2018年上海市虹口区中考数学一模试卷.doc

1、第 1 页（共 30 页）2018 年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1 （4 分）如果两个相似三角形对应边之比是 1：3，那么它们的对应中线之比是（ ）A1 ：3 B1：4 C1：6 D1：92 （4 分）抛物线 y=2x24 的顶点在（ ）Ax 轴上 By 轴上 C第三象限 D第四象限3 （4 分）如果将抛物线 y=x22 向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（ ）Ay= x25 By=x 2+1 Cy= （x 3） 22 D

2、y= （x +3） 224 （4 分）已知 =3， =5，且 与 的方向相反，用 表示向量 为（ ）A B C D5 （4 分）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，物体所经过路程是 13 米，那么斜坡的坡度为（ ）A1 ：2.6 B C1：2.4 D6 （4 分）如图，ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置如果ABC 的面积为 10，且 sinA= ，那么点 C 的位置可以在（ ）第 2 页（共 30 页）A点 C1 处 B点 C2 处 C点 C3 处 D点 C4 处二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）

3、【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7 （4 分）如果 ，那么 = 8 （4 分）已知点 P 把线段分割成 AP 和 PB 两段（APPB） ，如果 AP 是 AB 和PB 的比例中项，那么 AP：AB 的值等于 9 （4 分）如果 ，那么 = （用向量 表示向量 ） 10 （4 分）如果抛物线 y=x2+（m 1）x +3 经过点（ 2，1） ，那么 m 的值为 11 （4 分）抛物线 y=x2+2x1 在对称轴 （填“左侧” 或“右侧”）的部分是下降的12 （4 分）如果将抛物线 y=2x2 平移，顶点移到点 P（3，2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为 13 （4 分）如果点 A（2，

4、 4）与点 B（6， 4）在抛物线 y=ax2+bx+c（a0）上，那么该抛物线的对称轴为直线 14 （4 分）如图，已知 ADEFBC，如果 AE=2EB，DF=6 ，那么 CD 的长为 第 3 页（共 30 页）15 （4 分）在 RtABC 中，C=90 ，如果 AB=6，cosA= ，那么 AC= 16 （4 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，边 AB 的垂直平分线分别交边BC、AB 于点 D、E 如果 BC=8，tanA= ，那么 BD= 17 （4 分）如图，点 P 为MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的APB 两边分别与射线 OM、ON 相交于点 A、B，如果

5、APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOB=OP2，我们就把 APB 叫做MON 的关联角如果 MON=50，APB 是MON 的关联角，那么APB 的度数为 18 （4 分）在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8（如图） ，点 D 是边 AB 上一点，把ABC 绕着点 D 旋转 90得到ABC ，边 BC与边 AB 相交于点 E，如果 AD=BE，那么 AD 长为 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （10 分）计算： 20 （10 分）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图第

6、4 页（共 30 页）象x 1 0 2 4 y 0 5 9 0 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 E 在边 AB 上，点 G 是ABC 的重心，联结AG 并延长交 BC 于点 D（1）若 = ， = ，用向量 表示向量 ；（2）若B=ACE，AB=6 ，AC=2 ，BC=9，求 EG 的长22 （10 分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的水平线上，A 、B 之间的距离约为 49cm，现测得AC、BC 与 AB 的夹角分别为 45与 68，若点 C 到地面的距离 CD 为 28cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4cm，

7、求点 E 到地面的距离（结果保留一位小数） （参考数据：sin680.93 ，cos68 0.37，cot680.40）第 5 页（共 30 页）23 （12 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点 F，且 EFDF=BFCF（1）求证：ADAB=AEAC；（2）当 AB=12，AC=9，AE=8 时，求 BD 的长与 的值24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴相交于点A（2，0） 、B（4 ，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 4） ， BC 与抛物线的对称轴相交于点 D（1）求该抛物线的表达式，并直接写出

8、点 D 的坐标；（2）过点 A 作 AEAC 交抛物线于点 E，求点 E 的坐标25 （14 分）已知 AB=5，AD=4 ，AD BM，cosB= （如图） ，点 C、E 分别为射线 BM 上的动点（点 C、E 都不与点 B 重合） ，联结 AC、AE，使得第 6 页（共 30 页）DAE= BAC，射线 EA 交射线 CD 于点 F设 BC=x， =y（1）如图 1，当 x=4 时，求 AF 的长；（2）当点 E 在点 C 的右侧时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结 BD 交 AE 于点 P，若ADP 是等腰三角形，直接写出 x 的值第 7 页（共 30 页）

