.所以 即kAB=- .又直线AB过点M(2,1),故所求直线的方程为x+2y-4=0.,【方法总结】解决椭圆中点弦
6、问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 =1(ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则,【巩固训练】(2017宝鸡高二检测)已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(),【解析】选C.易知该弦所在直线的斜率存在.由题意可设y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k.代入椭圆方程,得x2+2
7、(kx+1-k)2=4.所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.,由x1+x2= =2,得k=- ,所以x1x2= .所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4- 所以|AB|=,【补偿训练】(2017武汉高二检测)已知过点A(-1,1)的直线l与椭圆 =1交于点B,C,当直线l绕点A(-1,1)旋转时,求弦BC中点M的轨迹方程.,【解析】设直线l与椭圆的交点B(x1,y1),C(x2,y2),弦BC中点M(x,y),则 -,得 所以(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.,当x1x2时, 所以式可化为(x1+x2)+2(y1+y2) =0.所以2x+22y =0,化简得x2+2y2+x-2y=0.当x1=x2时,因为点M(x,y)是线段BC中点,所以x=-1,y=0,显然适合上式.综上所述,所求弦BC中点M的轨迹方程是x2+2y2+x-2y=0.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结解决直线与椭圆综合问题的常用方法(1)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法.(2)解决弦长问题,一般应用弦长公式.(3)解决弦中点问题常用点差法.,
