1、第 1 页（共 21 页）2017 年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（16 题每小题 4 分，712 题每小题 4 分，本大题满分 54 分）1已知集合 A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，则 AB= 2已知 ，则复数 z 的虚部为 3设函数 f（x）=sinx cosx，且 f（）=1 ，则 sin2= 4已知二元一次方程组 的增广矩阵是 ，则此方程组的解是 5数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，S n 是它前 n 项和，则 = 6已知角 A 是ABC 的内角，则“ ”是“ 的 条件（填“充分非必要”、 “必要非充分”、 “充要条件”、 “既非充分又非必要”之
2、一） 7若双曲线 x2 =1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 ，则该双曲线的焦距等于 8若正项等比数列a n满足： a3+a5=4，则 a4 的最大值为 9一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 10设函数 f（x ）= ，则当 x 1 时，则 ff（x）表达式的展开式中含 x2 项的系数是 第 2 页（共 21 页）11点 M（20，40） ，抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，若对于抛物线上的任意点 P，|PM |+|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于 12当实数 x，y 满足 x2+y2=1 时，|x +2y+a|+
3、|3x2y|的取值与 x，y 均无关，则实数 a 的取范围是 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）13在空间， 表示平面， m，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A若 m ，m 、n 不平行，则 n 与 不平行B若 m ，m 、n 不垂直，则 n 与 不垂直C若 m，m、n 不平行，则 n 与 不垂直D若 m，m、n 不垂直，则 n 与 不平行14已知函数 在区间0，a（其中 a0）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D15如图，在圆 C 中，点 A、B 在圆上，则 的值（ ）A只与圆 C 的半径有关B既与圆 C 的半径有关，又与弦 AB 的长度有关C只与弦
4、AB 的长度有关D是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值16定义 f（ x）=x（其中 x表示不小于 x 的最小整数）为“取上整函数”，例如2.1=3，4=4以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）f（ 2x）=2f（x） ； 第 3 页（共 21 页）若 f（ x1）=f（x 2） ，则 x1x21；任意 x1，x 2R，f （x 1+x2）f（x 1）+f（x 2） ； A B C D三、解答题（本大题满分 76 分）17在正三棱锥 PABC 中，已知底面等边三角形的边长为 6，侧棱长为 4（1）求证：PABC；（2）求此三棱锥的全面积和体积18如图，我海监船在 D 岛海
5、域例行维权巡航，某时刻航行至 A 处，此时测得其北偏东 30方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只，且 D 岛位于海监船正东 18 海里处（1）求此时该外国船只与 D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里的 E 处（E 在 B 的正南方向） ，不让其进入 D 岛 12 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到 0.1，速度精确到 0.1 海里/小时） 19已知二次函数 f（x ） =ax24x+c 的值域为0，+） 第 4 页（共 21 页）（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）
6、判断此函数在 ，+）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出 f（x）在1，+ ）上的最小值 g（a） ，并求 g（a ）的值域20椭圆 C： 过点 M（2，0 ） ，且右焦点为 F（1，0） ，过 F的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点设点 P（4，3 ） ，记 PA、PB 的斜率分别为k1 和 k2（1）求椭圆 C 的方程；（2）如果直线 l 的斜率等于 1，求出 k1k2 的值；（3）探讨 k1+k2 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 k1+k2 的取值范围21已知函数 f（x ）=2|x+2 |x+1|，无穷数列a n的首项 a1=a（1）如果 an=f