9、2018 年上海市虹口区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1 （4 分）如果两个相似三角形对应边之比是 1：3，那么它们的对应中线之比是（ ）A1 ：3 B1：4 C1：6 D1：9【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答【解答】解：两个相似三角形对应边之比是 1：3，又相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，它们的对应中线之比为 1：3故选：A【点评】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握

10、：相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方2 （4 分）抛物线 y=2x24 的顶点在（ ）Ax 轴上 By 轴上 C第三象限 D第四象限【分析】根据顶点在 y 轴上，对称轴 x=0，进而得出答案【解答】解：根据题意知，对称轴 x=0，故抛物线 y=2x24 的顶点在 y 轴上故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，正确得出二次函数图象的位置是解题关第 8 页（共 30 页）键3 （4 分）如果将抛物线 y=x22 向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是（ ）Ay= x25 By=x 2+1 Cy= （x

11、 3） 22 Dy= （x +3） 22【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可【解答】解：y=x 22 的顶点坐标为（ 0，2） ，向右平移 3 个单位，平移后的抛物线的顶点坐标为（3，2） ，所得到的新抛物线的表达式是 y=（x3） 22故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便4 （4 分）已知 =3， =5，且 与 的方向相反，用 表示向量 为（ ）A B C D【分析】先表示出两个向量模的关系，再根据反向解答即可【解答】解：| |=3，|

12、 |=5，| |= | |， 与 反向， = 第 9 页（共 30 页）故选：D【点评】本题考查了平面向量，难点在于反向向量的表示方法5 （4 分）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，物体所经过路程是 13 米，那么斜坡的坡度为（ ）A1 ：2.6 B C1：2.4 D【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决【解答】解：如图，根据题意知 AB=13、AC=5 ，则 BC= = =12，斜坡的坡度 i=tanABC= = =1：2.4 ，故选：C【点评】本题考查解直角三角形的应用

13、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，明确坡度的定义6 （4 分）如图，ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置如果ABC 的面积为 10，且 sinA= ，那么点 C 的位置可以在（ ）第 10 页（共 30 页）A点 C1 处 B点 C2 处 C点 C3 处 D点 C4 处【分析】过点 C 作 CD直线 AB 于点 D，由 AB 的长度结合ABC 的面积，可得出 CD 的长度，再由 sinA= 可得出 AC 的长度，利用勾股定理可求出 AD 的长度，进而可找出点 C 所在的位置【解答】解：过点 C 作 CD直线 AB 于点 D，如图所示AB=

14、5，ABC 的面积为 10，CD=4sinA= ，AC=4 ，AD= =8，点 C 在点 C4 处故选：D【点评】本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，构造直角三角形，通过解直角三角形确定点 C 的位置是解题的关键二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题第 11 页（共 30 页）纸的相应位置】7 （4 分）如果 ，那么 = 2 【分析】直接利用已知得出 x，y 的关系，进而代入求出答案【解答】解： ，x= y， = = =2故答案为：2【点评】此题主要考查了比例的性质，正确得出 x，y 之间关系是解题关键8 （4 分）已知点 P 把线

15、段分割成 AP 和 PB 两段（APPB） ，如果 AP 是 AB 和PB 的比例中项，那么 AP：AB 的值等于 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是 解答即可【解答】解：点 P 把线段分割成 AP 和 PB 两段（APPB） ，AP 是 AB 和 PB 的比例中项，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP： AB= ，故答案为： 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比9 （4 分）如果 ，那么 = = 2 ， （用向量 表示向量 ）第 12 页（共 30 页）【分析】把 ，看

16、成关于 的方程，解方程即可；【解答】解： ，2 +2 = + ， = 2 ，故答案为= 2 【点评】本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题10 （4 分）如果抛物线 y=x2+（m 1）x +3 经过点（ 2，1） ，那么 m 的值为 2 【分析】把点（2，1）代入函数解析式，计算即可求出 m 的值【解答】解：抛物线 y=x2+（m 1）x +3 经过点（2，1） ，4 +2m2+3=1，解得 m=2故答案为 2【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的点的坐标满足函数关系式是解题的关键11 （4 分）抛物线 y

17、=x2+2x1 在对称轴 右侧 （填 “左侧”或“右侧”）的部分是下降的【分析】根据二次函数的性质解题【解答】解：a=10，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，第 13 页（共 30 页）故答案为：右侧【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键12 （4 分）如果将抛物线 y=2x2 平移，顶点移到点 P（3，2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为 y=2（x3） 22 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（3，2）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=

