1、2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x0，B=x|1x1，则 AB=（ ）A （0 ，+） B （1，+） C （0，1） D （1，1）2 （5 分）设 i 为虚数单位，aR ，若（1+i） （1+ai）是纯虚数，则 a=（ ）A2 B2 C1 D 13 （5 分）sin20cos40+cos20sin140=（ ）A B C D4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1
2、 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线 不一定过样本中心（ ， ）C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1D若一组数据 1、a、3 的平均数是 2，则该组数据的方差是5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 为 2，则输出的 a 值是（ ）A2 B1 C D 16 （5 分）已知数列a n满足 an+1=2an（n N*） ，a 1+a3=2，则 a5+a7=（ ）A8 B16 C32 D647 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z
3、=y2x 的最小值是（ ）A5 B2 C3 D 58 （5 分）从集合2，3，4中随机抽取两数 x，y，则满足 的概率是（ ）A B C D9 （5 分）函数 f（x ）=x 22|x|的图象大致是（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（ x）=sin 2x+ sinxcosx，则（ ）Af （x）的最小正周期为 2 Bf（x）的最大值为 2C f（ x）在（ ， ）上单调递减 Df（x）的图象关于直线 对称11 （5 分）设 a0 ，当 x0 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） （1，+） B （0，+） C （1 ，+） D （0，1）12 （5 分
4、）设 nN*，函数 f1（x ）=xe x，f 2（x）=f 1（x） ，f 3（x）=f 2（x） ，f n+1（x）=f n（x） ，曲线 y=fn（x）的最低点为 Pn，则（ ）A存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为等腰三角形B存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为锐角三角形C存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为直角三角形D对任意 nN*，P nPn+1Pn+2 为钝角三角形二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，则 = 14 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被
5、问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 15 （5 分）设函数 f（x ） = ，则满足 f（x ）2 的 x 的取值范围是 16 （5 分）已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，a 1=1，a 8=3a3，则+ + + = 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和已知 a1=1，S n=22an+1（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=（1） nan，求数列b n
6、的前 n 项和18 （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知bcosC+csinB=0（）求 C；（）若 ，BC 的中垂线交 AB 于点 D，求 BD 的长19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95，100）100，105）105，110）11
7、0，115）115，120）120，125频数 1 5 18 19 6 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）将频率视为概率若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品不合格品合计（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较附：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520 （12 分）已知函数 f（ x）=asinx+b
8、cosx （a，b R） ，曲线 y=f（x）在点（ ，f（ ） ）处的切线方程为：y=x （）求 a，b 的值；（）求函数 g（x）= 在 上的最小值21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xax1（aR） （）讨论 f（x）的单调性；（）设 a1，是否存在正实数 x，使得 f（x）0？若存在，请求出一个符合条件的 x，若不存在，请说明理由选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；
9、（）已知直线 l 上一点 M 的极坐标为（2 ， ） ，其中 射线 OM与曲线 C 交于不同于极点的点 N，求|MN|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|3x1|+|x2|的最小值为 m（）求 m 的值；（）设实数 a，b 满足 2a2+b2=m，证明：2a+b 2018 年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x0，B=x|1x1，则 AB=（ ）A （0 ，+） B （1，+） C （0，1） D （1，1）【解
10、答】解：集合 A=x|x0，B=x|1x1，则 AB=x |x 1=（1， +） ，故选：B2 （5 分）设 i 为虚数单位，aR ，若（1+i） （1+ai）是纯虚数，则 a=（ ）A2 B2 C1 D 1【解答】解：（1+i） （1+ai）=（1a）+（1+a）是纯虚数， ，解得：a=1故选：C3 （5 分）sin20cos40+cos20sin140=（ ）A B C D【解答】解：sin20cos40 +cos20sin140=sin20cos40+cos20sin40=sin（20+40 ）=sin60= 故选：B4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A先把高三年级的 2000 名学
11、生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线 不一定过样本中心（ ， ）C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1D若一组数据 1、a、3 的平均数是 2，则该组数据的方差是【解答】解：对于 A，根据抽样方法特征是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，A 错误；对于 B，线性回归直线 一定过样本中心点（ ， ） ，B 错误；对于 C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于 1，B错误；对于 D，一组数