7、（n） （n N*） ，写出数列a n的通项公式；（2）如果 an=f（a n1） （n N*且 n2） ，要使得数列 an是等差数列，求首项 a的取值范围；（3）如果 an=f（a n1） （n N*且 n2） ，求出数列 an的前 n 项和 Sn第 5 页（共 21 页）2017 年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（16 题每小题 4 分，712 题每小题 4 分，本大题满分 54 分）1已知集合 A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，则 AB= 2，4，8 【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能出 AB 【解答】解：集合 A=1，
8、2，4，6，8，B=x|x=2k，k A=2， 4，8，12，19，AB=2，4，8故答案为：2，4，82已知 ，则复数 z 的虚部为 1 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由 ，得 ，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出 z，则答案可求【解答】解：由 ，得 =22i+ii2=3i，则 z=3+i复数 z 的虚部为： 1故答案为：13设函数 f（x）=sinx cosx，且 f（）=1 ，则 sin2= 0 第 6 页（共 21 页）【考点】二倍角的正弦【分析】由已知可得 sincos=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解【解答】解：f（x）=sinx
9、cosx，且 f（）=1 ，sincos=1，两边平方，可得：sin 2+cos22sincos=1，1 sin2=1，可得：sin2=0故答案为：04已知二元一次方程组 的增广矩阵是 ，则此方程组的解是 【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，S n 是它前 n 项和，则 = 【考点】数列的极限【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可【解答】解：数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，Sn= =n2a n=1+（n 1）2=
10、2n 1，第 7 页（共 21 页）则 = =故答案为： ；6已知角 A 是ABC 的内角，则“ ”是“ 的 充分不必要 条件（填“充分非必要 ”、 “必要非充分”、 “充要条件” 、 “既非充分又非必要”之一） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可【解答】解：A 为ABC 的内角，则 A（0，180） ，若命题 p：cosA= 成立，则 A=60，sinA= ；而命题 q：sinA= 成立，又由 A（0，180） ，则 A=60或 120；因此由 p 可以推得 q 成立，由 q 推不出 p，可见 p 是 q 的充分不必要条件故答案为：
11、充分不必要7若双曲线 x2 =1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 ，则该双曲线的焦距等于 6 【考点】双曲线的简单性质【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出 b 的值即可得到结论【解答】解：双曲线的渐近线为 y=bx，不妨设为 y=bx，即 bx+y=0，焦点坐标为 F（c，0） ，则焦点到其渐近线的距离 d= = =b=2 ，则 c= = = =3，则双曲线的焦距等于 2c=6，故答案为：6第 8 页（共 21 页）8若正项等比数列a n满足： a3+a5=4，则 a4 的最大值为 2 【考点】等比数列的性质【分析】利用数列a n是各项均为正数的等比数列，可得 a3a5=a42，再利用基本不
12、等式，即可求得 a4 的最大值【解答】解：数列a n是各项均为正数的等比数列，a 3a5=a42，等比数列a n各项均为正数，a 3+a52 ，当且仅当 a3=a5=2 时，取等号，a 3=a5=2 时，a 4 的最大值为 2故答案是：29一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 【考点】椭圆的简单性质【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可【解答】解：因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为： =8，a 2=b2+c2， c= =2 ，椭圆的焦