18、2（x 3） 22故答案为：y=2（x3） 22【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13 （4 分）如果点 A（2， 4）与点 B（6， 4）在抛物线 y=ax2+bx+c（a0）上，那么该抛物线的对称轴为直线 x=4 【分析】由点 A、B 的纵坐标相等可得出点 A、B 关于抛物线的对称轴对称，再由点 A、B 的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解【解答】解：点 A（2， 4）与点 B（6，

19、4）的纵坐标相等，点 A、B 关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴为直线 x= =4故答案为：x=4【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键第 14 页（共 30 页）14 （4 分）如图，已知 ADEFBC，如果 AE=2EB，DF=6 ，那么 CD 的长为 9 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得 CF 的长，再求得DC 的长【解答】解：AD EFBC， = =2，DF=6，FC=3，DC=DF+FC=9故答案是：9【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解答此题的关键是注意数形结合思想的应用15 （4 分）在 RtABC 中，C=

20、90 ，如果 AB=6，cosA= ，那么 AC= 2 【分析】利用锐角三角函数定义表示出 cosA，把 AB 的长代入求出 AC 的长即可【解答】解：如图所示在 RtABC 中，C=90，AB=6，cosA= ，cosA= = ，AC= AB= 6=2，故答案为 2第 15 页（共 30 页）【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键16 （4 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，边 AB 的垂直平分线分别交边BC、AB 于点 D、E 如果 BC=8，tanA= ，那么 BD= 【分析】先解 RtABC ，得出AC= =6，AB= =10，cosB= = 再

21、求出 BE= AB=5然后在RtBDE 中，利用 cosB= = 即可求出 BD【解答】解：在 RtABC 中，C=90，BC=8， tanA= ，AC= = =6，AB= =10，cosB= = = 边 AB 的垂直平分线交边 AB 于点 E，BE= AB=5在 RtBDE 中，BED=90，cosB= = ，BD= = = 故答案为 第 16 页（共 30 页）【点评】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键17 （4 分）如图，点 P 为MON 平分线 OC 上一点，以点 P 为顶点的APB 两边分别与射线 OM、ON 相交于点 A、B，如

22、果APB 在绕点 P 旋转时始终满足 OAOB=OP2，我们就把 APB 叫做MON 的关联角如果 MON=50，APB 是MON 的关联角，那么APB 的度数为 155 【分析】由已知条件得到 ，由于BOP=AOP ，得到PBOAOP，根据相似三角形的性质得到OBP=OPA，根据等量代换即可得到结论；【解答】解：OAOB=OP 2， ，BOP= AOP，PBOAOP ，OBP= OPA，MON=50 ，BOP=25，OBP+BPO=180 25=155APB=BPO+APO=155；故答案为：155【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质得到OBP=OPA第 17

23、 页（共 30 页）18 （4 分）在 RtABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8（如图） ，点 D 是边 AB 上一点，把ABC 绕着点 D 旋转 90得到ABC ，边 BC与边 AB 相交于点 E，如果 AD=BE，那么 AD 长为 【分析】利用勾股定理可求出 AB 的长度，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况考虑：当顺时针旋转时，设 DE=3x，则 BD=4x，根据旋转的性质结合AD=BE 可得出 AE=BD=4x，再根据 AB=10 即可求出 x 值，代入 AD=7x 中即可求出 AD 的长； 当逆时针旋转时，设 DE=3x，则 BD=4x，根据旋转的性质结合 AD=BE 可得出 AE

24、=BD=x，再根据 AB=10 即可求出 x 值，进而可得出DE=6、BD 的长，利用勾股定理可求出 BE=10BC ，此种情况不存在综上即可得出结论【解答】解：AC=6，BC=8，AB=10当顺时针旋转时，如图 1 所示设 DE=3x，则 BD=4x根据旋转的性质，可知：BD=BD=4x，AD=BE，AE=BD=4x，AB=AE+DE+ BD=4x+3x+4x=10，解得：x= ，AD=4x+3x= ；当逆时针旋转时，如图 2 所示第 18 页（共 30 页）设 DE=3x，则 BD=4x，BE=BDDE=x ，AD=x，AB=AD +DE+BE=x+3x+x=10，解得：x=2，DE=6