12、据 1、a、3 的平均数是 2，a=2 ；该组数据的方差是 s2= （12） 2+（2 2） 2+（ 32） 2= ，D 正确故选：D5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 为 2，则输出的 a 值是（ ）A2 B1 C D 1【解答】解：当 a=2，k=0 时，执行循环 a=1，满足继续循环的条件，k=1；执行循环 a= ，满足继续循环的条件，k=2 ；执行循环 a=2，满足继续循环的条件，k=3 ； 执行循环 a=1，满足继续循环的条件，k=4 ；执行循环 a= ，满足继续循环的条件，k=5 ；执行循环 a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为 2，故选：A6 （5 分）已
13、知数列a n满足 an+1=2an（n N*） ，a 1+a3=2，则 a5+a7=（ ）A8 B16 C32 D64【解答】解：数列a n满足 an+1=2an（n N*） ，此数列是等比数列，公比为2则 a5+a7=24（a 1+a3）=2 42=32故选：C7 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z=y2x 的最小值是（ ）A5 B2 C3 D 5【解答】解：由 z=y2x，则 y=2x+z作出实数 x，y 满足 对应的平面区域如图：平移直线 y=2x+z，由图象知当直线 y=2x+z，经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最小，此时 z 最小，由 ，得 A（3，1） ，此时 z
14、=123=5，即 z=y2x 的最小值 5，故选：D8 （5 分）从集合2，3，4中随机抽取两数 x，y，则满足 的概率是（ ）A B C D【解答】解：集合2，3，4中随机抽取两数 x，y，则有 log23，log 24，log 32，log 34，log 42，log 43 共 6 个，满足 的只有 1 个，是 log42= ；所求的概率是 P= 故选：D9 （5 分）函数 f（x ）=x 22|x|的图象大致是（ ）A B C D【解答】解：函数 f（x ）=x 22|x|，f（ 3）=98=10，故排除 C，D，f（ 0）=1，f （ ）= 2 =0.25 1，故排除 A，故选：B当
15、x0 时，f（x）=x 22x，f（x）=2x2 xln2，故选：B10 （5 分）已知函数 f（ x）=sin 2x+ sinxcosx，则（ ）Af （x）的最小正周期为 2 Bf（x）的最大值为 2C f（ x）在（ ， ）上单调递减 Df（x）的图象关于直线 对称【解答】解：f（x）=sin 2x+ sinxcosx= + sin2x=sin（2x ）+ ，由 T= =，故 A 错误，f（x）的最大值为 1+ = ，故 B 错误；令 2k+ 2x 2k + ，解得：k+ xk+ ，kZ ，当 k=0 时，则 f（x）在（ ， ）上单调递减，故 C 正确，令 2x =k+ ，解得：x=
16、+ ，故 D 错误，故选：C11 （5 分）设 a0 ，当 x0 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） （1，+） B （0，+） C （1 ，+） D （0，1）【解答】解：由题意，令 f（x ）= ，则 f（x）= ，令 f（x）=0，可得（xa） （x +1）=0，当 x（0，a）时，f （x）0，即 f（x）在（0，a）上单调递减，当 x（a，+）时，f （x ）0，即 f（x）在（0，a）上单调递增，f（ x） min=f（a）= ，令 g（ a）=a 2aalna0， （ a0）g （a）=a lna10则 g（a ）=1 ，令 g（a ）=0可得：a=
17、1当 a（0，1）时，g（a）递减， （1，+）时，g（a）递增，当 a=1 时，g（a） min=0由函数 y=a1 和函数 y=lna 可得，y=a1 的图象在 y=lna 的上方a 0 且 a1故选：A12 （5 分）设 nN*，函数 f1（x ）=xe x，f 2（x）=f 1（x） ，f 3（x）=f 2（x） ，f n+1（x）=f n（x） ，曲线 y=fn（x）的最低点为 Pn，则（ ）A存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为等腰三角形B存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为锐角三角形C存在 nN*，使P nPn+1Pn+2 为直角三角形D对任意 nN*，P nPn+1
18、Pn+2 为钝角三角形【解答】解：根据题意，函数 f1（x）=xe x，其导数 f1（x ）= （x）e x+x（e x）=（x +1）e x，分析可得在（，1）上，f 1（x ）0，f 1（x）为减函数，在（1，+）上，f 1（x） 0，f 1（x）为增函数，曲线 y=f1（x）的最低点 P1， （1， ） ，对于函数 f2（ x）=f 1（x ）= （x+1）e x，其导数 f2（x ）= （x+1）e x+（x+1） （e x）=（x +2）e x，分析可得在（，2）上，f 1（x ）0，f 1（x）为减函数，在（2，+）上，f 1（x） 0，f 1（x）为增函数，曲线 y=f1（x）的
19、最低点 P1， （2， ） ，分析可得曲线 y=fn（x）的最低点 Pn，其坐标为（ n， ） ；则 Pn+1（n1 ， ） ，P n+2（n 2， ） ；有 = = ，同理 = ，分析可得： ，即P nPn+1Pn+2 为钝角三角形；则对任意 nN*，P nPn+1Pn+2 为钝角三角形；故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，则 = 4 【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 2，= = +2 =4故答案为：414 （5 分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的
20、自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙故答案为：乙15 （5 分）设函数 f（x ） = ，则满足 f（x ）2 的 x 的取值范围是 （1，0）（2， +） 【解答】解：函数
21、f（x） = ，当 x0 时，f（x）2 即为 x2x20，解得 x2；当 x0 时，f（x）2 即为 2x2x20，解得1x0则满足 f（x ）2 的 x 的取值范围为（1，0）（ 2，+） 故答案为：（1，0）（ 2，+） 16 （5 分）已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，a 1=1，a 8=3a3，则+ + + = 【解答】解：由 a1=1，a 8=3a3，得 a1+7d=3（a 1+2d） ，即 1+7d=3+6d，得 d=2，= = ，则 + + + = + + = =1= ，故答案为：三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