13、距为 ；故答案为：4 第 9 页（共 21 页）10设函数 f（x ）= ，则当 x 1 时，则 ff（x）表达式的展开式中含 x2 项的系数是 60 【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的解析式先求出 ff（x ）表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 2 求得 r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数 f（x ）= ，当 x1 时，f（x）=2x1 ，此时 f（ x） min=f（1）=21=1，f f（ x）=（2x1） 6=（2x +1） 6，T r+1=C6r2rxr，当 r=2 时，系数为 C6222=60，故答案为：601
14、1点 M（20，40） ，抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，若对于抛物线上的任意点 P，|PM |+|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于 42 或 22 【考点】抛物线的简单性质【分析】过 P 做抛物线的准线的垂线，垂足为 D，则|PF|=|PD|，当M（20，40 ）位于抛物线内，当 M，P ，D 共线时，|PM |+|PF|的距离最小，20+ =41，解得：p=42，当 M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22 或 58，当 p=58 时，y 2=116x，则点 M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得 p 的值【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上
15、的点到焦点距离=到准线的距离，过 P 做抛物线的准线的垂线，垂足为 D，则|PF|=|PD|，当 M（ 20，40）位于抛物线内，第 10 页（共 21 页）|PM|+|PF|= |PM|+|PD|，当 M， P，D 共线时，|PM|+|PF |的距离最小，由最小值为 41，即 20+ =41，解得：p=42，当 M（ 20，40）位于抛物线外，当 P， M，F 共线时，|PM|+|PF|取最小值，即 =41，解得： p=22 或 58，由当 p=58 时，y 2=116x，则点 M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42 或 2212当实数 x，y 满足 x2+y2=1 时，|x +2
16、y+a|+|3x2y|的取值与 x，y 均无关，则实数 a 的取范围是 ，+） 第 11 页（共 21 页）【考点】圆方程的综合应用【分析】根据实数 x，y 满足 x2+y2=1，设 x=cos，y=sin ，求出 x+2y 的取值范围，再讨论 a 的取值范围，求出|x+2y +a|+|3x2y|的值与 x，y 均无关时 a 的取范围【解答】解：实数 x， y 满足 x2+y2=1，可设 x=cos，y=sin，则 x+2y=cos+2sin= sin（ +） ，其中 =arctan2； x+2y ，当 a 时，|x+2y+a|+|3x2y|=（x +2y+a）+（3x2y ）=a +3，其值
17、与 x，y 均无关；实数 a 的取范围是 ，+） 故答案为： 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）13在空间， 表示平面， m，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A若 m ，m 、n 不平行，则 n 与 不平行B若 m ，m 、n 不垂直，则 n 与 不垂直C若 m，m、n 不平行，则 n 与 不垂直D若 m，m、n 不垂直，则 n 与 不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】对于 A，若 m ，m、n 不平行，则 n 与 可能平行、相交或 n，即可得出结论【解答】解：对于 A，若 m ，m、n 不平行，则 n 与 可能平行、相交或n，故
18、不正确故选 A14已知函数 在区间0，a（其中 a0）上单调递增，则实第 12 页（共 21 页）数 a 的取值范围是（ ）A BC D【考点】正弦函数的单调性【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得 2a+ ，求得 a 的范围【解答】解：函数 在区间0，a（其中 a0）上单调递增，则 2a+ ，求得 a ，故有 0a ，故选：B15如图，在圆 C 中，点 A、B 在圆上，则 的值（ ）A只与圆 C 的半径有关B既与圆 C 的半径有关，又与弦 AB 的长度有关C只与弦 AB 的长度有关D是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算【分析】展开数量积，结合向量在向