25、，BD=8，BE=10BC，该情况不存在故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质、解一元一次方程以及勾股定理，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况考虑是解题的关键三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （10 分）计算： 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案第 19 页（共 30 页）【解答】解：原式= = 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键20 （10 分）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象x 1 0 2 4 5 y 0 5 9 5 0 【分析】利用待定系数法、

26、描点法即可解决问题；【解答】解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c把（1，0） ， （0，5） ， （2，9）代入得到：、，解得 ，第 20 页（共 30 页）二次函数的解析式为 y=x2+4x+5当 x=4 时，y=5，当 y=0 时，x=1 或 5，故答案为 5，5；函数图象如图所示：【点评】本题考查二次函数解析式、二次函数的图象等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型21 （10 分）如图，在ABC 中，点 E 在边 AB 上，点 G 是ABC 的重心，联结AG 并延长交 BC 于点 D（1）若 = ， = ，用向量 表示向量 ；（2）若B=ACE，AB=

27、6 ，AC=2 ，BC=9，求 EG 的长第 21 页（共 30 页）【分析】 （1）由点 G 是 ABC 的重心，推出 = ，再根据三角形法则求出即可解决问题；（2）想办法证明AEGABD，可得 EG= BD= BC=3；【解答】解：（1）点 G 是ABC 的重心， = ， = + = + （ ）= + ， = + （2）B=ACE，CAE=BAC，ACE ABC， = ，AE=4，此时 = = ，EAG=BAD，AEGABD ，EG= BD= BC=3【点评】本题考查三角形的重心、平面向量、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型22 （10

28、分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫第 22 页（共 30 页）下方 B 处在平行于地面的水平线上， A、B 之间的距离约为 49cm，现测得AC、BC 与 AB 的夹角分别为 45与 68，若点 C 到地面的距离 CD 为 28cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4cm，求点 E 到地面的距离（结果保留一位小数） （参考数据：sin680.93 ，cos68 0.37，cot680.40）【分析】过点 C 作 CHAB 于点 H，过点 E 作 EF 垂直于 AB 延长线于点 F，设CH=x，则 AH=CH=x，BH=CHcot68=0.4x ，由 A

29、B=49 知 x+0.4x=49，解之求得CH 的长，再由 EF=BEsin68=3.72 根据点 E 到地面的距离为 CH+CD+EF 可得答案【解答】解：过点 C 作 CHAB 于点 H，过点 E 作 EF 垂直于 AB 延长线于点 F，设 CH=x，则 AH=CH=x，BH=CHcot68=0.4x，由 AB=49 知 x+0.4x=49，解得：x=35 ，BE=4，EF=BEsin68=3.72，则点 E 到地面的距离为 CH+CD+EF=35+28+3.7266.7（cm） ，答：点 E 到地面的距离约为 66.7cm【点评】本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是理

30、解第 23 页（共 30 页）题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义23 （12 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点 F，且 EFDF=BFCF（1）求证：ADAB=AEAC；（2）当 AB=12，AC=9，AE=8 时，求 BD 的长与 的值【分析】 （1）根据相似三角形的判定得出EFCBFD，得出CEF=B，进而证明CAB DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可【解答】证明：（1）EFDF=BFCF ， ，EFC=BFD，EFC BFD，CEF=B，B= AED，C

31、AB=DAE，CABDAE ， ，ADAB=AEAC；（2）由（1）知 ADAB=AEAC，第 24 页（共 30 页）AD=6 ，BD=6，EC=1， ， ， ， ， =28【点评】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴相交于点A（2，0） 、B（4 ，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 4） ， BC 与抛物线的对称轴相交于点 D（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点 D 的坐标；（2）过点 A 作 AEAC 交抛物线于点 E，求点 E 的坐标第 25 页（共 30 页）【分析】 （

32、1）设抛物线的解析式为 y=a（x +2） （x4） ，将 C（0， 4）代入求解即可；记抛物线的对称轴与 x 轴交点坐标为 F先求得抛物线的对称轴，则可得到 FB 的长，然后再证明 BFD 为等腰直角三角形，从而可得到 FD=FB=3，故此可得到点 D 的坐标；（2）过点 E 作 EHAB，垂足为 H先证EAH= ACO，则tanEAH=tanACO= ，设 EH=t，则 AH=2t，从而可得到 E（2+2t，t ） ，最后，将点 E 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x +2） （x4） ，将 C（0， 4）代入得：8a=4，解得：a= ，抛物