22、 （12 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和已知 a1=1，S n=22an+1（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=（1） nan，求数列b n的前 n 项和【解答】解：（）S n=22an+1，a 1=1当 n=1 时，S 1=22a2，得 （2 分）当 n2 时，S n1=22an当 n2 时，a n=2an2an+1，即 （5 分）又a n是以 a1=1 为首项， 为公比的等比数列（ 6 分）数列a n的通项公式 （7 分）（）由（）知，当 n2 时，b n是以 b1=1 为首项， 为公比的等比数列 （10 分）数列b n的前 n 项和为 （12 分）18 （12 分）ABC
23、 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知bcosC+csinB=0（）求 C；（）若 ，BC 的中垂线交 AB 于点 D，求 BD 的长【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）在ABC 中，bcosC+csinB=0，由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0 （2 分）0B，sinB0，于是 cosC+sinC=0，即 tanC=1（4 分）0C （6 分）（）由（）和余弦定理知，c=5，（8 分） ，（10 分）设 BC 的中垂线交 BC 于点 E，在 RtBCD 中， ， = = （12 分）19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两
24、套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品表 1 是甲套设备的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图表 1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值95，100）100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 5 18 19 6 1图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图（）将频率视为概率若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；（）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企
25、业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品不合格品合计（）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较附：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】解：（）由图 1 知，乙套设备生产的不合格品率约为 （2 分）乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 （件）（3 分）（）由表 1 和图 1 得到列联表：甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91不合格品 2 7 9合计 50 50 100（5 分）将列联表中的数据代入公式计算得（8 分）
26、3.052.706有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（9 分）（）由表 1 和图 1 知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备（12 分）20 （12 分）已知函数 f（ x）=asinx+bcosx （a，b R） ，曲线 y=f（x）在点（ ，f（ ） ）处的切线方程为：y=x （）求 a，b 的值；（）求函数 g（x）= 在 上
27、的最小值【解答】解：（）由切线方程知，当 时，y=0 （1 分）f（x）=acosxbsinx（ 3 分）由切线方程知， （4 分） （5 分）（）由（）知，f（x ）= sinx cosx=sin（x ）（6 分）函数 ， （8 分）设则 u（x ）= xsinx0，故 u（x）在 上单调递减u（x）u（0）=0，g （x）在 上单调递减（11 分）函数 g（x ）在 上的最小值为 g（ ）= （12 分）21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xax1（aR） （）讨论 f（x）的单调性；（）设 a1，是否存在正实数 x，使得 f（x）0？若存在，请求出一个符合条件的 x，若不存在，请
28、说明理由【解答】解：（）f（x ）的定义域为 R，f（x ）=e xa（1 分）当 a0 时，f（x）0，故 f（x）在 R 上单调递增 （2 分）当 a0 时，令 f（x）=0，得 x=lna当 xlna 时，f （x）0，故 f（x）单调递减当 xlna 时，f （x）0，故 f（x）单调递增（5 分）综上所述，当 a0 时，f（x ）在 R 上单调递增；当 a0 时，f （x ）在（，lna ）上单调递减，在（lna ，+）上单调递增（6 分）（）存在正数 x=2lna，使得 f（x）0 （8 分）即 f（2lna ）=a 22alna10，其中 a1证明如下：设 g（ x）=x 22x
29、lnx1（x1） ，则 g（x）=2x2lnx 2设 u（x）=x lnx1（x1） ，则 ，故 u（x）在（1，+）上单调递增u（x）u（1）=0，故 g（x）=2x 2lnx2=2u（x）0g （x）在（1，+）上单调递增，故 g（x）g（1）=0当 a1 时，a 22alna10f（ 2lna）=a 22alna10（12 分）选修 4-4：极坐标与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知直线
30、 l 上一点 M 的极坐标为（2 ， ） ，其中 射线 OM与曲线 C 交于不同于极点的点 N，求|MN|的值【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线的普通方程为 ，极坐标方程为 曲线 C 的普通方程为 ，极坐标方程为 （5 分）（）点 M 在直线 l 上，且点 M 的极坐标为（2，） ， ，射线 OM 的极坐标方程为 联立 ，解得 =3|MN|=| NM|=1选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|3x1|+|x2|的最小值为 m（）求 m 的值；（）设实数 a，b 满足 2a2+b2=m，证明：2a+b 【解答】解：（）f（x ）=|3x1|+|x2|= ，f（ x）在 ）上单调递增，在（ ）上单调递减f（ x）的最小值为 f（ ）= （5 分）（）由（）知，2a 2+b2= ，2ab a2+b2，（2a+b ） 2=4a2+b2+4ab4（a 2+b2）+2 （a 2+b2）=3 （2a 2+b2）=5，当 a=b 时取等2a+b （10 分）