19、量方向上投影的概念可得= 则答案可求【解答】解：如图，过圆心 C 作 CDAB，垂足为 D，则 =| | |cosCAB= 第 13 页（共 21 页） 的值只与弦 AB 的长度有关故选：C16定义 f（ x）=x（其中 x表示不小于 x 的最小整数）为“取上整函数”，例如2.1=3，4=4以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）f（ 2x）=2f（x） ； 若 f（ x1）=f（x 2） ，则 x1x21；任意 x1，x 2R，f （x 1+x2）f（x 1）+f（x 2） ； A B C D【考点】函数与方程的综合运用【分析】充分理解“ 取上整函数” 的定义如果选项不满足题意，只需
20、要举例说明即可【解答】解：对于，当 x=1.4 时，f（2x ）=f （2.8）=3.2 ，f（1.4 ）=4所以f（2x）2f（x ） ；错对于，若 f（x 1）=f（x 2） 当 x1 为整数时，f （x 1）=x 1，此时 x2x 11，即x1x21当 x1 不是整数时， f（x 1）= x1+1x 1表示不大于 x1 的最大整数x 2 表示比 x1 的整数部分大 1 的整数或者是和 x1 保持相同整数的数，此时x1x21故正确对于，当 x1，x 2Z，f（x 1+x2）=f（x 1）+f（x 2） ，当 x1，x 2Z，f（x 1+x2）f（ x1）+f（ x2） ，故正确；对于，举例
21、 f（1.2）+f （1.2 +0.5）=4f （2.4 ）=3故错误故选：C三、解答题（本大题满分 76 分）17在正三棱锥 PABC 中，已知底面等边三角形的边长为 6，侧棱长为 4（1）求证：PABC；第 14 页（共 21 页）（2）求此三棱锥的全面积和体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质【分析】 （1）取 BC 的中点 M，连 AM、BM由ABC 是等边三角形，可得AMBC 再由 PB=PC，得 PMBC利用线面垂直的判定可得 BC平面 PAM，进一步得到 PABC；（2）记 O 是等边三角形的中心，则 PO平面 ABC由已知求出
22、高，可求三棱锥的体积求出各面的面积可得三棱锥的全面积【解答】 （1）证明：取 BC 的中点 M，连 AM、BMABC 是等边三角形，AMBC 又PB=PC ，PMBCAMPM=M ，BC 平面 PAM，则 PA BC；（2）解：记 O 是等边三角形的中心，则 PO平面 ABCABC 是边长为 6 的等边三角形， ， ， ，第 15 页（共 21 页） ；18如图，我海监船在 D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A 处，此时测得其北偏东 30方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只，且 D 岛位于海监船正东 18 海里处（1）求此时该外国船只与 D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只
23、正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里的 E 处（E 在 B 的正南方向） ，不让其进入 D 岛 12 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到 0.1，速度精确到 0.1 海里/小时） 【考点】直线与圆的位置关系【分析】 （1）依题意，在ABD 中，DAB=60 ，由余弦定理求得 DB；（2）法一、过点 B 作 BHAD 于点 H，在 RtABH 中，求解直角三角形可得HE、AE 的值，进一步得到 sinEAH ，则EAH 可求，求出外国船只到达 E 处的时间 t，由 求得速度的最小值法二、建立以点 A 为坐标原点，AD 为 x
24、轴，过点 A 往正北作垂直的 y 轴可得A，D，B 的坐标，设经过 t 小时外国船到达点 ，结合第 16 页（共 21 页）ED=12，得 ，列等式求得 t，则 ，再由 求得速度的最小值【解答】解：（1）依题意，在ABD 中，DAB=60，由余弦定理得 DB2=AD2+AB22ADABcos60=182+20221815cos60=364， ，即此时该外国船只与 D 岛的距离为 海里；（2）法一、过点 B 作 BHAD 于点 H，在 RtABH 中， AH=10，HD=ADAH=8，以 D 为圆心， 12 为半径的圆交 BH 于点 E，连结 AE、DE ，在 RtDEH 中，HE= ， ，又
25、AE= ，sin EAH= ，则 41.81外国船只到达点 E 的时间 （小时） 海监船的速度 （海里/小时） 又 9041.81=48.2，故海监船的航向为北偏东 48.2，速度的最小值为 6.4 海里/小时法二、建立以点 A 为坐标原点，AD 为 x 轴，过点 A 往正北作垂直的 y 轴则 A（0，0 ） ，D （18，0） ， ，设经过 t 小时外国船到达点，又 ED=12，得 ，此时 （小时） 则 ， ，监测船的航向东偏北 41.81第 17 页（共 21 页）海监船的速度 （海里/小时） 19已知二次函数 f（x ） =ax24x+c 的值域为0，+） （1）判断此函数的奇偶性，并说