33、线的解析式为 y= x2x4如下图所示：记抛物线的对称轴与 x 轴交点坐标为 F抛物线的对称轴为 x= =1，第 26 页（共 30 页）BF=OB OF=3BO=OC=4， BOC=90 ，OBC=45BFD 为等腰直角三角形FD=FB=3D（1，3） （2）如下图，过点 E 作 EHAB ，垂足为 HEAB+BAC=90 ，BAC+ACO=90，EAH=ACOtanEAH=tan ACO= 设 EH=t，则 AH=2t，点 E 的坐标为（2+2t，t ） 将（2+2t ，t ）代入抛物线的解析式得： （2+2t） 2（2+2t）4=t，解得：t= 或 t=0（舍去）E （5 ， ） 【点评

34、】本题主要考查的是二次函数的综合应用，证得EAH=ACO，从而用含 t 的式子表示点 E 的坐标是解答问题（2）的关键，证得点 F 在抛物线的对称轴上是解答问题（3 ）的关键第 27 页（共 30 页）25 （14 分）已知 AB=5，AD=4 ，AD BM，cosB= （如图） ，点 C、E 分别为射线 BM 上的动点（点 C、E 都不与点 B 重合） ，联结 AC、AE，使得DAE=BAC，射线 EA 交射线 CD 于点 F设 BC=x， =y（1）如图 1，当 x=4 时，求 AF 的长；（2）当点 E 在点 C 的右侧时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结

35、BD 交 AE 于点 P，若ADP 是等腰三角形，直接写出 x 的值【分析】 （1）作 AHBC 于 H，如图 1，利用余弦的定义和勾股定理计算出BH=3，AH=4 ，AC= ，再判断四边形 ABCD 为平行四边形得到B=D，接下来证明ADF ABC ，然后利用相似比可计算出 AC；（2）如图 2，先证明BACBEA，利用相似比得到 BE= ，AC= AE，则CE= x，再证明ADF EFC，利用相似比得到 AF= AE，然后计算 AF：AC 可得到 y 与 x 的关系式，最后利用 CE= x0 可确定 x 的范围；（3）讨论：当 PA=PD 时，作 AHBM 于 H，作 PGAD 于 G 交

36、 BE 于 N，如图3，利用等腰三角形性质得 AG=DG=2，BN=EN= BE= ，则 =5，解方程易得 x 的值；当 AP=AD=4 时，先判断 BE=EP= ，则 AE=4+ ，然后在 RtAHE 中利用勾股定理得 42+（ 3） 2=（4+ ） 2，则解方程可得到 x 的值；当 DP=DA=4 时，作 AH BM 于 H，作 DKBE 于 K，如图 4，先确定 BP=EB=，则 BD=4+ ，再利用勾股定理计算出 BD= ，则 4+ = ，然后解第 28 页（共 30 页）方程可得到 x 的值【解答】解：（1）作 AHBC 于 H，如图 1，在 RtABH 中， cosB= = ，BH

37、= 5=3，CH=1，AH= =4，在 RtACH 中，AC= = ，ADBC，AD=BC=4，四边形 ABCD 为平行四边形，B= D，DAF=BAC，ADFABC， = ，即 = ，AF= ；（2）如图 2，AD BE，DAE= AEB，而DAE= BAC，AEB=BAC ，ABC=EBA，BACBEA ， = = ，即 = = ，BE= ，AC= AE，CE=BE BC= x，ADCE，第 29 页（共 30 页）ADFEFC ， = = = ， = ，即 AF= AE， = = ，即 y= （0x 5） ；（3）当 PA=PD 时，作 AHBM 于 H，作 PGAD 于 G 交 BE

38、于 N，如图 3，ADBE，GNBE ，AG=DG=2，BN=EN= BE= ，而 BN=BH+HN=3+2=5， =5，解得 x= ；当 AP=AD=4 时，ADBE，BE=EP= ，AE=AP+EP=4+ ，在 RtAHE 中， AH 2+HE2=AE2，4 2+（ 3） 2=（4+ ） 2，解得 x= ；当 DP=DA=4 时，作 AHBM 于 H，作 DKBE 于 K，如图 4，ADBE，BP=EB= ，BD=4+ ，第 30 页（共 30 页）在 RtBDK 中，BD= = = ，4+ = ，x= ，综上所述，x 的值为 或 或 【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似比表示线段之间的关系和关键直角三角形是解决问题的关键；会运用分类讨论的数学解决数学问题