1、- 1 -6.1.1 平方根（第一课时） 】知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。教学重点：算术平方根的概念和求法。教学难点：算术平方根的求法。一、情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 的正方形画布，画上25dm自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、
2、探索归纳：1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为。dm5接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是 1、9、16、36、 ，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长254分别是 1、3、4、6、 ，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是52什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。2.归纳：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。算术平方根的表示方法：a
3、 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”或“二次很号 a”，a 叫做被开方数。三、应用：例 1、 求下列各数的算术平方根： 06497101.0注：根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；0 的算术平方根是 0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题：- 2 -你能求出1,36,100 的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有 1 个；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。即：只有非负数有算术平方根，如果 有意义，那么 。ax,xa注： 且 这一点对于初学者不太容易理解，教师不要
4、强求，可以在以后的教学中慢慢0a渗透。例 2、 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）481492)1(26分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。解：（1） （2） （3） （4）4978141)1(2262例 3、 求下列各数的算术平方根： 232)0(6解：根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：1、由 ， ，可得262 )0(2a2、由 ， ，可得1)(1)0()(2教师需强调 时对两种情况都成立。a四、随堂练习：1、算术平方根等于本身的数有。2、求下列各式的值：， ， ， 5922)7(3、求下列各数的算术平方根：， ， ， ，02.1242)1(694、已知 求 的
5、值。,0baba五、课堂小结1、这节课学习了什么呢？ 2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根6.1.3 平方根（第三课时）教学重点: 了 解 开 方 和 乘 方 互 为 逆 运 算 ， 弄 懂 平 方 根 与 算 术 平 方 根 的 区 别 和 联 系 。 教 学 难 点 :平 方 根 与 算 术 平 方 根 的 区 别 和 联 系 。- 3 -一、情境导入如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？讨论：这样的数有两个，它们是 3 和3.注意 中括号的作用932又如： ，则 x 等于多少呢？254x二、探索归纳：1、平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就
6、叫做 a 的平方根即：如果 =a，那2x么 x 叫做 a 的平方根求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3，所以平方与开平方互为逆运算2、观察：课本 P45 的图 6.1-2.图 6.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质并根据这个关系说出 1,4,9 的平方根例 4 求下列各数的平方根。（1） 100 （2） （3） 0.251693、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平
7、方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数 a 的算术平方根可用 表示；正数 a 的负的平方根可用- 表示aa例 5 求下列各式的值。（1） ， （2） ， （3） （4） ，481.019622562归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。四、小结：1、什么叫做一个数的平方根？2、正数、0、负数的平方根有什么规律？3、怎样求出一个数的平方根？数 a 的平方怎样表示？6.2 立方根教学重点：立方根的概念和求法教学难点：立方根的求法。一、情景引入：
8、要制作一种容积为 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？二、探索归纳：327m1.探索：设这种包装箱的边长为 ，则 ，x273- 4 -这就是要求一个数，使它的立方等于 27.因为 ，所以 ，即这种包装箱的边长应为 。2733x m32.归纳：立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方aa根。 立方根的表示方法：如果 ，那么 叫做 的立方根。记作 ， 读作三次根号 。ax3x3xa其中 是被开方数，3 是根指数， 中的根指数 3 不能省略。a 开立方的概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方
9、根。3、探索立方根的特点：根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？（1）因为 ，所以 8 的立方根是（ ） ； 23（2）因为 ，所以 的立方根是（ ） ； (125.0)3125.0（3）因为 ，所以 0 的立方根是（ ） ；（4）因为 ，所以 的立方根是（ ） ；(8)3（5）因为 ，所以 的立方根是（ ） 。278学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0.4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：因为 ， ，所以 ；3838383因为 ， ，所以 27272727
10、由上面两个例子可归纳出：一般地， 。33a注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再确它的相反数。三、应用：例 1、 求下列各式的值：（1） （2） （3）36431536427分析：根据立方根的意义求解。解：（1） （ 2） （3）353436273例 2、 求下列各式中 的值：x（1） （2） （3）08.3x838)1(3x- 5 -分析：此题的本质还是求立方根。解：（1） 08.3x308.x2.0x（2） 27（3） )1(31例 3、用计算器计算 ， ， ， ， 的值，你发现了什么？并总结出来。利30639031360用你前面
11、发现的规律填空：已知 ，则 ， 。22. 32160分析：在用计算器求立方根时按键顺序是： 、被开立方的数字、=，3这样即可显示出计算结果解： ， ， ， ，10323610339101302360由此发现：一个数扩大或缩小 1000 倍时，它的立方根扩大或缩小 10 倍。， 。323四、随堂练习：1、 立方根等于本身的数是，如果 则 。,13a2、 的立方根是， 的立方根是。643)4(3、已知 的立方根是 4，求 的算术平方根。1x2x4、已知 ，求 的值。333)10(5、比较大小：（1） ， （2） ， （3）3 3437五、课堂小结立方根和开立方的定义2.正数、0、负数的立方根的特征
12、 3.立方根与平方根的异同6.3.1 实数（第一课时）知识与技能：。教学重点：了解无理数和实数的概念；对实数进行分类。一、复习引入无理数：利用计算器把下列有理数 写成小数的形式，它们有什么特征？95,1847,3发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即： 5.09,18.,.,6.05,.3 归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数。比如 等都是无理数。 也是无理数。3,52145926.3- 6 -
13、O A CB二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2、实数的分类：3、实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动 1：直径为 1 个单位长度的圆其周长为 ，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是 ，由此我们把无理数 用数轴上的点表示了出来。活动 2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是 以原2点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就是 。事2实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都
14、在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。三、应用：例 1、下列实数中，无理数有哪些？， ， ， ， ， ， ， 。273.014.350122.12)4(解：无理数有： ， ，2注：带根号的数不一定是无理数，比如 ，它其实是有理数 4；2)4(无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。比如 。122.10例 2、把无理数 在数轴上表示出来。5分析：类比 的表示方法，我们需要构造出长度为 的线段，从而
15、以它为半径画弧，与数轴正5半轴的交点就表示 。解：如图所示， ,1,2ABO由勾股定理可知： ,以原点5 为圆心，以O长度为半径画弧，OB与数轴的正半轴交于点 ,则点 就表示 。C5四、随堂练习：1、判断下列说法是否正确：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。2、把下列各数分别填在相应的集合里：， ， ， ， ， ， ， ， 。,7145926.378326.0313.0- 7 - 有理数集合 无理数集合3、 比较下列各组实数的
16、大小：（1） ， 415（2）， （3） （4）146. 23,3,2五、课堂小结 1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 .6.3.2 实数（第二课时）教学难点：认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：1、相反数：有理数 的相反数是 。aa2、绝对值：当 0 时， ，当 0 时， 。a3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为 0） 、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。二、实数的运算：1.实数的相反数：数 的相反数是 。aa2.一个
17、正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为 0） 、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。三、应用：例 1、 （1）求 的绝对值和相反数；364（2）已知一个数的绝对值是 ，求这个数。：。例 2、计算下列各式的值：（1） ； （2） 。)3(3分析：运用加法的结合律和分配律。四、随堂练习：1、计算：（1） ； （2） ；64)23(（3） ； （4） 。3253)54(1982、计算：（1） （精确到 0.01） ；（2） （精确到十分位） 。32、3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是 。)2,(),5(),(),( DCBA（1）依次连接 ，围成的四边形是一个什么图形？DCBA、- 8 -（2）求这个四边形的面积。（3）将这个四边形向下平移 个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？2五、课堂小结1、实数的运算法则及运算律。 实数的相反数和绝对值的意义