26、明理由；（2）判断此函数在 ，+）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出 f（x）在1，+ ）上的最小值 g（a） ，并求 g（a ）的值域【考点】二次函数的性质【分析】 （1）由二次函数 f（x ）=ax 24x+c 的值域，推出 ac=4，判断 f（1）f（ 1） ，f（1）f（1） ，得到此函数是非奇非偶函数（2）求出函数的单调递增区间设 x1、x 2 是满足 的任意两个数，列出不等式，推出 f（x 2）f（x 1） ，即可判断函数是单调递增（3）f（x ）=ax 24x+c，当 ，即 0a2 时，当 ，即 a2 时求出最小值即可【解答】解：（1）由二次函数 f（x ）=ax
27、 24x+c 的值域为0，+） ，得 a0 且，解得 ac=4f（ 1）=a+c4，f（1 ）=a+c+4，a0 且 c0，从而 f（1）f（1） ，f （ 1）第 18 页（共 21 页）f （1） ，此函数是非奇非偶函数（2）函数的单调递增区间是 ，+） 设 x1、x 2 是满足 的任意两个数，从而有 ， 又 a0，从而 ，即 ，从而 f（x 2）f（x 1） ，函数在 ，+）上是单调递增（3）f（x ）=ax 24x+c，又 a0， ，x 1，+）当 ，即 0a2 时，最小值 g（a）=f （x 0）=0当 ，即 a2 时，最小值综上，最小值 当 0a2 时，最小值 g（a）=0当 a2
28、 时，最小值综上 y=g（a）的值域为0，+）20椭圆 C： 过点 M（2，0 ） ，且右焦点为 F（1，0） ，过 F的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点设点 P（4，3 ） ，记 PA、PB 的斜率分别为k1 和 k2（1）求椭圆 C 的方程；（2）如果直线 l 的斜率等于 1，求出 k1k2 的值；（3）探讨 k1+k2 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 k1+k2 的取第 19 页（共 21 页）值范围【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】 （1）利用已知条件求出 b，即可求解椭圆方程（2）直线 l：y= x+1，设 AB 坐标，联立 利用韦达定理以及斜率公式求解即
29、可（3）当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设 A，B，求出斜率，即可；当直线 AB的斜率存在时，设其为 k，求直线 AB：y=k（x 1） ，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可【解答】解：（1）a=2，又 c=1， ，椭圆方程为（2）直线 l：y= x+1，设 A（x 1，y 1）B （x 2，y 2） ，由 消 y 得 7x28x8=0，有 ， （3）当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设 A（1， ） ，B（1， ） ，则 ， ，故 k1+k2=2第 20 页（共 21 页）当直线 AB 的斜率存在时，设其为 k，则直线 AB：y=k（x1） ，设 A（x 1，y
30、1）B（x 2，y 2） ，由 消 y 得（4k 2+3）x 28k2x+（4k 212）=0，有 ， = 21已知函数 f（x ）=2|x+2 |x+1|，无穷数列a n的首项 a1=a（1）如果 an=f（n） （n N*） ，写出数列a n的通项公式；（2）如果 an=f（a n1） （n N*且 n2） ，要使得数列 an是等差数列，求首项 a的取值范围；（3）如果 an=f（a n1） （n N*且 n2） ，求出数列 an的前 n 项和 Sn【考点】数列与函数的综合【分析】 （1）化简函数 f（x ）为分段函数，然后求出 an=f（n）=n+3（2）如果a n是等差数列，求出公差
31、d，首项，然后求解 a 的范围（3）当 a1 时，求出前 n 项和，当2a 1 时，当 a 2 时，分别求出 n 项和即可【解答】解：（1）函数 f（x ）=2|x+2|x+1|= ，又 n1 且 nN*，a n=f（n ）=n +3（2）如果a n是等差数列，则 anan1=d，a n=an1+d，第 21 页（共 21 页）由 f（x）知一定有 an=an1+3，公差 d=3当 a11 时，符合题意当2 a 11 时，a 2=3a1+5，由 a2a1=3 得 3a1+5a1=3，得 a1=1，a 2=2当 a12 时，a 2=a13，由 a2a1=3 得 a13a1=3，得 a1=3，此时 a2=0综上所述，可得 a 的取值范围是 a1 或 a=3（3）当 a1 时，a n=f（ an1）=a n1+3，数列a n是以 a 为首项，公差为 3 的等差数列， 当2 a 1 时，a 2=3a1+5=3a+51，n 3 时，a n=an1+3n=1 时，S1=an2 时，又 S1=a 也满足上式， （nN *）当 a2 时， a2=a13=a3 1，n3 时，a n=an1+3n=1 时，S 1=an2 时，又 S1=a 也满足上式， （nN *） 综上所述：S n=
